1.5.1 Механическая работа при поступательном движении

Элементарная работа силы , на малом перемещении , определяется выражением

 A = FdS cos = F dS , (1.44)

где dS = , F = Fcos - проекция силы на направление перемещения ,  - угол между векторами и .

В ыражение (1.44) можно представить в виде скалярного произведения

, (1.45)

Работа, совершаемая силой на конечном участке траектории точки ее приложения, равна алгебраической сумме работ на всех малых частях этого участка, т.е. выражается криволинейным интегралом

(1.46)

Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость F от S вдоль данной траектории L. Если эта зависимость представляется графически (рис.1.10), то работа измеряется заштрихованной на данном рисунке площадью.

Рис.1.10

Силы, совершающие работу, принято подразделять на консервативные (потенциальные) и неконсервативные (диссипативные). Силы являются консервативными, если их работа не зависит от пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, а полностью определяется начальной и конечной конфигурацией взаимодействующих тел. Соответственно, работа консервативных тел вдоль любой замкнутой траектории L равна нулю, т.е.

. (1.47).

Все силы, не удовлетворяющие этому условию, называют неконсервативными. К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопротивления.

Для характеристики работы, совершаемой за единицу времени, в механике пользуются понятием мощности.

Мощностью называется скалярная физическая величина, равная отношению элементарной работы А к тому промежутку времени dt, в течение которого эта работа совершается

. (1.48)

При поступательном движении твердого тела

. . (1.49)

1.5.2. Кинетическая и потенциальная энергия

В классической физике полную механическую энергию системы можно представить в виде двух слагаемых

E = T(υ) + U(r) . (1.50)

Часть механической энергии T(υ), зависящая от скорости движения тел в пространстве, называется кинетической энергией. Другая часть механической энергии U(r), зависящая от взаимного расположения тел т.е. от конфигурации системы, называется потенциальной энергией.

В классической механике выражение для кинетической энергии материальной точки и поступательного движения абсолютно твердого тела имеет вид

T = m υ ²/2 . (1.51)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить, т.е.

.

Поскольку линейная скорость i- й точки  _i =  r_i, где r_i – расстояние от этой точки до оси вращения, а  - угловая скорость тела, то

, (1.52)

В данной формуле I_z есть момент инерции тела относительно оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по аналогии с кинетической энергией поступательного движения, только вместо массы фигурирует момент инерции, а вместо линейной скорости – угловая.

В общем случае движение твердого тела можно предста-

вить в виде двух движений – поступательного со скоростью, равной скорости движения центра масс тела _c, и вращения с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. При этом полная кинетическая энергия будет равна

, (1.53)

где I_c – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс;  _c – скорость центра масс.

Для получения однозначной зависимости потенциальной энергии системы от ее конфигурации U(x, y, z), необходимо выбрать, так называемую, нулевую конфигурацию (нулевой уровень), в котором потенциальную энергию системы условно считают равной нулю. Потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, совершаемой всеми действующими на систему консервативными силами при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние соответствующее нулевой конфигурации. Таким образом, убыль потенциальной энергии равна работе консервативных сил

A = - dU или A12 = - ΔU . (1.54)

Формула (1.54) дает возможность найти выражение потенциальной энергии U для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую консервативными силами поля между двумя состояниями, и представить ее в виде убыли потенциальной энергии. Конкретный вид функции U(x,y,z) зависит от характера силового взаимодействия. Так, потенциальная энергия в поле силы тяжести равна U = mgh, а потенциальная энергия упруго деформированного тела (например, пружины) равна U = kx²/2, где k - коэффициент упругости, а x - абсолютная деформация.

Зная вид функции U(x,y,z) можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля.

, (1.55)

где  частные производные от функции U(x,y,z),

 оператор набла.

Выражение читается как "градиент U". Таким образом, консервативная сила, действующая на частицу, равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.