Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

Выразим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки тела в векторной форме. Скорость точки по модулю и направлению можно представить векторным произведением

, (65)

г

Рис. 30

де – радиус-вектор точки , проведенный из произвольной точки оси вращения , например точки (рис. 30). Выражение (65) называется векторной формулой Эйлера. Убедимся в справедливости этой формулы проверкой. Действительно, вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы, входящие в векторное произведение. По направлению он параллелен скорости , направленной по касательной к окружности. Модуль векторного произведения:

,

так как . Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки. Следует только считать этот вектор приложенным в точке ; он не зависит от точки приложения вектора на оси вращения, а также точки оси, в которой помещено начало вектора . В частности, в качестве радиуса-вектора можно использовать вектор , направив его из точки в точку . Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем:

Учитывая, что , , получаем

. (66)

Первое слагаемое в (66) является касательным ускорением, а второе – нормальным, т. е.

, . (67)

В справедливости (67) убеждаемся вычислением их правых частей. Имеем

,

что совпадает с касательным ускорением. Направление вектора параллельно вектору касательного ускорения (рис. 31). Для векторного произведения имеем

,

так как векторы и взаимно перпендикулярны. Направление вектора параллельно вектору нормального ускорения и направлено от точки к оси вращения, поэтому

,

если условиться вектор направлять от оси вращения. Справедливость формул (67) установлена.

И

Рис. 31

з определения скорости точки известно, что

,

где – радиус-вектор точки, проведенный из любой неподвижной точки, в частности из любой точки на оси вращения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Но скорость точки при вращательном движении тела определяется по векторной формуле Эйлера

.

Сопоставление двух формул для скорости точки дает формулу для вычисления производной по времени от вектора :

. (68)

В этой формуле вектор имеет постоянный модуль, так как соединяет все время две точки твердого тела. Вектор , являясь угловой скоростью вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, выполняет также роль угловой скорости вращения вектора , жестко скрепленного с телом.

Формула (68) остается справедливой также для вектора , начало которого находится в любой точке тела, а не только на оси вращения. По этой формуле вычисляется производная по времени от любого вектора, величина которого постоянна.

2.4. Сложное движение точки Основные понятия

Для изучения некоторых, более сложных видов движений твердого тела целесообразно рассмотреть простейшее сложное движение точки. Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Так, движение космического корабля, движущегося к Луне, требуется рассматривать одновременно и относительно Земли и относительно Луны, которая движется относительно Земли. Любое движение точки можно считать сложным, состоящим из нескольких движений. Например, движение корабля по реке относительно Земли можно считать сложным, состоящим из движения по воде и вместе с текущей водой.

В

Рис. 32

простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения. Пусть имеем две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга. Если одну из этих систем (рис. 32) принять за основную или неподвижную (ее движение относительно других систем отсчета не рассматривается), то вторая система отсчета будет двигаться относительно первой. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным. Характеристики этого движения, такие, как траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом ; для скорости и ускорения и . Движение точки относительно основной, или неподвижной, системы отсчета называется абсолютным (или сложным). Его также иногда называют составным движением. Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Скорость и ускорение абсолютного движения обозначают буквами и без индексов. Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной. Вследствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела , с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела , с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают и .

Если траектории всех точек тела , скрепленного с подвижной системой отсчета, изобразить на рисунке (рис. 32), то получим семейство линий – семейство траекторий переносного движения точки . Вследствие относительного движения точки в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения. Точка может совпадать только с одной точкой каждой из траекторий этого семейства переносных траекторий. В связи с этим иногда считают, что траекторий переносного движения нет, так как приходится считать траекториями переносного движения линии, у которых только одна точка фактически является точкой траектории.

В кинематике точки изучалось движение точки относительно какой-либо системы отсчета независимо от того, движется эта система отсчета относительно других систем или нет. Дополним это изучение рассмотрением сложного движения, в простейшем случае состоящего из относительного и переносного. Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.