Учебники / Физика конденсированных сред

202 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Выражения для кинетических коэффициентов в пределе сильного вырождения легко могут быть получены, если выражения для интегралов Kl (4.36) подставить в формулы (4.32):

При выводе последнего соотношения мы учли, что K0K2 K12 . Полученные результаты (4.37) – (4.39) качественно правильно описывают поведение электропроводности σ , дифференциальной термоэдс α и теплопроводности κ в нормальных металлах и сильновырожденных полупроводниках. Мы не приводим здесь значения термоэлектрических коэффициентов, характеризующих явления Пельтье и Томсона, поскольку, как показано в главе 1, они выражаются в изотропном случае через коэффициент дифференциальной термоэдс. Оценим порядок величины

дифференциальной термоэдс α , используя формулу (4.38)

где температура T измеряется в градусах по шкале Кельвина. Эта оценка по порядку величины совпадает с известными экспериментальными данными для термоэдс большинства металлов ( α = 3 ÷ 10 мкВ/K ). Существенные отклонения от формулы (4.38) могут возникать, например, при наличии магнитных примесей (эффект Кондо). Мы не будем останавливаться на этом интересном вопросе, отсылая читателей к специальной литературе [28, 30].

Другим важным результатом рассматриваемой теории является выполнение закона Видемана – Франца для коэффици-

который хорошо подтверждается на эксперименте при доста-

точно высоких температурах ( T 300 K) .

Задача 4.1

Используя выражение для поправки к функции распределения (4.14), дать качественное квантово-статистическое объяснение возникновения тока в проводнике при наличии внешнего электрического поля и градиента температуры.

Решение

Пусть имеется только внешнее электрическое поле, задаваемое

вектором напряженности . До включения внешнего электрического

E

поля равновесная функция распределения была сферически симмет-

ричной и зависела только от модуля импульса . При включе- p = k

нии внешнего электрического поля одно из направлений выделяется и функция распределения перестает быть сферически симметричной. В стационарном неравновесном состоянии импульс электронов будет

иметь добавку , связанную с действием внешнего элек- p = eEτp

трического поля. В вырожденном случае участие в электропереносе, как следует из рис. 26 б, принимает лишь небольшой слой электронов шириной порядка kБT вблизи поверхности Ферми. Остальные электроны не могут ускоряться внешним электрическим полем, поскольку ближайшие энергетические состояния заняты. Поэтому и добавку к импульсу получают лишь электроны, лежащие на поверхности Ферми.

Рассмотрим для простоты направление, совпадающее с внешним электрическим полем. Электроны, двигающиеся в направлении электрического поля, тормозятся полем (электрон является отрицательно заряженной частицей) и на поверхности Ферми имеют меньшую скорость, нежели электроны, двигающиеся в противоположном направлении. Схематически эта ситуация изображена на рис. 27 а.

Таким образом, при включении электрического поля возникает группа электронов вблизи поверхности Ферми, движущаяся в направлении против поля, которая имеет дополнительную поправку к

скорости | | . Аналогичная по численности группа

v = e /m E τp (ζ)

электронов, движущаяся по полю, будет иметь меньшую скорость, что и приводит к появлению направленного движения электронов при включении электрического поля.

204 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Рис. 27. Возникновение асимметрии функции распределения при наличии внешнего поля и градиента температуры:

а – смещение границы Ферми при наличии электрического поля на

величину = | | ( ) ; б – изменение формы функции распределения p e E τp ζ

вблизи уровня Ферми при наличии градиента температуры

Иначе говоря, включение постоянного электрического поля приводит к смещению Ферми-поверхности в импульсном пространстве на

величину . Поэтому искажение функции распределения p = eEτp

можно найти, если записать равновесное распределение в системе ко-

Последнее выражение в этой формуле и является поправкой к функции распределения при включении электрического поля. Хотя, как уже отмечалось, концепция сдвига поверхности Ферми в импульсном пространстве не является полностью корректной, она позволяет получить правильное выражение для поправки к функции распределения в электрическом поле.

Рассмотрим теперь влияние градиента температуры. Снова проанализируем движение электронов лишь вдоль одного направления, совпадающего с ориентацией градиента температуры. Тогда, если взять два сечения образца на расстоянии, меньшем, нежели длина свободного пробега, то электроны, двигающиеся из сечения с большей температурой T1 , будут иметь равновесное распределение, соответствующее этой температуре, а электроны, двигающиеся от более холодного сечения, – равновесное распределение, соответствующее более низкой температуре T2 . Схематически оба этих распределения изображены на рис. 27 б. Поскольку вклад в перенос дают только электроны из узкого энергетического слоя шириной несколько kБT , то важно посмотреть, как меняется распределение по скоростям для этой группы электронов. На «горячем» сечении число электронов,

208 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Таким образом, если носителями заряда являются дырки, то коэффициент термоэдс имеет положительный знак, что может быть использовано на эксперименте для определения типа носителей заряда в кристалле.

Мы привели выражения для кинетических коэффициентов в пределе сильного вырождения и в пределе невырожденной статистики. В принципе, имеются оценочные формулы для интегралов Ферми (4.34), которые дают погрешность, не превышающую 1,2% для актуальных значений индекса p при всех значениях x = ζ/kБT [29].

Задача 4.2

Получить выражение коэффициента дифференциальной термоэдс для случая смешанной электронно-дырочной проводимости.

Решение

Рассмотрим простейший случай невырожденного собственного проводника с почти заполненной электронами валентной зоной. Если ширина запрещенной зоны Eg не очень велика, то электроны проводимости возникают в результате теплового возбуждения валентных электронов в зону проводимости. В валентной зоне при этом появляются пустые, не заполненные электронами состояния, которые принято называть дырками. Концепция дырок является удобной и существенно упрощает описание кинетических явлений, в которых принимают участие электроны валентной зоны. Рассмотрим вначале равновесные статистические свойства электронно-дырочной системы.

Электроны в зоне проводимости и валентной зоне являются единой совокупностью частиц и характеризуются единым термодинамическим потенциалом. Начало отсчета энергии для состояний электронов в валентной зоне и зоне проводимости выберем в нижней точке зоны проводимости. Принимая параболический закон дисперсии в зоне проводимости и валентной зоне, имеем

где mc и mv – эффективные массы электронов в зоне проводимости и валентной зоне. Химический потенциал электронов можно найти из закона сохранения частиц: число электронов в зоне проводимости n должно совпадать с числом пустых мест p (дырок) в валентной зоне.

В результате в условиях равновесия получаем очевидное соотношение для определения химического потенциала

Для получения последнего результата мы использовали определение εv (4.54) и ввели обозначение εp для энергии и ζp для химического потенциала дырок

p2

εp = 2mv , ζp = −Eg − ζ.

Переходя в (4.55) от суммирования по квазиимпульсу к интегрированию по квазиимпульсу в сферической системе координат, а затем к интегрированию по безразмерной переменной x = εc/kБT для электронов и x = εp/kБT для дырок, получаем

Используя формулы (4.55) – (4.57), легко найти выражение для химического потенциала в собственном полупроводнике:

Аналогично, используя концепцию дырок, можно получить выражение для равновесных термодинамических потенциалов и при наличии донорных и акцепторных примесных центров.

Рассмотрим теперь, как, используя концепцию дырок, можно найти вклад валентных электронов в электроперенос. Используя

210 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

формулу (4.27), запишем выражения для вклада электронов валентной зоны в электрический ток

При записи второго равенства в выражении (4.58) мы учли, что вклад в электрический ток полностью заполненной валентной зоны равен нулю. Выражение в фигурной скобке последней формулы представляет собой функцию распределения дырок

поэтому вклад в электрический ток валентных электронов можно представить как ток положительно заряженных квазичастиц, имеющих положительную массу (положительна вторая производная по импульсу от энергии квазичастиц εp = p2/2m ):

При включении внешнего электрического поля и градиента температуры равновесная функция распределения дырок претерпевает искажения, которые можно определить тем же самым способом, что и искажения электронной функции распределения в задаче 4.1. Повторяя рассуждения, приведенные в задаче 4.1 для случая дырок, находим, что под действием электрического поля дырки будут иметь дрейфовую скорость, направленную вдоль электрического поля, и их вклад будет складываться с вкладом электронов, увеличивая результирующий электрический ток.

Искажения функции распределения, возникающие под действием градиента температуры для дырочной функции распределения, точно такие же, как и для электронной. Поэтому поток дырок, возникающий под действием градиента температуры, имеет то же направление, что и поток электронов. Суммируя эти результаты, можно записать феноменологическое уравнение для потока заряда в полупроводнике со смешанным типом проводимости при наличии электрического поля и градиента температуры