3.3. Линии напряжённости. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса

Для графического изображения электрических полей применяют силовые линии (линии напряжённости).

Линии напряжённости – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора (рис. 3.3).

Рис.3.3

Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных, они непрерывны и не пересекаются.

Густота линий напряжённости выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную силовым линиям, было равно числовому значению вектора .

Рассмотрим некоторую поверхность S, пронизываемую силовыми линиями электрического поля. На этой поверхности выделим элементарную площадку dS, нормаль к которой образует угол a с вектором в окрестности этой площадки (рис.3.4). Число линий , пересекающих данную площадку, равно

,

г де - проекция вектора на нормаль к площадке.

Величина dФ называется потоком вектора сквозь элементарную площадку dS. Полный поток через поверхность S определяется путём интегрирования по заданной поверхности

. (3.12)

Физический смысл потока: Ф - число пересечений силовых линий с данной поверхностью.

Поток вектора есть величина алгебраическая, знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S. В случае замкнутых поверхностей под нормалью к dS понимается обращенная наружу, т.е. внешняя нормаль. Поэтому в тех местах, где вектор направлен наружу (т.е. силовые линии выходят из объема, охватывае- мого поверхностью) и соответственно dФ положите- лен, где вектор направлен внутрь - поток dФ будет отрицателен (рис.3.5)

Рис.3.5

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатиче-ского поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

. (3.13)

Теорему Гаусса используют для расчета симметричных электрических полей.

В таблице 1 приведены формулы расчета напряжён- ностей некоторых симметричных полей, полученные с помощью теоремы Гаусса.

Таблица 1.1

№ п/п	Электрическое поле	Формулы напряженности	Графики
1	2	3	4
1	Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости	где s - поверхностная плотность заряда	x E
2	Поле бесконечно длинной равномерно заряженной нити	r - расстояние от нити, t - линейная плотность заряда	E r 1/r
3	Равномерно заряженная сферическая поверхность	E=0, r<R R где R - радиус сферы, r - расстояние от центра сферы, s - поверхностная плотность заряда
1	2	3	4
4	Поле объемно заряженного шара	г де R - радиус шара, r - расстояние от центра шара, r - объёмная плотность заряда	r R Е 1/r2