Е.В. Вислова, О.И. Канищева

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Воронеж 2010

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

Е.В. Вислова, О.И. Канищева

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

В оронеж 2010

УДК 517.927

Вислова Е.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие / Е.В. Вислова, О.И. Канищева. – Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2010. 131 с.

Учебное пособие содержит краткие теоретические материалы для проведения практических и лабораторных занятий по дисциплине «Математика». Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением большого количества примеров, ведется на доступном, по возможности, строгом языке.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 151000 «Конструкторско-технологическое обеспечение автоматизированных машиностроительных производств», специальности 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», дисциплине «Математика». Пособие предназначено для студентов очно-заочной формы обучения.

Ил. 72. Библиогр.: 3 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат.наук, проф. В.Д. Репников

Рецензенты:	кафедра теоретической гидрометеорологии Воронежского авиационного инженерного университета (д-р физ.-мат. наук, проф. М.Е. Семенов); канд. физ.-мат.наук, доц. А.В. Шуба)
	© Вислова е.в., Канищева О.И., 2010 © Оформление. ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2010

Оглавление

Введение	6
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы	6
1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия	6
1.2. Системы обыкновенных дифференуиальных уравнений. Основные понятия	9
1.3. Связь обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем обыкновенных дифференциальных уравнений	12
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка	14
2.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения	14
2.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия	14
2.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными	17
2.1.3. Однородные уравнения первого порядка	19
2.1.4. Уравнения, приводящиеся к однородным	20
2.1.5. Линейные уравнения первого порядка	21
2.1.6. Уравнения Бернулли	25
2.1.7. Уравнения в полных дифференциалах	26
2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Поведение решений	27
2.2.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши	27
2.2.2. Уравнения первого порядка. Поле направлений	30
2.2.3. Автономные уравнения првого порядка	33
2.2.4. Устойчивость решений Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка	35
2.2.5. Асимптотическая устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка	38
2.3. Метод изоклин	39
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков	43
3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка	43
3.1.1. Понижение порядка обыкновенного дифференциального уравнения. Введение	43
3.1.2. Уравнения, не содержащие независимой переменной	45
3.1.3. Уравнения, не содержащие искомой функции	47
3.1.4. Уравнения с однородной правой частью	48
3.2. Линейные однородные диференциальные уравнения n-го порядка	50
3.2.1. Линейные однородные диференциальные уравнения n-го порядка. Введение	50
3.2.2. Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции	51
3.2.3. Существование и единственность решения задачи Коши	51
3.2.4. Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания	52
3.2.5. Линейные уравнения второго порядка. Ангармонические колебания	54
3.2.6. Линейные уравнения второго порядка. Уравнение Ньютона	55
3.3. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций	58
3.3.1. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций	58
3.3.2. Определитель Вронского	61
3.3.3. Исследование линейной независимости системы функций	63
3.3.4. Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения	63
3.4. Структура решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка	64
3.4.1. Фундаментальная система решений	64
3.4.2. Структура общего решения линейного однородного уравнения	65
3.4.3. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения	66
3.4.4. Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения	67
3.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами	70
3.5.1. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами	70
3.5.2. Метод подбора построения частного решения неоднородного уравнения	72
3.5.3. Уравнение Эйлера	75
4. Системы дифференциальных уравнений	77
4.1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия	77
4.2. Фазовое пространство. Фазовые траектории	78
4.3. Существование и единственность решения задачи Коши	79
4.4. Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения	81
4.4.1. Линейные системы однородных дифференциальных уравнений. Структура	83
4.4.1.1. Линейные системы однородных дифференциальных уравнений. Основные понятия	83
4.4.1.2. Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений	85
4.4.1.3. Структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений	88
4.4.1.4. Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений	89
4.4.1.5. Построение фундаментальной матрицы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера	93
4.4.2. Системы однородных дифференциальных уравнений. Поведение решений	94
4.4.2.1. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений	94
4.4.2.2. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову	98
4.4.2.3. Устойчивость положения равновесия линейных систем однородных дифференциальных уравнений	100
4.4.2.4. Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению	102
4.4.2.5. Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем	105
4.4.3. Автономные системы дифференциальных уравнений	107
4.4.3.1. Автономные системы. Основные понятия	107
4.4.3.2. Свойства фазовых траекторий	110
4.4.3.3. Фазовая плоскость, фазовые кривые, фазовый портрет автономной системы второго порядка	111
4.4.3.4. Векторное поле автономной системы второго порядка	113
4.4.3.5. Точки покоя линейной автономной системы второго порядка с постоянными коэффициентами	115
4.4.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка	119
4.4.4.1. Задача Коши. Общие замечания. Постановка задачи	119
4.4.4.2. Метод Эйлера	120
4.4.4.3. Модифицированный метод Эйлера	122
4.4.4.4. Метод Рунге-Кутта	123
Заключение	130
Библиографический список	131