1.8.4. Кручение
Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент М. В результате этого каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением.
Деформация кручения является неоднородной. Это значит, что деформация внутри образца меняется от точки к точке.
Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
, (1.98)
где ƒ -
модуль кручения.
Модуль кручения показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад. В отличие от модулей Юнга и сдвига он зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
Деформацию кручения можно свести к деформации сдвига. Выведем выражение для модуля кручения.
Стержень (рис.1.16) можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек (трубок) радиусом r, длиной L и толщиной dr. Площадь основания трубки
dS = 2 r dr , (1.99)
а момент упругих сил, действующих на это основание:
dM = 2 r dr σ r , (1.100)
где σ - тангенциальное напряжение в этом основании.
С учетом того, что каждый элемент цилиндрической трубки сдвигается на угол:
,
(1.101)
то по закону Гука для деформации сдвига получим
.
(1.102)
Таким образом, момент сил, действующих на цилиндрическую трубку, равен
.
(1.103)
O
C
Θ
B φ F
r
R A
F O
Рис.1.16
Полный момент сил, действующих на проволоку (стержень) радиуса R, найдется интегрированием:
.
(1.104)
Сопоставляя с законом Гука для деформации кручения (1.98) получим выражение для модуля кручения :
.
(1.105)
Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания маятника.