4.2 Обобщённый закон Ома. Дифференциальная форма закона Ома

Для каждого проводника – твердого, жидкого и газо- образного – существует определенная зависимость силы тока от приложенного напряжения – вольт - амперная характе- ристика (ВАХ). Наиболее простой вид она имеет у металли- ческих проводников и растворов электролитов (рис.4.2) и определяется законом Ома.

Согласно закону Ома для однородного (не содержаще- го сторонних сил) участка цепи, сила тока прямо пропорцио- нальна приложенному напряжению U и обратно пропорцио- нальна сопротивлению проводника R

. (4.8)

Единицей сопротивления является Ом ([R] = 1 Ом). Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от свойств проводника, формы и его геометрических размеров. Для однородного цилиндри- ческого проводника

, (4.9)

где l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения,

 - удельное сопротивление (сопротивление проводника длиной 1м и площадью поперечного сечения 1м²) зависит от природы проводника и температуры ([] = Ом^.м).

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электропроводностью:  = 1/.

Для неоднородного участка цепи, т.е. участка, содержа- щего ЭДС (рис.4.3), с учётом ( 4.7) и ( 4.8) получим

. (4.10)

Данное выражение получило название обобщённого закона Ома в интегральной форме.

П

dl

олучим закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме. Для этого выделим в окрестности некоторой точки внутри проводника элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору плотности тока j в данной точке (рис. 4.4).

I - + dS

₁ ₂

R  ₁₂ J

E Е

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой I=jdS. Напряжение, приложенное к цилиндру, равно

U=Edl,

где E – напряженность поля в данной точке.

Сопротивление цилиндра . Подставляя I, U и R

в формулу (4.8) и учитывая, что направления векторов совпадают, получим закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме

. (4.11)

Закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме запишется следующим образом:

, (4.12)

где - напряженность поля сторонних сил.

Проводники и источники тока в электрических цепях могут соединяться последовательно и параллельно.

Последовательным называется такое соединение проводников, когда конец одного проводника соединяется с началом другого (рис.4.5). При этом выполняются соотношения:

I=I₁=I₂=…=I_n;

U=U₁+U₂+…+U_n.

R=R₁+R₂+…+R_n. (4.13)

Параллельным называется такое соединение, когда одни концы проводников соединяются в один узел, а другие концы - – в другой (рис.4.6). При этом выполняются соотношения:

I=I₁+I₂+…+I_n,

U=U₁=U₂=…=U_n.

. (4.14)

U

U R₁ I₁

I U₁ U₂ U₃ I R₂ I₂ I

R₃ I₃

R₁ R₂ R₃

Рис. 4.5 Рис. 4.6

При последовательном соединении нескольких одинаковых источников тока (рис.4.7) полная ЭДС батареи равна алгебраической сумме ЭДС всех источников, а суммар- ное сопротивление равно сумме внутренних сопротивлений:

 _б =  ₁ +  ₂ +…+ _n , r_б = r₁+ r₂ +…+r_n .

При параллельном подключении n источников с одинаковыми ЭДС -  и внутренними сопротивлениями – r (рис.4.8) ЭДС батареи равна ЭДС одного источника (_б = ),а внутреннее сопротивление батареи r_б = r/n.