4.7. Вычисление углового ускорения

Для вычисления ускорения точек тела необходимо знать угловое ускорение . Рассмотрим два основных способа его вычисления.

1. Если известны проекции угловой скорости на подвижные или неподвижные оси координат , и , то проекции углового ускорения на те же оси определяют по формулам

, , . (111)

По проекциям легко найти модуль углового ускорения и косинусы его углов с осями координат.

2. Другой способ определения углового ускорения основан на его разложении на две взаимно перпендикулярные составляющие. Если ввести единичный вектор , направленный по , то

, . (112)

Составляющая полного углового ускорения направлена по вектору , когда , и противоположно ему при .

Составляющая полного углового ускорения всегда перпендикулярна , так как производная по времени от единичного вектора есть вектор, перпендикулярный дифференцируемому единичному вектору и, следовательно, перпендикулярный вектору .

Составляющая углового ускорения является полным угловым ускорением при вращении тела вокруг неподвижной оси, так как составляющая в этом случае равна нулю. Вычислим составляющую углового ускорения . Часто угловая скорость постоянна по модулю и изменяется только по направлению. В этом случае составляющая и полное угловое ускорение совпадает с .

Если же угловое ускорение не равно нулю, то его можно вычислить отдельно и затем, сложив с составляющей , определить полное угловое ускорение . Итак, если угловая скорость постоянна, то

.

В этом случае воспользуемся определением углового ускорения через угловую скорость непосредственно:

.

Учитывая, что , и применяя формулу, аналогичную производной по времени от радиуса-вектора (см. формулу (101)), когда радиус-вектор постоянен по длине, будем иметь

, (113)

где – угловая скорость вращения дифференцируемого по времени вектора , т.е. угловая скорость вращения мгновенной оси, по которой направлен вектор . Модуль углового ускорения можно найти аналогично скорости точки, т.е.

, (114)

г де расстоянием является – кратчайшее расстояние от конца вектора до оси, по которой направлена угловая скорость (рис. 58).

В

Рис. 58

ектор углового ускорения пройдет через неподвижную точку и будет параллелен касательной к годографу вектора . Направление берут в соответствии с формулой (113), т.е. по направлению вращения мгновенной оси в зависимости от угловой скорости .

4.8. Общий случай движения свободного твердого тела Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное

Рассмотрим общий случай движения свободного твердого тела, т.е. тела, имеющего шесть степеней свободы. Покажем, что самое общее движение свободного твердого тела можно представить состоящим из поступательного движения вместе с какой-либо точкой тела и вращательного движения вокруг этой точки.

Положение тела относительно какой-либо системы координат полностью определяется заданием трех точек тела, не лежащих на одной прямой, или заданием треугольника, скрепленного с телом (рис. 59).

Р ис. 59

Треугольник , а следовательно, и тело, скрепленное с ним, из одного положения I в любое другое положение II можно переместить одним поступательным перемещением вместе с какой-либо точкой тела (например, точкой , когда подвижная система координат перемещается поступательно) и поворотом относительно подвижной системы координат , т.е. вокруг оси, проходящей через эту точку.

Поступательная часть перемещения тела зависит от выбора точки, вместе с которой перемещается тело, а вращательная часть перемещения вокруг оси или вокруг точки не зависит от выбора точки. Поступательную часть перемещения можно поменять местами с вращательной частью, и, наконец, их можно выполнять одновременно, т.е. пока тело совершает поступательное перемещение из одного положения в другое, за это же время можно осуществить и поворот тела вокруг точки на требующийся угол.

Если два положения тела бесконечно близки, то истинное элементарное перемещение свободного твердого тела можно заменить элементарным поступательным перемещением вместе с какой-либо точкой тела и элементарным поворотом вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку, осуществляемыми за то же время, что и истинное перемещение, тела.

Любое движение свободного твердого тела, таким образом, можно заменить совокупностью поступательных движений вместе с какой-либо точкой тела и вращений вокруг этой точки, совершаемых за то же время, что и истинное движение. Поступательное движение вместе с точкой тела и подвижной системой координат является переносным движением, а движение тела относительно этой подвижной системы координат, являющееся в каждый момент времени вращением вокруг своей мгновенной оси, проходящей через эту подвижную точку тела, есть относительное движение.

Итак, любое движение свободного твердого тела можно составить из поступательного движения вместе с подвижной системой координат и сферического движения относительно этой системы координат. Для относительного сферического движения можно ввести угловую скорость и угловое ускорение , которое является первой производной по времени от , как в случае вращения тела вокруг неподвижной точки.

Угловую скорость и угловое ускорение относительного вращательного движения вокруг какой-либо точки тела называют в общем случае угловой скоростью и угловым ускорением свободного твердого тела. Эти величины не зависят от выбора точки тела. От выбора точки тела зависит только переносное поступательное движение тела.