1.8.2 Одноосное растяжение и сжатие

Возьмём однородный стержень (рис.1.14) и приложим к его основаниям растягивающие (или сжимающие) усилия.

Пусть l_o - длина недеформированного стрежня, а S - его сечение. После приложения силы F его длина получает приращение l и делается равной l = l _o + l. Отношение

, (1.86)

называется относительным удлинением стержня. В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил – отрицательно.

Рис.1.14

В любом поперечном сечении деформированного стержня возникнут нормальные упругие напряжения

. (1.87)

Согласно формуле (1.85) закон Гука для деформации растяжения (сжатия) имеет вид

, (1.88) где Е - модуль Юнга.

Модуль Юнга зависит только от материала стержня и его физического состояния. При  l = l - l₀ = l₀ ε = 1 и Е = σ_n. Поэтому, модуль Юнга равен нормальному напряжению, которое возникло бы в образце при увеличении его длины в 2 раза, если бы при такой деформации выполнялся закон Гука. Однако при таких больших деформациях закон Гука не выполняется и либо образец разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и силой.

Под действием растягивающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие (растяжение)

, (1.89)

где d - поперечный размер образца.

При растяжении  < 0, при сжатии  >0. Отношение

, (1.90)

называется коэффициентом Пуассона.

Для больших изотропных материалов он близок к 0,25. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона  полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и .

Деформированное тело обладает запасом потенциаль- ной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе, затраченной на деформацию тела.

Приложим к стержню растягивающую силу ƒ(x) и будем непрерывно увеличивать ее от начального значения ƒ=0 до конечного значения ƒ=F. При этом удлинение будет меняться от x = 0 до конечного значения x = l. По закону Гука

. (1.91)

Вся работа совершаемая при деформации, пойдет на приращение потенциальной энергии, поэтому

. (1.92)

Объемная плотность упругой энергии W, т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема растянутого (сжатого) стержня, равна

. (1.93)

1.8.3. Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.1.15,а). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД параллельная ВС, закреплена неподвижно (рис.1.15,б). При малом сдвиге:

, (1.94)

где  х = СС’ - абсолютный сдвиг, а  - угол сдвига, называемый также относительным сдвигом.

Закон Гука для деформации сдвига имеет вид

, (1.95)

где =F/S – скалывающее, или тангенциальное, напряжение, G - модуль сдвига.

Рис.1.15

а) б)

Модуль сдвига численно равен касательному напряже- нию, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.

Между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона существует cоотношение

. (1.96)

Объемная плотность энергии упругой деформации при сдвиге, как и при растяжении, прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости:

. (1.97)