Учебники / Физика конденсированных сред

Возможность, а точнее, необходимость введения статистического описания связана со слабой устойчивостью динамических систем. Можно сказать, что статистическое описание возможно потому, что за любое макроскопическое время измерения динамической величины фазовая точка успеет побывать в огромном числе точек, разбросанных хаотически по всей фазовой поверхности. Именно размешивание позволяет использовать представление о том, что плотность распределения фазовых точек на изоэнергетической поверхности представляет собой постоянную величину (микроканоническое распределение), что является краеугольным камнем статистической механики Гиббса. Эргодичность систем (3.9) необходимое, но не достаточное условие применимости статистического описания, и только в системах с размешиванием плотность распределения фазовых точек оказывается одинаковой на всей изоэнергетической поверхности системы.

Для интегрируемых систем статистическое описание невозможно, поскольку фазовая точка движется по траектории, и если уж вводить усредненное описание, то усреднение нужно проводить вдоль траектории движения, а не по всему фазовому пространству.

Хаотическое поведение возникает как в динамических системах, описывающихся уравнениями Гамильтона, так и в диссипативных динамических системах, причем механизм возникновения динамического хаоса по существу одинаков – сверхвысокая зависимость картины движения от начальных условий.

Остановимся еще на одном вопросе. Не следует думать, что сложность системы автоматически гарантирует возникновение размешивания в ней. Еще на заре развития компьютерного эксперимента С. Улам, Д. Паста и Э. Ферми решили проверить при помощи численного эксперимента, выполняется ли одна из основных гипотез статистической механики – гипотеза о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Для этих целей была взята система осцилляторов, взаимодействующих не по гармоническому закону. Как показал численный эксперимент, при возбуждении одной из колебательных мод вначале происходил интенсивный обмен энергии с другими модами

и энергия, казалось бы, распределялась между всеми колебательными модами, но через некоторое время колебания исходной моды вновь усиливались. Наблюдалось явление, похожее на возврат системы в исходное состояние, предсказываемое теоремой Пуанкаре о возвратах. Решение проблемы Ферми – Паста

–Улама было получено в начале 1960-х гг. М. Крускалом и Н. Забуским, доказавшими, что система Ферми – Паста – Улама представляет собой разностный аналог уравнения Кортевега

–де Вриза и что равномерному распределению энергии препятствует солитонный характер распространения волн в этой системе (термин «солитон» предложен H. Забуским).

Наконец, еще одно замечание. Статистическая механика Гиббса исходит из достаточно простых предположений о постоянстве плотности распределения фазовых точек на изоэнергетической поверхности. В то же самое время, как отмечалось в главе 1, в условиях динамического хаоса фазовое пространство становится фрактальным и имеет дробную размерность. К сожалению, пока совершенно не ясно, влияет ли это как-то на статистические свойства системы или нет.

3.2.Обоснование квазиклассических кинетических уравнений

§ 3. Уравнение Лиувилля для функции распределения

Рассмотрим газ классических частиц, состоящих из N одинаковых одноатомных молекул, заключенных в некоторый объем V . Пусть для простоты изложения динамическое состояние каждой молекулы определяется координатой q и импульсом p .

Декартовы проекции векторов p и q обозначим соответственно pα и qα ( α = 1, 2, 3) .

Поскольку мы рассматриваем газ классических частиц, их координаты и импульсы подчиняются уравнениям Гамильто-

§3. Уравнение Лиувилля для функции распределения 123

Вформуле (3.11) H – полный гамильтониан системы, индекс i нумерует молекулы.

Состояние механической системы в некоторый момент t , как указывалось выше, задается совокупностью значений координат и импульсов всех частиц, составляющих систему. Таким образом, в каждый момент времени состояние системы представляется точкой в 6N -мерном фазовом пространстве. Эволюцию системы можно описывать, изучая движение фазовой точки в фазовом пространстве.

Следуя Гиббсу, перейдем к описанию динамики системы на языке функции распределения. Для этого, вместо того чтобы рассматривать эволюцию отдельной системы, рассмотрим совокупность совершенно одинаковых динамических систем, различающихся только начальным положением в фазовом пространстве. Такая совокупность систем называется а н с а м б л е м Г и б б с а . Если обозначить через ρ(p, q, t) плотность точек в фазовом пространстве, нормированную на единицу, то величина ρ(p, q, t) dpdq представляет собой вероятность обнаружить фазовую точку в элементе объема фазового пространства dpdq .

Описание системы в рамках метода Гиббса является чисто динамическим. В этом легко убедиться, если посмотреть, какому уравнению должна удовлетворять функция распределения ρ(p, q, t) . Как упоминалось выше в связи с обсуждением теоремы Пуанкаре о возвратах, движение фазовых точек в классической механике есть ф а з о в ы й п о т о к, который задается однопараметрической группой преобразований фазового пространства

Gt(p1(0), p2(0), . . . , pN (0); q1(0), q2(0), . . . , qN (0)) →

→ Gt(p1(t), p2(t), . . . , pN (t); q1(t), q2(t), . . . , qN (t)),

где p(t) и q(t) находятся из решения уравнений Гамильтона (3.11).

Рассмотрим фазовые точки, попавшие в момент времени t в некоторый элемент объема фазового пространства dp dq . Под

действием фазового потока эти точки в момент времени t переместятся в элемент объема фазового пространства dp dq . Поскольку фазовые точки не уничтожаются и не возникают вновь, то можно записать очевидное равенство

ρ(p, q, t) dp dq = ρ(p , q , t ) dp dq ,

выражающее закон сохранения фазовых точек фазовым потоком. Поскольку, согласно теореме Лиувилля, фазовый поток сохраняет фазовый объем и dpdq = dp dq , то отсюда следует условие постоянства функции распределения при эволюции частиц по фазовой траектории:

ρ(p, q, t) = ρ(p , q , t ).

Предполагая временное приращений dt = t − t бесконечно малым, произведем разложение функции ρ(p , q , t ) с точностью до членов первого порядка:

Отсюда следует равенство нулю выражения в квадратных скобках в правой части (3.12). Учитывая уравнения Гамильтона, которым удовлетворяют координаты и импульсы частиц системы, получаем уравнение Лиувилля для классической функции распределения

(3.13) Уравнение (3.13)позволяет найти значение функции ρ(p, q, t) , если задано значение функции распределения ρ(p, q, 0) в начальный момент времени. При описании системы на языке N -частичной функции распределения не достигается никакого сокращения в описании. Это описание столь же подробно, как и динамическое описание с использованием уравнений Гамильтона. Чтобы продвинуться дальше, необходимо перейти к менее подробному описанию системы, например на языке

одно-частичной функции распределения. То, что такое описание возможно, следует из материала, изложенного в § 1 главы 3. Действительно, при эволюции системы из начального состояния за временной период порядка характерного времени размешивания система забывает свое начальное состояние и коэффициенты корреляции высоких порядков обращаются в нуль. Поэтому, если рассматривать поведение системы на временах, больших времени хаотизации, то бессмысленно описывать систему на языке N -частичной функции распределения ρ(p, q, t) . Достаточно использовать упрощенное описание на языке одноили двухчастичных функций распределения. Впервые этот подход для вывода кинетических уравнений продемонстрировал Н. Н. Боголюбов в работе «Проблемы динамической теории в статистической физике» [20].

§ 4. Цепочка уравнений Боголюбова

Поскольку N -частичные функции распределения содержат избыточную и бесполезную информацию о корреляции частиц высоких порядков, целесообразно ввести более простые s -час- тичные функции распределения Fs(t, x1, x2, . . . , xs) , s = 1, 2 . . . , s N , определив их таким образом, чтобы величина

давала вероятность того, что в момент времени t динамические состояния группы из s молекул находятся в бесконечно малом объеме dx1dx2 . . . dxs вблизи точки x1, x2, . . . , xs . Для определения s -частичной функции распределения проинтегрируем ρ(x1, x2, . . . , xN ) по всем «лишним» переменным:

(3.15) Здесь и далее величина xi обозначает совокупность координаты и импульса i -й частицы, V – объем системы.

Нашей целью является вывод уравнения, которому подчиняется одночастичная функция распределения F1(t, x) . Тем не

менее разумно начать вывод уравнения движения для s -час- тичной функции распределения, упростив его на заключительном этапе.

Для вывода уравнения движения, которому подчиняется s - частичная функция распределения, будем использовать уравнение Лиувилля (3.13). Пусть система представляет собой разреженный газ свободно двигающихся молекул, взаимодействие между которыми определяется короткодействующим потенциалом Φ(|qi −qj |) , зависящим только от модуля расстояния между частицами. В этом случае гамильтониан системы в потенциальном поле U (q) можно записать в виде

(3.16) Используя гамильтониан (3.16), запишем уравнение Лиувил-

ля (3.13) для полной функции распределения:

Умножим обе части уравнения (3.17) на V s и проинтегрируем их по переменным xs+1, xs+2, . . . , xN , причем интегрирование по каждой из переменных xi производится по всем возможным значениям координаты и импульса i -й частицы. В результате получаем следующее выражение:

s+1≤i<j≤N

При записи соотношения (3.18) мы учли, что для любой симметричной относительно перестановки индексов функции Φij справедливо следующее представление двойной суммы:

Для дальнейшего преобразования уравнения (3.18) учтем

тождества (доказательство см. в задаче 3.1)

которые выполняются, если плотность распределения ρ стремится к нулю на границах фазовой области (при |q| → ∞ и |p| → ∞). Рассмотрим последовательно каждое из слагаемых в правой части уравнения (3.18).

Выполняя интегрирование в первом слагаемом с учетом

Второе слагаемое в соответствии с тождеством (3.19) обраща-

частиц. Тогда уравнение для s -частичной функции распределения можно записать в более компактной форме:

Записав это уравнение, мы еще не продвинулись вперед в задаче сокращения в описании. В действительности мы получили цепочку «зацепляющихся» уравнений для функций распределения, которая эквивалентна (по полноте информации) исходному уравнению Лиувилля. Эта идея использовать совокупность «зацепляющихся» уравнений движения для последовательности функций распределения или корреляционных функций вида (2.3) очень часто используется в неравновесной статистической механике для построения схем сокращенного описания. Похожие идеи высказывались в работах Борна, Грина, Кирквуда, Ивона. Поэтому в литературе очень часто уравнения движения (3.23) называют цепочками уравнений движения Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона (ББГКИ).

Чтобы получить замкнутое уравнение, необходимо функцию распределения, например Fs+1 , выразить через функции распределения меньших порядков. Тогда система уравнений замкнется и мы получим сокращение в описании. В следующих параграфах мы получим различные варианты уравнений для одночастичной функции распределения, взяв за основу цепочку уравнений (3.23).

Задача 3.1

Используя определение классических скобок Пуассона (3.13), доказать справедливость тождеств (3.19), (3.20) при условии, что ρ стремится к нулю на границах фазовой области.

Решение

Рассмотрим тождество (3.19). Используя определение скобок Пуассона, получаем