3.4. Работа сил электрического поля. Потенциал

Вычислим работу, совершаемую силами поля неподвижного точечного заряда q над перемещающимся в этом поле точечным зарядом (рис.3.6). Работа на элементарном пути dl равна

dA = F·dl·cosa = F·dr,

где dr = dl·cosa – изменение радиуса – вектора движущегося заряда.

r

Рис.3.6

Учитывая, что , получим

.

Выражение для работы на пути 1 – 2 будет иметь вид

. (3.14)

Таким образом, работа сил электростатического поля не зависит от пути перемещения электрического заряда, а зависит лишь от начального и конечного положения этого заряда ( и ). Следовательно, силы, действующие на заряд в поле неподвижного заряда q, являются консервативными. Полученный вывод справедлив для любого электростатического поля.

Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю, т.е.

.

Учитывая, что F = q×E, а E×cosa = – проекция вектора на направление элементарного перемещения dl, получим . Так как q ¹ 0, то

. (3.15)

Соотношение (3.15), называемое теоремой о циркуляции вектора , выполняется для любого замкнутого контура, и его следует рассматривать как критерий потенциальности электрического поля: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно

. (3.16)

Из сравнения (3.16) и (3.14) следует, что потенциальная энергия заряда в поле заряда q на расстоянии r от него имеет вид

. (3.17)

Энергетической характеристикой поля является потенциал j – это физическая величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля

. (3.18)

Подставляя в (3.18) значение потенциальной энергии (3.17), получим выражение для потенциала поля точечного заряда

. (3.19)

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

, (3.20)

или . (3.21)

Из соотношения (3.18) вытекает, что заряд , находящийся в точке поля с потенциалом j, обладает потенциальной энергией

. (3.22)

Следовательно, работа сил поля над зарядом может быть выражена через разность потенциалов

. (3.23)

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд из точки с потенциалом j удаляется на бесконечность (где потенциал равен нулю), то работа сил поля будет равна

. (3.24)

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля в бесконечность

. (3.25)