4.2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку

Тело, имеющее одну неподвижную точку, из одного положения в любое другое можно перевести одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку. Эту ось называют осью конечного вращения.

Положение тела с неподвижной точкой относительно некоторой системы отсчета можно полностью определить, если задать на какой-либо неподвижной сфере, описанной из неподвижной точки тела, положение сферической фигуры, скрепленной с этим телом. За сферическую фигуру можно принять любую часть поверхности сферы таким же радиусом, что и радиус неподвижной сферы, который обычно принимают равным единице. За сферическую фигуру можно принять также всю сферу единичного радиуса.

При движении тела вокруг неподвижной точки скрепленная с движущимся телом сфера единичного радиуса движется по неподвижной сфере того же радиуса. Положение сферы полностью определяется заданием на этой сфере дуги большого круга, скрепленной со сферой.

Пусть положение I тела характеризуется дугой большого круга , описанной из неподвижной точки тела, а в положении II – той же дугой, но в другом положении на сфере (рис. 54). Аналогично тому, как находится центр конечного вращения для плоской фигуры при плоском перемещении, найдем точку на сфере в случае тела, имеющего одну неподвижную точку. Для этого соединяем точки с и с дугами большого круга, проведенными из неподвижной точки тела и целиком лежащими на неподвижной сфере. В серединах дуг из точек и проводим сферические перпендикуляры, т.е. дуги большого круга и , касательные к которым п

Рис. 54

ерпендикулярны в точках и соответственно касательным дуг и .

Э ти перпендикуляры, лежащие на сфере, пересекутся в точке . Из равенства прямоугольных сферических треугольников и , имеющих общий катет и равные катеты и , следует, что гипотенузы этих сферических треугольников тоже равны, т.е. точки и равноудалены от точки .

Аналогично доказывается, что точки и тоже одинаково удалены от точки . Если повернуть заштрихованный сферический треугольник вокруг оси, проходящей через точку и неподвижную точку , то этот треугольник, перемещаясь по сфере, совпадет всеми своими точками с равным ему по трем сторонам сферическим треугольником , так как сферический угол на сфере, на который надо повернуть вокруг дугу до совпадения с дугой , равен сферическому углу на той же сфере, на который надо повернуть дугу до совпадения с дугой .

Итак, путем поворота вокруг оси, перпендикулярной поверхности сферы и проходящей через точку и, следовательно, проходящей также и через центр сферы, где расположена неподвижная точка, тело можно переместить из одного положения в любое другое. Для каждых двух положений тела получаются соответствующая точка и, следовательно, соответствующая ось конечного вращения, проходящая через эту точку и неподвижную точку тела.

4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды

Ось, вокруг которой следует вращать тело, имеющее одну неподвижную точку, для перевода его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения (или мгновенной осью) для данного момента времени.

Любое движение тела вокруг неподвижной точки можно заменить последовательностью вращений вокруг совокупности мгновенных осей. Геометрическое место мгновенных осей относительно неподвижных осей координат, по отношению к которым рассматривается движение тела, называется неподвижным аксоидом. Неподвижный аксоид является конической поверхностью с вершиной в неподвижной точке тела, так как все мгновенные оси проходят через неподвижную точку.

Геометрическое место мгновенных осей в движущемся теле представляет подвижный аксоид, являющийся также конической поверхностью. Для каждого движения твердого тела вокруг неподвижной точки имеется пара аксоидов. При этом, когда тело совершает вращение вокруг неподвижной точки, подвижный аксоид катится по неподвижному без скольжения, так как общая образующая этих аксоидов в каждый момент времени служит мгновенной осью, вокруг которой вращается тело, и, следовательно, все точки оси в рассматриваемый момент времени неподвижны. Если подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному аксоиду, то осуществляется движение тела вокруг неподвижной точки.