Добавил:

Tamaki_Syo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Физика конденсированных сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2022

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость 301

Действительно, составляя цепочку уравнений движения для коммутаторной функции Грина в частотном представлении, имеем

i(ω − ωs + i ) G+−(ω) =

< Sz > +G1 +−(ω),

i(ω

−

+ i ) G

(ω) =

< [S˙ −

, S+] >

−

(ω),

(5.102)

1 +−

2 +−

(l)

G1 +−(ω) =

dt1

e( −iω)t1

< [S˙(−l)(t1), S+] >,

−∞

G2 +−(ω) =

dt1

e( −iω)t1

< [S˙(−l)

(t1), S˙(+l)

] > .(5.103)

−∞

Решение системы уравнений (5.102) в борновском приближении теории рассеяния для массового оператора M+−(ω) имеет

вид
G+−(ω) =	1			2 < Sz >					(5.104)
								,
								,
	i i(ω − ωs + i )					− M+−(ω)
	< [S˙ −			, S+] >			G2 +−(ω)
M+−(ω) =			(l)		+ i				(5.105)
		2 < Sz >
		2 < Sz >					2 < Sz > .

Подставляя результат (5.104) в формулу (5.90) для поперечных компонент тензора магнитной восприимчивости, получаем

χ	(ω) =	i	(gμ	)2	< Sz >		(5.106)
						.

+−			Б		i(ωs − ω − i ) + M+−(ω)

Для сравнения результатов (5.106) и (5.96) необходимо учесть, что в нулевом порядке по взаимодействию

< Sz >=	β ωs	( S+, S− )	(5.107)
	2

и, таким образом, в пределе при ω → 0 выражение χ+−(ω) , определенное с помощью коммутаторной функции Грина, не переходит в статическую восприимчивость χ0 . Результат (5.106)

302	Глава 5. Теория линейного отклика

для восприимчивости χ+−(ω) можно получить из феноменологической системы уравнений Блоха (5.97), предварительно испортив структуру релаксационных членов. Легко заметить,

что замена

m+ − χ0h+ → m+ T2 T2

в уравнении (5.98) немедленно приводит к выражению χ+−(ω) , имеющему структуру формулы (5.106). Этот факт позволяет лучше понять, в чем состоит различие результатов (5.106) и (5.96).

Магнитная восприимчивость, определенная формулой (5.96), соответствует тому случаю, когда релаксация магнитного момента системы m+ происходит к равновесному значению магнитного момента χ0h+ в переменном магнитном поле, а формула (5.106) описывает релаксацию магнитного момента к нулевому значению поперечной намагниченности. По этой причине результат (5.106) справедлив только для высоких частот ω ωs ν2 , когда магнитный момент не успевает следовать за полем и можно считать, что релаксация магнитного момента происходит к нулевому значению.

Завершая рассмотрение задачи вычисления парамагнитной восприимчивости электронного газа, докажем соотношение (5.107) и вычислим статическую восприимчивость χ0 .

Будем исходить из определения корреляционной функции

( S+, S− ) = 1 dτ Sp S+ρ0τ S−ρ01−τ	=
0	!	!
0		!
= 1 dτ Sp S+eβ ωsSz τ S−e−β ωsSz (1−τ )		.	(5.108)
Пользуясь коммутационными соотношениями для компо-
нент оператора полного спина
[S , Sz ] = ± S ,
получаем полезное соотношение
S eβHsτ = eβ(Hs ωs)τ S ,			(5.109)

§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость 303

с помощью которого выражение (5.108) может быть преобразовано следующим образом:

(S+, S−) =< S+S− >	1 − exp{−β ωs}	=	2	< Sz > . (5.110)
			β ωs
	β ωs

При выводе этого соотношения мы снова воспользовались формулой (5.109), полагая

β ωs

>= Sp S+S

βHs

!e−

β ωs =

−

< S

S−

− Z

−

! ! !

= Sp S− Z1 e−βHs S+ e−β ωs = Sp S−S+ Z1 e−βHs , Z = Sp e−βHs

и коммутационные соотношения для операторов S+, S−

[S+, S−] = 2Sz .

Теперь не представляет труда вычислить и статическую парамагнитную восприимчивость электронного газа. Пользуясь определением χ0 , имеем

β(gμ

gμ

χ0

(S+; S−) =

< Sz >,

< Sz >= sz < a+ a >=

kσ

k σ

(< ak↑ak↑

> − < ak↓ak↓

sσ = ±

(5.111)

где стрелками ↑ и ↓ обозначена ориентация спинового момента относительно оси Z . Пользуясь формулами (5.74), выразим средние от операторов рождения (уничтожения) электронов че-

рез функции заполнения электронов f	и f	со спином, ори-
k↑	k↓

ентированным вдоль магнитного поля и в противоположном направлении соответственно. Полагая параметр β ωs малым,

разложим функции распределения f	и f	по этому пара-
k↑	k↓

метру с точностью до линейных членов и, переходя затем от

суммирования по волновому вектору k к интегрированию по

304	Глава 5. Теория линейного отклика

энергии, получаем стандартную формулу статической парамагнитной восприимчивости электронного газа

1/2			2	m	3/2	∞
χ0 =	2	μБ					ε1/2	−	∂f (ε − ζ)	dε.	(5.112)
		2		3
		π				0			∂ε

Для полного вычисления поперечных компонент динамической парамагнитной восприимчивости электронного газа необходимо, вообще говоря, рассмотреть вопрос о вычислении массового оператора, определяемого формулой (5.95), и частоты релаксации поперечных компонент спиновой намагниченности ν2(ω) . Во втором порядке по взаимодействию Hep величина ν2(ω) определяется действительной частью функции G2 +−(ω) и может быть легко вычислена. Принципиально эти вычисления ничем не отличаются от вычисления обратного времени релаксации среднего импульса электронов в предыдущем параграфе, но они достаточно громоздки и поэтому мы их здесь не приводим.

5.2.Электропроводность в квантующем магнитном поле

§ 5. Потоки заряда и тепла

вквантующем магнитном поле

Воснову теории термогальваномагнитных явлений, изложенной в предыдущей главе, было положено кинетическое уравнение Больцмана. При изменении внешних условий, таких как температура образца T , напряженность внешнего магнитного поля H, условия применимости квазиклассического описания могут оказаться нарушенными и подход, основанный на кинетическом уравнении, неприменим. Как показано в § 2 предыдущей главы, если выполняются условия ω0 kБT и ω0τp 1 , то при построении теории явлений переноса следует учитывать квантование орбитального движения электронов в магнитном поле и возникновение дискретных уровней энергии электронов (уровней Ландау). Наличие дискретного спектра электронов в магнитном поле приводит к ряду особенностей, проявляющихся

§ 5. Потоки заряда и тепла в квантующем поле

305

в термодинамических и кинетических явлениях. Так, в квантующем магнитном поле возможны осцилляции термодинамических характеристик и термогальваномагнитных коэффициентов при изменении внешнего магнитного поля, связанные с прохождением очередного уровня Ландау через уровень Ферми (более подробно об этом см. в следующем параграфе).

Кроме этих, достаточно очевидных различий квазиклассической и квантовой теории термогальваномагнитных явлений, связанных с перестройкой спектра носителей тока, имеются существенные различия в определении потоков заряда и тепла. В предыдущей главе потоки заряда и тепла были определены соотношениями (4.27), (4.28). В квантовой теории аналогами этих формул являются определения

			ˆ						ˆ

		J = Sp{J ρ}, JE = Sp{JE ρ},
ˆ	e	ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ	1			ˆ	ˆ
		ˆ ˆ	ˆ ˆ					ˆ	ˆ
J =	2	(vN + N v),		JE =		2e	(JH + HJ),			(5.113)
					ˆ			ˆ
									– операторы плотно-
где ρ – статистический оператор, J и								JE	– операторы плотно-
									ˆ	– опера-
сти электрического тока и плотности потока энергии, v										– опера-
тор скорости носителей тока,				ˆ	– оператор плотности энергии.
тор скорости носителей тока,				H	– оператор плотности энергии.

В квантующем магнитном поле эти определения, однако, оказались некорректными. Еще в 50-х гг. прошлого века японские физики Касуя и Накаджима обратили внимание на то, что определенные таким образом поток плотности заряда и поток

тепла				приводят к нарушению соотношения
	JQ	= JE − ζ/e J

Эйнштейна, согласно которому коэффициенты, стоящие перед градиентом электрического потенциала и градиентом химического потенциала (деленного на заряд электрона), должны быть равны, а также нарушению соотношений симметрии Онсагера.

Фактическая причина нарушения соотношений Эйнштейна была вскрыта в работах П. С. Зырянова и В. П. Силина. Они показали, что в случае пространственно-неоднородных систем в объемную плотность потока заряда при наличии квантующего магнитного поля вносит вклад ток (c rot m) , обусловленный зависимостью парамагнитной и диамагнитной восприимчивостей электронного газа от химического потенциала и температуры.

Поэтому ток проводимости Jпр , который должен фигурировать

306	Глава 5. Теория линейного отклика

при определении коэффициентов переноса, следует правильно определить, исключив из формулы плотности потока заряда ту часть, которая непосредственно не связана с электропереносом:

	ˆ
			(5.114)
Jпр = Sp{J ρ} − c rot m,		B − H = 4πm.

Поток тепла в квантующем магнитном поле также требует переопределения, поскольку даже в пространственно-однородном случае вклад в поток тепла дает вектор Пойтинга

c
4π	[E × (H − B)],

который следует вычесть из плотности потока энергии, чтобы получить правильное выражение для потока тепла:

		ζ		c
JQ = JE −		e	Jпр −	4π	[E × (H − B)].	(5.115)

При наличии пространственной неоднородности в правой части формулы (5.115) возникают дополнительные слагаемые, пропорциональные пространственным производным тока намагниченности c rot m

Более подробно с проблемой определения потока заряда и тепла в квантующем магнитном поле и проблемой вычисления термогальваномагнитных коэффициентов можно познакомиться в обзорной работе [39] и монографии [40]. Там же можно найти и необходимые ссылки на оригинальные работы.

В рамках учебного курса нет никакой возможности изложить теорию термогальваномагнитных явлений в квантующем магнитном поле в полном объеме. Мы планируем лишь остановиться на проблеме вычисления диагональных и недиагональных компонент тензора электропроводности, основываясь на теории линейного отклика Кубо. В этом случае компоненты плотности тока намагниченности c rot m обращаются в нуль и мы возвращаемся к обычному определению тока проводимости (5.113), которым и будем пользоваться в дальнейшем.

§ 6. Динамика движения электрона в магнитном поле 307

§6. Динамика движения электрона

вквантующем магнитном поле

Рассмотрим движение электронов в кристалле при наличии

внешнего магнитного поля H , параллельном оси Z , которое

{− }

задается векторным потенциалом A = H y, 0, 0 , H = rot A . Как известно, силы, действующие на частицу в магнитном поле, не являются потенциальными. Однако в электромагнитном поле можно ввести обобщенную потенциальную функцию, зависящую от скорости. Для классической системы функция Лагранжа L свободно движущейся заряженной частицы в электромагнитном поле может быть записана в виде

L =	mv2		− eϕ +	e				(5.116)
						A v.
		2		c
О б о б щ е н н ы й ( к а н о н и ч е с к и й )								импульс p вве-
дем соотношением
p =		∂L	= mv +		e			(5.117)
		∂v			c		A.

Поскольку энергия электрона в магнитном поле (без учета спина) есть mv2/2 , а функция Гамильтона есть энергия, выраженная через обобщенный импульс, для функции Гамильтона

H электрона в магнитном поле получаем

			2
	Hˆ0 =	(p − e/c A)		,	(5.118)
	Hˆ0 =	2m		,	(5.118)
		2m
где
где	p = −i , поскольку при переходе к квантовому описа-

нию именно канонический импульс должен быть заменен оператором −i . Введем понятие к и н е т и ч е с к о г о и м -


п у л ь с а p = p − e/c A . Тогда можно записать
ˆ	=	(p)2	e
H0	=	2m , px = −i x + c Hy, py = −i y , pz = −i z .

(5.119)

308	Глава 5. Теория линейного отклика

Приведем выражения для спектра и собственных функций

оператора Гамильтона H . Подробности решения этой задачи можно найти в учебных руководствах по квантовой механике:

ˆ				2kz2		1
H0	ψn pz px	= εn pz ψn pz px ,	εn,pz =		+ ω0(n +		), (5.120)
				2m		2

ψn pz px = (4πl)−1/2 ei/ (pz z+px x) Φn y −l y0 ,

Φn(x) = Nne−x2/2 Hn(x),

где n = 0, 1, 2, . . . – номер уровня Ландау (мы решили сохранить традиционное обозначение для нумерации уровней Ландау, хотя ранее этой буквой была обозначена концентрация электронов). l = ( c/eH)1/2 – магнитная длина, y0 = −c/(eH)px , Nn – нормировочный множитель для собственной функции оператора энергии гармонического осциллятора Φn(x) . Как следует из закона дисперсии (5.120), движение в направлении оси Z остается квазисвободным. Квантуется лишь движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

Найдем коммутационные соотношения для компонент оператора кинетического импульса p:

[px, py ] = [px +	eH		eH		2
		y, py] = −		[py, y] = i		. (5.121)
	c		c		l2
[px, pz ] = [py, pz ] = [px, y] = [py, x] = [py , z] = [pz , x] = 0,
[px, x] = [py, y] = [pz , z] = −i .					(5.122)

Интересной особенностью движения электронов в магнитном поле является то, что здесь удается выделить медленно меняющиеся переменные X, Y – координаты центра ларморовской орбиты, которые являются квазиинтегралами движе-

ния (коммутируют с гамильтонианом H0 ) и координаты относительного движения ξ, η :

X = x − ξ, Y = y − η, ξ = −	c		η =	c		(5.123)
		py ,			px.
	eH			eH

§ 6. Динамика движения электрона в магнитном поле 309

Легко проверить, что вновь введенные величины удовлетворяют коммутационным соотношениям

[ξ, η] = il2, [X, Y ] = il2,

(5.124)

а остальные коммутаторы равны нулю:

[ξ, X] = [η, X] = [ξ, Y ] = [η, Y ] = 0.

Из основных принципов квантовой механики следует, что если два оператора не коммутируют, то физические величины, им соответствующие, одновременно неизмеримы и удовлетворяют принципу неопределенности. Отсюда следует, что

X Y l2,

положение центра ларморовской орбиты квантуется и в площадке порядка πl2 может располагаться лишь один центр.

Получим уравнения движения для операторов X и Y , счи-


тая, что гамильтониан задачи имеет вид		ˆ	ˆ	ˆ
тая, что гамильтониан задачи имеет вид		H = H0		+ U . В даль-
ˆ	будет использоваться оператор
нейшем в качестве оператора U	будет использоваться оператор

электрон-фононного или электрон-примесного взаимодействий. Сначала рассмотрим уравнения движения для компонент кине-

тического импульса px

и py :

px =

[px, H0

+ U ] =

[py , px]py +

[U , px].

Используя ранее полученные результаты (5.122), получаем

eH ∂H0

∂U

px =

−

(5.125)

∂py

∂x

Совершенно аналогично можно получить и уравнение дви-

жения для оператора py :

eH ∂H0

∂U

py = −

−

(5.126)

∂px

∂y

310	Глава 5. Теория линейного отклика

Используя определение (5.123) и полученные выше результаты (5.125), (5.126), имеем

X =

[x − ξ, H0

+ U ] =

[x, H0

] −

[ξ, H0

] −

c ∂U

= −

[ξ, U ] =

[X, U ] = −

∂y

∂U

Y =

[Y, U ] =

∂x

1	ˆ
i	[ξ, U ] =

(5.127)

Таким образом, координаты центра ларморовской орбиты

изменяются только под действием потенциала возмущений U . Это позволяет считать величины X и Y медленно меняющимися физическими величинами. Наличие медленно меняющихся переменных в квантующем магнитном поле радикальным образом изменяет и методику вычисления кинетических явлений

вквантующем магнитном поле.

§7. Выражение для компонент тензора электропроводности в квантующем магнитном поле

Вквантующем магнитном поле нарушаются условия применимости кинетического уравнения. Поэтому для анализа электропроводности будем использовать выражение (5.43), которое мы получили, используя теорию линейного отклика на слабое

механическое возмущение. Применяя для преобразования этого выражения формулу Кубо (5.60) и вводя вместо импульсов P α операторы тока, определив их выражением Jμ = eP μ , получаем

	0		β
σμν =		dt1	dλe( −iω)t1 Sp{JμJν (t1 + i λ)ρ0}. (5.128)
	−∞		0

Делая замену переменных t1 → −t1 , получаем окончательно

∞	β
σμν = dt1	dλe(iω− )t1 Sp{Jμ(t1)Jν (i λ)ρ0}.	(5.129)

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
30.03.20221.94 Mб80[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org).pdf
#
30.03.20224.11 Mб91Лекции по термодинамике неравновесных систем. Пармон.pdf
#
30.03.202228.89 Mб1112НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СЛОЖНЫХ.pdf
#
30.03.20221.21 Mб62Равновес и неравновес термодинамика.pdf
#
30.03.20223.97 Mб76Физика конденсированных сред.pdf