3.9. Энергия электрического поля

Потенциальную энергию взаимодействия двух зарядов можно выразить через потенциалы полей этих зарядов

, (3.48)

где ₁ – потенциал, создаваемый вторым зарядом в точке расположения первого заряда; ₂ – потенциал, создаваемый первым зарядом в точке расположения второго.

Энергия взаимодействия точечных зарядов, в силу её аддитивности, равна сумме энергий каждой пары зарядов и определяется выражением

, (3.49)

где _I - потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме q_{i ,} в точке нахождения заряда q_{i .}

Используя формулу (3.49), определим энергию заряженного проводника и конденсатора. Так как проводник является эквипотенциальным, то

. (3.50)

С учётом (3.41) можно получить и другие выражения для энергии заряженного проводника

. (3.51)

Аналогичным образом, для энергии заряженного конденса- тора в соответствии с (3.49) будем иметь

а, следовательно, и другие выражения

. (3.52)

Электрическая энергия, определяемая формулой (3.52), может рассматриваться как энергия электростатического поля, существующего в конденсаторе. Поэтому есть смысл выразить эту энергию через напряжённость , характеризующую это поле. На основании соотношений

и ,

получим

Поскольку поле плоского конденсатора однородно, то его объёмная плотность энергия определяется следующими выражениями

. (3.53)

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме V:

3.10. Примеры решения задач

Задача 1. Три одинаковых положительных заряда нКл расположены в вершинах равносторон- него треугольника. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах.

Решение

Все три заряда, расположенные в вершинах треугольника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов, например .

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

, (1)

г де , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд заряды , и ; – равнодействующая сил и .

Так как силы и направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:

или .

Выразив F через и и учитывая, что = , получим

.

Применяя закон Кулона и имея в виду, что

, найдем

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, .

С учетом этого формула (2) примет вид

.

После подстановки числовых значений получим

нКл.

Задача 2. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж- ности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью  =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал  электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.