- •Часть 2
- •Введение
- •1. Кинематика точки
- •1.1. Скорость точки
- •1.2. Ускорение точки
- •1.3. Векторный способ изучения движения
- •1.4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория
- •Скорость в декартовых координатах
- •Уравнение годографа вектора скорости
- •Ускорение точки в декартовых координатах
- •1.5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения
- •Скорость точки при естественном способе задания движения
- •Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
- •Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •Частные случаи движения точки
- •1.6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •1.7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •1.8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- •Скорость точки в криволинейных координатах
- •Ускорение в ортогональных криволинейных координатах
- •1.9. Скорость и ускорение точки в сферических координатах
- •2. Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки
- •2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.4. Сложное движение точки Основные понятия
- •Сложение скоростей
- •Сложение ускорений при поступательном переносном движении
- •3. Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения плоского движения твердого тела
- •3.2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении
- •3.4. Скорости точек тела при плоском движении
- •3.5. Мгновенный центр скоростей
- •3.6. Вычисление угловой скорости при плоском движении
- •3.7. Ускорения точек тела при плоском движении
- •3.8. Мгновенный центр ускорений
- •3.9. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
- •3.10. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
- •4.10. Мгновенный центр вращения. Центроиды
- •4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела
- •4.1. Углы эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
- •4.2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
- •4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
- •4.4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки
- •4.5. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки
- •4.6. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки
- •4.7. Вычисление углового ускорения
- •4.8. Общий случай движения свободного твердого тела Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное
- •Уравнения движения свободного твердого тела
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
- •5. Сложное движение точки в общем случае
- •5.1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура
- •5.2. Сложение скоростей
- •5.3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
- •5.4. Ускорение кориолиса
- •6. Сложение движений твердого тела
- •6.1. Сложение поступательных движений твердого тела
- •6.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •6.3. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела
- •Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения
- •В Рис. 80 Рис. 80 интовое движение
- •Общий случай
- •6.4. Статические аналогии в кинематике
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.1. Сложение поступательных движений твердого тела
Имеем твердое тело, участвующее одновременно в двух поступательных движениях, одно из которых является переносным со скоростью , а другое – относительным со скоростью . Таким образом, твердое тело движется относительно подвижной системы координат поступательно со скоростью , а подвижная система координат движется относительно неподвижной тоже поступательно со скоростью (рис. 67). Движение тела относительно основной системы координат является сложным.
У
Рис. 67
, (135)
так как переносное и относительное движения тела являются поступательными. Это справедливо для любой точки рассматриваемого тела, а потому сложное движение тела является поступательным со скоростью . Таким образом, от сложения двух поступательных движений твердого тела получается поступательное движение со скоростью, равной векторной сумме скоростей составляющих поступательных движений.
Если имеется последовательность поступательных движений тела, первое из которых является относительным по отношению к переносному второму, а это второе – относительным к переносному третьему и т.д. (скорости таких последовательных движений соответственно ), то от сложения этих движений путем последовательного применения (135) получим поступательное движение тела со скоростью
. (136)
6.2. Сложение вращательных движений твердого тела Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
П
Рис. 68
П
О
Рис. 69
По теореме о сложении скоростей для точки имеем:
.
Так как переносное и относительное движения являются вращениями вокруг осей, то
, ,
где – кратчайшие расстояния от точки до соответствующих осей вращения. Площади треугольников в параллелограмме равны, поэтому . Векторы скоростей и имеют противоположные направления. Таким образом, . Это справедливо для любой точки , расположенной на диагонали параллелограмма, так как масштаб векторов можно изменять. Точки оси имеют скорости, равные нулю. Следовательно, является мгновенной осью вращения тела в рассматриваемый момент, т.е. при сложении двух вращений вокруг пересекающихся осей, одно из которых переносное, а другое – относительное, получается вращение тела вокруг мгновенной оси.
Для определения абсолютной угловой скорости вращения вокруг мгновенной оси выберем на теле точку и вычислим ее скорость один раз как скорость сложного движения, а другой – как вращения вокруг мгновенной оси. По формуле Эйлера для вращательных движений при сложном движении имеем
.
Для абсолютного вращения вокруг мгновенной оси
.
Приравнивая скорости, получаем
, (137)
т.е. угловая скорость абсолютного вращения равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений.
Последовательное применение этого правила сложения вращений вокруг пересекающихся осей позволяет заменить любое количество вращений вокруг пересекающихся осей одним вращением, угловая скорость которого равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений:
.
Тело, участвующее в двух вращениях вокруг пересекающихся осей, имеет неподвижную точку, расположенную на пересечении осей. Оно вращается вокруг неподвижной точки, т.е. совершает сферическое движение. Таким образом, сферическое движение твердого тела можно считать состоящим из двух вращений вокруг пересекающихся осей: переносного и относительного.
С
Рис. 70
.
Мгновенная ось , как и ось подвижного конуса , вращается вокруг оси неподвижного конуса с угловой скоростью .
От движения подвижного конуса по неподвижному без скольжения легко перейти к движению подвижной конической шестерни по неподвижной шестерне, если у конусов отрезать их части плоскостями, перпендикулярными осям и .