- •Часть 2
- •Введение
- •1. Кинематика точки
- •1.1. Скорость точки
- •1.2. Ускорение точки
- •1.3. Векторный способ изучения движения
- •1.4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория
- •Скорость в декартовых координатах
- •Уравнение годографа вектора скорости
- •Ускорение точки в декартовых координатах
- •1.5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения
- •Скорость точки при естественном способе задания движения
- •Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
- •Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •Частные случаи движения точки
- •1.6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •1.7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •1.8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- •Скорость точки в криволинейных координатах
- •Ускорение в ортогональных криволинейных координатах
- •1.9. Скорость и ускорение точки в сферических координатах
- •2. Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки
- •2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.4. Сложное движение точки Основные понятия
- •Сложение скоростей
- •Сложение ускорений при поступательном переносном движении
- •3. Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения плоского движения твердого тела
- •3.2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении
- •3.4. Скорости точек тела при плоском движении
- •3.5. Мгновенный центр скоростей
- •3.6. Вычисление угловой скорости при плоском движении
- •3.7. Ускорения точек тела при плоском движении
- •3.8. Мгновенный центр ускорений
- •3.9. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
- •3.10. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- •4.10. Мгновенный центр вращения. Центроиды
- •4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела
- •4.1. Углы эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
- •4.2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
- •4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
- •4.4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки
- •4.5. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки
- •4.6. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки
- •4.7. Вычисление углового ускорения
- •4.8. Общий случай движения свободного твердого тела Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
- •5. Сложное движение точки в общем случае
- •5.1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура
- •5.2. Сложение скоростей
- •5.3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
- •5.4. Ускорение кориолиса
- •6. Сложение движений твердого тела
- •6.1. Сложение поступательных движений твердого тела
- •6.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •6.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела
- •Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения
- •В Рис. 80 Рис. 80 интовое движение
- •Общий случай
- •6.4. Статические аналогии в кинематике
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Сложение вращений вокруг параллельных осей
Следует рассмотреть три случая.
1)
Вращения имеют одинаковые направления.
Тело у
частвует
в двух вращениях: переносном с угловой
скоростью
и относительном с угловой скоростью
(рис. 71). Таким телом является диск,
представленный на рис. 72. Пересечем оси
вращения перпендикулярной прямой.
Получим т
Рис. 71
.
Т
Рис. 72
, или
. (138)
Прямую, перпендикулярную осям вращения, можно провести на любом расстоянии. Следовательно, существует ось, скрепленная с телом и параллельная осям вращения, скорости точек которой равны нулю в данный момент. Она является мгновенной осью вращения в рассматриваемый момент времени.
Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки , считая ее движение сложным. Получим:
,
но , .
Следовательно,
.
Для скорости точки при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем
.
Приравнивая скорости точки , полученные двумя способами, имеем
, .
Согласно (138)
.
Поэтому
, т.е
. (139)
Формулу (138) можно представить в виде:
.
Образуя производную пропорцию и используя формулу (139), получим
,
Или
. (140)
Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям вращений, внутренним образом. Точка при таком делении располагается между точками и .
Справедливо обратное. Вращение вокруг оси с угловой скоростью можно разложить на два вращения вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и .
Т
Рис. 73
.
Абсолютное вращение с этой угловой скоростью происходит в том же направлении, что и составляющие движения.
2 ) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда (рис. 74). Получим следующие формулы:
, (141)
,
или:
Рис. 74
Д
Рис. 75
, ,
или:
, .
Справедливость формул (141) и (142) доказана. Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом. Точка при таком делении находится на отрезке за точкой , через которую проходит ось вращения с большей угловой скоростью.
М
Рис. 76
3)
Пара вращений.
Парой вращений
называется совокупность двух вращений
твердого тела, переносного и относительного,
вокруг параллельных осей с одинаковыми
угловыми скоростями в противоположных
направлениях (рис. 77). В этом случае
.
Рассматривая движение тела как сложное,
по теореме сложения с
Рис. 77
. (143)
Составляющие движения являются вращениями с угловыми скоростями и . По формуле Эйлера для них получим
, .
После этого для абсолютной скорости имеем
,
так как . Учитывая, что , получаем
. (143')
Так как векторное произведение можно назвать моментом угловой скорости относительно точки , то
.
Заменяя в формуле (143') на , получим
Объединяя результаты, имеем
,
или
, (144)
где является векторным моментом пары вращений .
Таким образом, если твердое тело участвует в паре вращений, то скорости всех точек тела, согласно (144), одинаковы, т.е. тело совершает при этом мгновенное поступательное движение. При длительном участии тела в паре вращений будет длительным и поступательное движение.
Скорость поступательного движения тела
Она равна векторному моменту пары вращений, который может быть также выражен векторным моментом одной из угловых скоростей относительно какой-либо точки, расположенной на оси вращения тела с другой угловой скоростью, входящей в пару вращений. Скорость поступательного движения тела, участвующего в паре вращений, зависит только от характеристик пары вращений. Она перпендикулярна осям пары вращений. Числовое ее значение можно выразить как
, (145)
где – кратчайшее расстояние между осями пары или плечо пары.
П ара вращений аналогична паре сил, действующей на твердое тело. Угловые скорости вращения тела, аналогично силам, являются векторами скользящими. Векторный момент пары сил является вектором свободным. Аналогичным свойством обладает и векторный момент пары вращений.
П
Рис. 78
Если с шестеренкой 2 скрепить прямолинейный отрезок , то он при движении механизма будет оставаться параллельным своему первоначальному положению. Если этот горизонтальный отрезок совместить с дном стаканчика с водой, прикрепив стаканчик к подвижной шестеренке, то вода не выльется из стаканчика при движении механизма в вертикальной плоскости.
При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы. Точка описывает окружность радиуса . Траектории всех других точек подвижной шестеренки будут тоже окружностями такого же радиуса. Тело, участвующее в паре вращений, совершает плоское поступательное движение.