1.5.3. Работа и мощность при вращательном движении

Изменение кинетической энергии механической системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему

dT = Aвнеш + Aвнутр . (1.56)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси элементарная работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению только кинетической энергии, так как его потенциальная энергия при этом не меняется. Следовательно

dA = dT = d( ) = I _z  d .

С учетом того, что I_z d = M_z dt , получим

dA = M_z  dt = M_z d . (1.57)

Полная работа внешних сил при повороте твердого тела на некий угол  равна:

. (1.58)

В случае, если M_z= const, то последнее выражение упрощается:

A = M_z  . (1.59)

Таким образом, работа внешних сил при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента M_z этих сил относительно данной оси.

При вращательном движении твердого тела относительно неподвижной оси мощность определяется выражением

. (1.60)

1.6. Законы сохранения

Любое тело (или совокупность тел) представляет собой, по существу, систему материальных точек. Состояние системы характеризуется одновременным заданием координат и скоростей всех ее частиц. При движении системы ее состояние изменяется со временем. Существуют, однако, такие функции координат и скоростей, образующих систему частиц, которые способны сохраняться во времени. К ним относятся энергия, импульс и момент импульса.

В соответствии с этим имеют место три закона сохранения – закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, которые выполняются в замкнутых системах.

Система называется замкнутой, если она не обменивается с другими телами, не входящими в эту систему, соответственно энергией, импульсом, моментом импульса. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса можно получить исходя из основных уравнений динамики, однако, следует иметь в виду, что эти законы обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона, и должны рассматриваться как самостоятельные фундаментальные принципы физики, относящиеся к основным законам природы.

Законы сохранения являются эффективным инструментом исследования. С помощью законов сохранения можно без решения уравнения движения получить ряд важнейших данных о протекании механических процессов.

1.6.1. Закон сохранения импульса

Импульс системы равен векторной сумме импульсов ее отдельных частиц, т.е.

, (1.61) где  импульс i-й частицы.

Найдем физическую величину, которая определяет изменение импульса системы. Для этого возьмём производную от выражения (1.61) по времени

. (1.62)

Согласно основному уравнению динамики

, (1.63) где  силы, действующие на i -ю частицу со стороны других частиц системы (внутренние силы);  сила, действующая на ту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы).

Подставив последнее выражение в уравнение (1.62), получим

. (1.64)

Двойная сумма – это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона , а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил:

.

В результате уравнение (1.64) принимает следующий вид:

, (1.65)

где  результирующий вектор всех внешних сил.

Из уравнения (1.65) следует, что изменение вектора импульса системы (тела) равно результирующему вектору импульса внешних сил.

. (1.66)

Согласно этому уравнению, импульс системы может изменяться под действием только импульса внешних сил. Импульсы внутренних сил не могут изменить импульс системы. Отсюда непосредственно вытекает условие замкнутости системы и закон сохранения её импульса.

Если результирующий вектор внешних сил, действующих на систему тождественно равен нулю, то импульс системы остается постоянным.

, ,