3. Плоское движение твердого тела

Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости. Плоскости, в которых движутся отдельные точки, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Поэтому плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным движением. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как звенья большинства механизмов и машин, применяемых в технике, совершают плоское движение. Враща­тельное движение твердого тела вокруг неподвижной оси можно считать частным случаем плоского движения.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

П

Рис. 35

усть твердое тело совершает плоское движение, параллельное неподвижной плоскости (рис. 35). Тогда любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и жестко скрепленная своими точками с движущимся телом, будет двигаться поступательно, т. е. все точки этой прямой движутся одинаково.

Следовательно, для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, достаточно изучить движение одной точки этой прямой, например точки . Рассуждая аналогично для любой другой прямой, перпендикулярной плоскости и скрепленной с движущимся твердым телом, можно сделать вывод, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение точек этого тела, лежащих в какой-либо плоскости , параллельной неподвижной плоскости , т. е. точек тела, лежащих в сечении рассматриваемого тела плоскостью и образующих плоскую фигуру.

Таким образом, для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости, параллельной неподвижной плоскости . Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой. Различные по форме твердые тела, совершающие плоское движение, имеют в сечениях разные плоские фигуры. В общем случае за плоскую фигуру примем всю плоскость и, следовательно, рассмотрим движение этой подвижной плоскости по другой, неподвижной плоскости.

3.1. Уравнения плоского движения твердого тела

Д

Рис. 36

ля задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка (рис. 36), скрепленного с фигурой. Положение отрезка относительно системы координат определится заданием координат какой-либо точки этого отрезка и его направления. Например, для точки нужно задать координаты а направление задать углом , который образует отрезок с какой-либо осью, например или ей параллельной осью . Вместо угла можно взять угол между любой другой осью или отрезком, скрепленными с плоской фигурой, и осью , например угол . Тогда , где не зависит от времени. Таким образом, уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и плоского движения твердого тела относительно системы координат имеют вид

, , .

Положение любой точки плоской фигуры относительно подвижной системы координат , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат и точки , которые при движении плоской фигуры в ее плоскости не изменяются с изменением времени. Между координатами точки в двух системах координат и существует следующая зависимость (рис. 36):

,

где – длина отрезка , – постоянный угол между отрезком и осью .

Раскрывая косинус и синус суммы двух углов и учитывая, что , , получаем окончательные формулы в следующем виде:

, . (73)

Формулы (73) являются уравнениями движения точки плоской фигуры относительно системы координат .

Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам ее точки относительно подвижной системы координат, скрепленной с движущейся фигурой.