Добавил:

Tamaki_Syo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Физика конденсированных сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2022

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5030 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

§ 3. Вычисление электропроводности

291

Поэтому, пользуясь правилом перехода к представлению вторичного квантования для операторов аддитивного типа [38],

имеем

P˙ α

−

qα b

< k

eiq r

k >

−

(l)

k,k , σ,σ

b+ <

e−iq r

k >

δσ σ,

(5.72)

− q

k σ

kσ

где a

, a

– ферми-операторы рождения!

и уничтожения

kσ

электронов с волновым вектором

σ на

k и проекцией спина

ось Z ( σ = ±1/2 ).

Усреднение в формуле (5.69) производится одновременно по электронным и фононным состояниям и, поскольку оператор H0 уже не содержит взаимодействия электронов с фононами, усреднение по электронным и фононным переменным производится независимо. Подставляя результат (5.72) в (5.69) и вычисляя квантово-статистические средние от произведений операторов рождения и уничтожения электронов и фононов, получаем

∞

dt e− |t|

dλ

2q2

< k

eiq r

k > 2

6nm

−∞

q,k,k ,σ,σ

+< k

×(N + 1)f (1 − f ) ei/ (ε −ε + Ωq

q k k k k

| −iq r | |2 − i/ (ε −ε

e k > N f (1 f ) e

q k k k k

)(t+i λ) +

− Ωq )(t+i λ)!. (5.73)

При выводе этого выражения мы воспользовались формулами

+	ak	>= fk δkk , < ak			+		>= (1		− fk) δkk ;
< ak	ak	>= fk δkk , < ak			ak		>= (1		− fk) δkk ;
		< a	a	>= 0, < a+ a+					>= 0;
		k	k
							k	k
		a+(t) = a+ ei/ εk t,				a (t) = a e−i/ εk t				(5.74)
							k		k
		k	k

и статистической теоремой Вика – Блоха – Доминисиса [38], согласно которой среднее значение от произвольного числа операторов рождения и уничтожения фермионов для систем с гамильтонианом, который может быть представлен в виде

H0 = ε a+ a ,

kσ kσ kσ

kσ

292	Глава 5. Теория линейного отклика

равно сумме всех возможных полных систем спаривания этого произведения. Под спариванием операторов A1 и A2 понимается среднее значение этих операторов

+,- .

<A1 . . . A2 >=< A1 A2 >< . . . >= Sp{A1 A2 ρ0} Sp{. . . ρ0},

п о л н о й с и с т е м о й с п а р и в а н и я называются такие спаривания, при которых не остается ни одного неспаренного оператора. При этом получающемуся произведению средних значений пар операторов рождения (уничтожения) в случае статистики Ферми приписывается знак (−1)P , где P – число перестановок операторов рождения (уничтожения), переводящее исходное расположение операторов в данное. Согласно этой теореме, произведение четырех фермионных операторов можно представить в виде

k σ

k σ,-

< a+

a σ

-.+,

aμ+

aμ ρ >= f

δσ σ fμρ

δμ

δρρ +

k σ

δk μ

δσ ρ (1

fkσ ) δkμ δσρ .

(5.75)

−

Первый член в правой части формулы (5.75), соответствующий линиям спаривания над операторами рождения (уничтожения), вклада не дает, поскольку оператор взаимодействия обычно определяется так, чтобы он не имел диагональных матричных элементов в представлении H0 . По этой причине в выражении для 1/τ фигурирует только второе слагаемое в правой части формулы (5.75), соответствующее линиям спаривания, изображенным снизу.

Дальнейшее вычисление частоты релаксации импульса электронов по формуле (5.73) уже не представляет большого труда. Выполним сначала интегрирование по t и λ . Пользуясь определением дельта-функции

		∞
δ(x) =	1		dt e− \|t\| eixt =	1		1		1	,
δ(x) =			dt e− \|t\| eixt =		x − iε		− x + iε		,
	2π −∞			2πi	x − iε		− x + iε

§ 3. Вычисление электропроводности

293

первый из интегралов в фигурной скобке (5.73) запишем в виде

∞	β
	dt e− \|t \| dλ ei/ (εk −εk + Ωq )(t+i λ) =
−∞	0

	= 2 π	1 − exp{−β(εk − εk + Ωq )}
	= 2 π	εk − εk + Ωq
		εk − εk + Ωq
		= 2 π β δ(εk − εk

δ(εk − εk + Ωq ) =
+ Ωq ).	(5.76)

Преобразуя аналогичным образом второй интегральный член формулы (5.73) и производя в нем замену индексов суммирова-

→ →

ния k k , k k , получаем

1	=	β	2π
τ		6nm

×f

		×
	\|Cq \|2( q)2 \| < k \|eiq r \|k > \|2 (Nq + 1)
q k k σ σ
(1 − fk ) + Nq fk (1 − fk )!δ(εk − εk + Ωq ).		(5.77)

Для доказательства полной идентичности формул (5.77) и (4.160) воспользуемся законом сохранения квазиимпульса

| iq r |

< k e k >= δ +

k ,k q

и формулами (4.158), согласно которым

(Nq + 1) f (1 − f ) = Nq f (1 − f ),

k k k k

если в системе действует закон сохранения энергии

ε − ε + Ωq = 0.

k k

С учетом сделанных выше замечаний выражение для обратного времени релаксации импульса приобретает вид

=2π

τ3nm1 β

( q)2 |Cq |2Nq f (1 − f + )δ(ε − ε + + Ωq ).

k k q k k q

k σ, q

(5.78)

294	Глава 5. Теория линейного отклика

Это выражение полностью эквивалентно полученному ранее в главе 4 результату (4.160) для обратного времени релаксации среднего импульса равновесных электронов. Некоторое расхождение в обозначениях не должно вводить в заблуждение, поскольку, как уже указывалось, используемое в этой главе

обозначение fk означает равновесную функцию распределения. Кроме того, мы опустили индекс поляризации фононов λ , полагая сразу, что рассеяние происходит на продольных акустических фононах.

Пример вычисления электропроводности показывает, что в тех случаях, когда может быть применено кинетическое уравнение, результаты этого подхода и теории линейной реакции на внешнее механическое возмущение совпадают между собой. Метод Кубо, однако, обладает большей общностью в том смысле, что формальное выражение для кинетических коэффициентов типа (5.43) сохраняют свой смысл и в области квантующих магнитных полей и не содержат каких-либо предположений о виде спектра электронов и структуре гамильтониана взаимодействия носителей тока с рассеивателями.

Более того, имеется ряд задач физической кинетики, которые достаточно трудно решить, используя метод кинетических уравнений, в то время как теория линейной реакции на внешнее возмущение позволяет без труда получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом.

Примером такой задачи, рассмотренной в следующем параграфе, может служить вычисление компонент тензора динамической парамагнитной восприимчивости электронного газа и определение времени релаксации поперечных компонент спиновой парамагнитной восприимчивости электронов проводимости.

§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость

Пусть имеется система электронов, помещенных во внешнее

магнитное поле H Z . Будем полагать, что амплитуда поля является достаточно малой, так что квантования орбитального движения не происходит. Если кроме статического магнитного

поля на систему действует еще и слабое радиочастотное поле h ,

§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость 295

поляризованное в плоскости, перпендикулярной оси Z , то гамильтониан интересующей нас системы можно записать в виде

H(t) = H + HF (t), H = He + Hs + Hp + Hep,

Hs = −gμБS	z			α	=
		\| H \|, HF (t) = −gμБSh(t), S

He = P 2 ,

sαj , (5.79)

sαj – α -проекция оператора спина j -го электрона, g – эффективный фактор спектроскопического расщепления для электро-

нов проводимости, μБ – магнетон Бора, S – оператор полного спина электронов. Гамильтониан Hep описывает взаимодействие электронов с рассеивателями, Hp – гамильтониан рассеивателей. Явный вид этих операторов мы конкретизировать не будем, однако сразу заметим, что оператор Hep , в отличие от оператора электрон-фононного взаимодействия, выведенного нами в главе 4, должен содержать слагаемые, пропорциональные компонентам оператора спина электронов. В случае электрон-фононного и электрон-примесного взаимодействий такая структура оператора Hep возникает при учете в процессах взаимодействия электронов с рассеивателями спин-орбитального вклада.

Пользуясь теорией линейного отклика системы на внешнее воздействие, развитой в §2 настоящей главы, запишем выражение для проекции среднего магнитного момента электронов

t≡

<M > m(t) :

mα(ω) =	(gμБ)2	0	dt1 e( −iω)t1 Sp Sα eiLt1 [ ρ0, Sβ ]	hβ (ω).
mα(ω) =		0	dt1 e( −iω)t1 Sp Sα eiLt1 [ ρ0, Sβ ]	hβ (ω).
	i	−∞		!
				(5.80)

Этот результат непосредственно следует из выражения (5.35), если в него подставить

A = B = M = gμБS, F (ω) = h(ω).

Для дальнейшего преобразования выражения (5.80) воспользуемся тождеством Кубо (5.60), которое теперь запишем

296

Глава 5. Теория линейного отклика

в виде

[ ρ0, Sβ ] = β 1 dτ S˙ β (i βτ ) ρ0,

(5.81)

и введем удобное обозначение

(5.82)

( A, B ) = 1 dτ

A B(i βτ ) ρ0 .

В результате получаем

mα(ω) = β(gμБ)2

dt1 e( −iω)t1 (Sα, S˙ β (t1))hβ (ω);

(5.83)

−∞

, H].

Уравнение (5.83) фактически определяет тензор магнитной восприимчивости электронного газа, поперечные компоненты которого в круговых переменных

m± = mx ± imy ; h± = hx ± ihy

имеют вид

χ±(ω) = β (gμБ)2

dt1 e( −iω)t1 (S+, S˙ −(t1)).

(5.84)

−∞

Как и в случае электропроводности, компоненты тензора парамагнитной восприимчивости χ±(ω) выражаются через корреляционную функцию, для вычисления которой можно использовать метод функций Грина.

Если исходить из формулы (5.84), то для вычисления поперечных компонент тензора магнитной восприимчивости целесообразно ввести функцию Грина

G+−(t1) = θ(−t1) e t1 ( S+, S−(t1)).

(5.85)

§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость					297
Тогда, пользуясь уравнениями движения
			1
S˙ = iωsS + S˙(l), ωs =	gμБ \| H \|	, S˙(l) =		[S , Hep],	(5.86)
			i

можно выразить поперечные компоненты тензора парамагнитной восприимчивости через функции Грина G+−(ω) и G1 +−(ω)

			gμ )2
χ+− (ω) = β			( Б		G1 +−(ω) + iωsG+−(ω) ,				(5.87)
χ+− (ω) = β			2		G1 +−(ω) + iωsG+−(ω) ,				(5.87)
где
G1 +−(ω) =				∞		dt1 e−iωt1 G1 +−(t1),
G1 +−(ω) =						dt1 e−iωt1 G1 +−(t1),
			−∞
	G+−(ω) =				∞
	G+−(ω) =					dt1 e−iωt1 G+−(t1),
				−∞			( S+, S˙ −
G	1 +−	(t ) = θ(			t ) e t1		( S+, S˙ −	(t )).	(5.88)
	1 +−	1		−		1	(l)	1	(5.88)

Выбор вида функции Грина не является однозначным. Если исходить из выражения (5.80), то можно выразить поперечные компоненты тензора магнитной восприимчивости электронного газа через коммутаторную функцию Грина

	1		[ ρ0, S−]!,
G+−(t1) = θ(−t1) e t1	Sp S+eiLt1			(5.89)
		i

фурье-трансформа которой также позволяет определить поперечные компоненты парамагнитной восприимчивости:

			(gμ	)2
χ	+−	(ω) =	Б		G	+−	(ω).	(5.90)
			2

В связи с этой неоднозначностью встает закономерный вопрос: одинаковыми ли будут конечные результаты вычислений, если исходить из разных представлений (5.85) и (5.89) для функции Грина? Ответ на этот вопрос, как мы убедимся ниже, будет отрицательным. При использовании приближенных

298	Глава 5. Теория линейного отклика

методов вычисления функции Грина (5.85) и (5.89) дают качественно различающиеся результаты для магнитной восприимчивости, хотя, конечно, при точном вычислении результат не должен зависеть от вида исходной функции Грина.

Применим развитый в предыдущем параграфе метод массового оператора для нахождения компонент тензора магнитной восприимчивости χ+−(ω) исходя из определений (5.85) и (5.89)

ивыясним, в чем состоят различия в получающихся результатах.

Вначале воспользуемся определением (5.87). Составляя цепочку уравнений движения для функции Грина G+−(t1) (5.85)

ипереходя затем к частотному представлению, совершенно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, получаем

i(ω − ωs + i )G+−(ω) = −(S+, S−) + G1 +−

− − + ˙ − −

i(ω ωs + i )G1 +−(ω) = (S , S(l)) G2 +−

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G2 +−(ω) =	0	dt1 e( −iω)t1 (S˙(+l), S˙(−l)(t1)).
	−∞

(ω),

. . ,

(5.91)

(5.92)

Система уравнений (5.91) аналогична формальной системе (5.52). Поэтому, вводя массовый оператор M+−(ω) для функции Грина G+−(ω) соотношением

(S+, S−) G+−(ω) = − i(ω − ωs + i ) − M+−(ω)

и пользуясь результатами (5.54) (5.55), получаем

G1 +−(ω) = −

(S+, S−)M+−(ω)

i(ω − ωs + i ) − M+−(ω)

(S+, S˙ − )

G2 +−(ω)

+−

(ω) =

(l)

+ O(H2

(S+, S−)

(5.93)

(5.94)

(5.95)

Последний член в правой части формулы (5.95) означает слагаемые, содержащие константу взаимодействия электронов

§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость 299

с рассеивателями в степени выше, чем вторая. Вычисляя массовый оператор в борновском приближении теории рассеяния, будем учитывать только первые два члена в формуле (5.95) и отбрасывать последний.

Подставляя выражения (5.93) и (5.94) в формулу (5.87) для поперечных компонент тензора парамагнитной восприимчиво-

сти электронов проводимости, получаем
χ+−(ω) = β	(gμБ)2	(S+, S−) iωs + M+−(ω)						.	(5.96)

			−	−		−	)
	2 i(ωs			ω
					i ) + M+ (ω

Для интерпретации смысла членов, входящих в это выражение, найдем парамагнитную восприимчивость исходя из феноменологических уравнений движения магнитного момента, предложенных Блохом в 1946 г. Записанная в декартовой си-

стеме координат эта система уравнений имеет вид
	d			gμБ		δmx
	dt	mx	=		[m × H]x −	T2	, H = H + h,
	d			gμБ		δmy
		my	=		[m × H]y −		,
	dt					T2
	d			gμБ		δmz
		mz	=		[m × H]z −		, δm = m − χ0H, (5.97)
	dt					T1

χ0 – статическая магнитная восприимчивость системы. Величины T1 и T2 имеют смысл времени релаксации продольных и поперечных компонент спиновой намагниченности, m – суммарный вектор магнитного момента системы. Предполагая, что геометрия внешних полей осталась прежней, перейдем к циклическим переменным, для чего второе уравнение системы (5.97) умножим на мнимую единицу и сложим с первым уравнением. Тогда получим уравнение, содержащее только одну компоненту намагниченности – m+ :

gμБ

−

m h

m+ − χ0h+

(5.98)

{

z +} −

Действительно,

величина

mz , входящая в формулу (5.98),

в случае, когда

быть записана

h+ H ( H =| H |), может

в виде

mz = χ0H.

300	Глава 5. Теория линейного отклика

Производя преобразование Фурье уравнения (5.98), получаем уравнение

−i(ω − ωs) m+(ω) = iωs χ0h+ −	m+	+	χ0 h+	.	(5.99)
	T2		T2

Отсюда, пользуясь определением магнитной восприимчивости

m+(ω) = χ+−(ω) h+(ω),

находим

χ	(ω) =	χ0 (iωs + 1/T2)	.	(5.100)

+−		i (ωs − ω) + 1/T2

Выражение для поперечной магнитной восприимчивости (5.100), полученное из феноменологических уравнений Блоха, имеет ту же самую структуру, что и формула (5.96), если принять, что роль статической восприимчивости играет величина

		(gμ	)2
χ0	= β	Б		(S+, S−),	(5.101)
		2

а роль обратного времени релаксации ν2(ω) , зависящего от частоты, играет реальная часть массового оператора

= ν2(ω) = Re M+−(ω).

Мнимая часть массового оператора при этом описывает сдвиг частоты зеемановской прецессии δωs за счет взаимодействия с рассеивателями

δωs = Im M+−(ω).

Интересной особенностью результатов (5.96), (5.100) является то, что они справедливы при высоких и низких частотах ω . В пределе низких частот ω → 0 высокочастотная парамагнитная восприимчивость χ+−(ω) переходит в статическую восприимчивость χ0 . Этот предельный переход в область малых частот нарушается, если при вычислении парамагнитной восприимчивости воспользоваться коммутаторной функцией Грина (5.89).

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5030 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
30.03.20221.94 Mб80[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org).pdf
#
30.03.20224.11 Mб92Лекции по термодинамике неравновесных систем. Пармон.pdf
#
30.03.202228.89 Mб1112НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СЛОЖНЫХ.pdf
#
30.03.20221.21 Mб62Равновес и неравновес термодинамика.pdf
#
30.03.20223.97 Mб76Физика конденсированных сред.pdf