2.4. Эффективный диаметр и средняя длина свободного пробега молекул
Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис.2.3). В первом приближении эффективный диаметр можно считать постоянным, хотя он и зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа.
Путь, пройденный молекулой между двумя
последовательными столкновениями,
имеет самые различные значения. Однако,
при очень большом числе столкновений
молекул, можно ввести понятие среднего
значения, называя его средней длиной
свободного пробега .
Для определения этой величины представим
себе, что все, кроме одной, молекулы
(число их в единице объёма равно n)
неподвижны; это значит, что скорость
этой молекулы равна относительной
средней скорости
.
За время t
молекула перемещается на расстояние
t
по отношению к другим молекулам. Все
неподвижные молекулы, центры которых
находятся внутри цилиндра радиусом d
(рис. 2.4), входят при этом в сферу
действия движущейся молекулы, т.е.
сталкиваются с ней. Сечение этого
цилиндра
называется эффективным сечением.
Число столкновений Z за время t равно числу неподвижных молекул, центры которых оказываются внутри цилиндра:
За это время молекула проходит путь
и испытывает Z столкновений,
тогда
.
Учитывая, что средняя скорость молекул
и средняя скорость относительного
движения
связаны между собой соотношением
,
получим окончательно:
.
(2.14)
Таким образом, средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна их концентрации n, а при постоянной температуре, с учётом (2.14) , обратно пропорцио- нальна давлению, т.е.
.
Средняя длина свободного пробега определяет такие свойства газов, как вязкость, теплопроводность и диффузия.
Явление диффузии состоит в самопроизвольном проникновении и перемешивании молекул соприкасающихся газов, жидкостей и даже твёрдых тел. В химически однородном газе перенос массы вещества происходит при наличии градиента плотности и подчиняется закону Фика:
(2.15)
где M
-масса вещества, диффундирующего за
время t через площадку
S, расположенную
перпендикулярно градиенту
плотности
;
D - коэффициент диффузии.
Знак «минус» показывает, что перенос
массы происходит в направлении убывания
плотности.
Явление теплопроводности состоит в переносе количества теплоты в сторону убывания температуры. Этот процесс подчиняется закону Фурье:
,
(2.16)
где Q
- количество теплоты, переносимое через
площадку S за время t
при градиенте температуры
в направлении нормали к этой площади;
k - коэффициент
теплопроводности.
Коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, переносимой через единицу площади за единицу времени при температурном градиенте, равном единице.
Вязкость (внутреннее трение) связана с возникнове- нием сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями. Механизм возникновения внутреннего трения между слоями газа связан с обменом молекул между слоями, в результате которого происходит перенос импульса упорядоченного движения молекул из одного слоя в другой, что в свою очередь, приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.
Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона:
,
(2.17)
где
- коэффициент вязкости,
-
градиент скорости в направлении
перпендикулярном площадке S.
Из формулы (2.17) следует, что коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности слоя при градиенте скорости равном единице.
Выражения для коэффициентов диффузии, теплопровод- ности и внутреннего трения выводятся из молекулярно-кинетической теории.
, (2.18)
, (2.19)
,
(2.20)
где
-плотность газа, cv
– удельная теплоёмкость газа при
постоянном объёме,
-
средняя арифметическая скорость молекул,
-средняя длина свободного пробега.
Из формул (2.18) - (2.20) следуют простые зависимости между коэффициентами переноса:
и
.
(2.21)