Учебники / Физика конденсированных сред

52 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

принцип эволюции Гленсдорфа – Пригожина. Согласно этому принципу, в любой неравновесной системе с фиксированными граничными условиями процессы идут таким образом, что скорость изменения производства энтропии, обусловленная изменением термодинамических сил, уменьшается со временем:

Критерий эволюции Гленсдорфа – Пригожина (1.89) называют универсальным критерием эволюции, поскольку пока не обнаружены ситуации, для которых неравенство (1.89) нарушается.

Задача 1.3

Проверить справедливость критерия эволюции Гленсдорфа – Пригожина (1.89) для явления теплопроводности с фиксированным значением градиента температуры на границе образца.

Решение

В случае теплопроводности имеется один обобщенный поток

I1 = JQ

и сопряженная ему термодинамическая сила

X1 = 1 .

T

Конкретизируем выражение (1.89) применительно к этому случаю:

Подставим этот результат в выражение (1.90). Преобразуя объемный интеграл в поверхностный, получаем

§ 12. Способы описания сильнонеравновесных систем 53

Поскольку предполагается, что на границе объема образца температура является фиксированной, то поверхностный интеграл в правой части формулы (1.91) обращается в нуль. Это условие может выполняться в открытых системах, когда изучаемая неравновесная система окружена внешними телами. Чтобы преобразовать объемный интеграл в правой части формулы (1.91), используем уравнение баланса тепла (1.10), записав его применительно к нашим условиям в виде

Знак равенства соответствует здесь стационарному состоянию. В результате проделанных вычислений мы показали, что для частного случая сильнонеравновесной системы, в которой осуществляется теплоперенос, скорость изменения производства энтропии за счет изменения внешних сил является отрицательной величиной.

§ 12. Способы описания сильнонеравновесных систем

Построить уравнения, описывающие поведение сильнонеравновесных систем, хотелось бы, конечно, из первых принципов, подобно тому, как строятся уравнения равновесной термодинамики в рамках равновесной статистической теории. При реализации этой программы сразу возникает проблема возникновения необратимого поведения. Как, взяв за основу, например, обратимые во времени динамические уравнения Ньютона, получить уравнения, пригодные для описания неравновесной системы? До недавних пор казалось, что между полностью детерминированным механическим описанием и статистическим описанием существует глубокая пропасть, преодолеть которую в рамках существующей парадигмы невозможно. Однако еще в трудах А. Пуанкаре были высказаны идеи детерминированного хаоса, которые позволяют преодолеть эту пропасть. Во второй

54 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

половине прошлого века благодаря трудам А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Я. Г. Синая, Г. М. Заславского и других ученых была развита стройная теория, позволяющая сформулировать условия, при которых динамическое описание системы становится бессмысленным и для ее описания требуется статистический подход.

Подход, основанный на представлениях о динамическом хаосе, весьма полезен для понимания принципов неравновесной статистической механики, и мы обсудим эти идеи в конце раздела, посвященного самоорганизации в сильнонеравновесных системах. Следует, однако, признать, что он мало пригоден для решения конкретных задач динамики сильнонеравновесных систем.

Бурный рост работ по теории самоорганизации в конце прошлого столетия связан в основном с появлением нового направления в математике, возникшего на стыке двух дисциплин – топологии и теории дифференциальных уравнений (математического анализа). Обе эти дисциплины слились в единую стройную теорию благодаря французскому математику Р. Тома, объединившему в своих трудах усилия предшественников Х. Уитни (топология) и А. Пуанкаре, А. Ляпунова, А. Андронова (качественная теория дифференциальных уравнений). С легкой руки английского математика К. Зимана новое направление получило название теории катастроф.

Громкое название породило огромное число спекуляций мистического содержания, не имеющих ничего общего с математикой или физикой. В действительности под катастрофой понимается скачкообразное изменение, возникающее в системе в ответ на плавное изменение внешних условий. В большинстве случаев, представляющих интерес для приложений в физике, речь идет о качественной перестройке (бифуркациях) характера решений дифференциальных уравнений определенного вида при плавном изменении одного из управляющих параметров.

Сущность нового подхода, определяющая его практическую ценность, состоит в том, что, как отмечал еще А. Пуанкаре,

§ 12. Способы описания сильнонеравновесных систем 55

очень часто нет необходимости получать полное решение сложной нелинейной системы дифференциальных уравнений, а достаточно ограничиться информацией о качественном поведении решений. Полное решение, даже если бы его удалось получить, затратив огромные усилия, способно лишь затруднить анализ поведения таких систем.

После сделанных выше замечаний можно поставить вопрос: как следует описывать сильнонеравновесные системы, способные к самоорганизации? Ясно, что для описания этих систем не подходит аппарат механики, поскольку механическое описание на языке координат и скоростей частиц, составляющих систему, является слишком мелкоструктурным, и для систем, демонстрирующих кооперативное поведение, оно окажется слишком сложным. Вместе с тем термодинамический подход, как уже указывалось выше, также неприемлем для описания этих систем.

По этой причине в большинстве случаев сильнонеравновесные системы с самоорганизацией принято описывать, определяя эволюцию подходящего набора макроскопических переменных, для которых предварительно должны быть найдены некие динамические уравнения движения. Строго говоря, этот подход выпускает из рассмотрения наиболее сложный этап вывода уравнений, описывающих эволюцию сильнонеравновесных систем из первых принципов (принципов неравновесной статистической механики), заменяя его полуфеноменологическим выводом подходящих динамических уравнений.

Если система остается пространственно однородной, то это должны быть дифференциальные уравнения первого порядка по времени (уравнения более высокого порядка можно всегда свести к системе уравнений первого порядка). После того как система уравнений найдена, для качественного анализа характера решений используются подходы, основанные на теории катастроф.

В качестве примера приведем вывод уравнений модели «хищник – жертва» Вольтерра – Лотки, описывающей численность популяции хищников (тунца) и жертвы (сардин), связанных

56 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

единой пищевой цепью. Модель «хищник – жертва» была предложена В. Вольтерра в 1920 г. Найденные им математические уравнения совпали с уравнениями А. Лотки, которые он предложил для гипотетической схемы реакций с образованием неустойчивого промежуточного соединения. Так возникла знаменитая модель Вольтерра – Лотки, получившая название «хищник – жертва» и присутствующая во всех монографиях, где обсуждается теория самоорганизации.

Пусть n1 – количество «травоядных» в популяции, n2 – количество «хищников». Тогда динамика популяций «хищников» и «травоядных» определится уравнениями

Согласно уравнениям (1.93), скорость размножения «травоядных» пропорциональна их количеству n1 и зависит от константы γ1 , регулирующей скорость размножения. С другой стороны скорость уменьшения популяции пропорциональна числу «хищников» и числу «жертв» ( β – некоторая константа). Скорость увеличения популяции хищников зависит от произведения n2 n1 , поскольку определяется как числом особей «хищников», так и наличием корма. Скорость вымирания «хищников» зависит от их количества и определяется константой γ2.

Характерно, что система (1.93) является нелинейной. Временная зависимость n1(t) изображена на рис. 5. Аналогичную периодическую временную зависимость (с некоторым сдвигом по временной шкале) имеет и популяция n2.

Вместо того чтобы изучать временную зависимость, можно построить фазовый портрет системы. В случае модели «хищник – жертва» фазовое пространство представляет собой координатную плоскость с осями n1 и n2 . Каждому состоянию системы будет соответствовать точка в фазовом пространстве, а множество точек, отображающих состояние системы в разные моменты времени, и представляет фазовый портрет. На рис. 6 изображен фазовый портрет задачи «хищник – жертва».

58 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Обобщая полученные выше результаты, будем описывать состояние сильнонеравновесной системы набором переменных q1(r, t), q2(r, t) . . . , qn(r, t), зависящих от координат и времени. Совокупность величин q1, q2, . . . , qn определяет вектор состояния системы q (точку в фазовом пространстве, которая однозначно характеризует состояние системы).

Зависимость q1(t) , q2(t), . . . , qn(t) определяет эволюцию системы во времени. Для трех и более динамических перемен-

ных фазовый портрет системы построить достаточно сложно. В этом случае ее поведение можно изучить, рассекая фазовое пространство плоскостью и анализируя прохождение фазовых точек через эту плоскость (сечение Пуанкаре).

Более подробно методы получения информации о качественном поведении решений нелинейных систем уравнений будут рассмотрены в ближайших параграфах.

§ 13. Устойчивость состояний сильнонеравновесных систем

Будем полагать, что сильнонеравновесная система описывается набором макропараметров q1(t), q2(t), . . . , qn(t) , для которых можно записать систему дифференциальных уравнений

где B – некоторые параметры, задающие внешние и внутренние условия. Функции fi предполагаются дифференцируемыми. Как следует из записи (1.94), в правых частях уравнений нет явной временной зависимости. Дифференциальные уравнения, правые части которых не содержат явной временной зависимости, обычно называют а в т о н о м н ы м и .

В силу теоремы о существовании и единственности решения, через каждую точку фазового пространства проходит однаединственная фазовая траектория. Это означает, что фазовые траектории не пересекаются.

Качественный анализ решений обычно начинают с поиска стационарных точек, которые подчиняются уравнениям

dqdti = 0; fi(q1, q2, . . . , qn, B) = 0; i = 1, 2, . . . , n. (1.95)

§ 13. Устойчивость состояний неравновесных систем 59

Стационарным состояниям соответствуют фиксированные точки фазового пространства. Если функции fi(q1, q2, . . . , qn, B) являются нелинейными, то решений, удовлетворяющих уравнениям

fi(q1, q2, . . . , qn, B) = 0, i = 1, 2, . . . , n,

может быть достаточно много, и тогда встает вопрос, в каком из возможных состояний окажется система. Эта задача в значительной степени уже не столько математическая, сколько физическая. В каждой реальной физической системе существуют флуктуации параметров. Пусть набор параметров qis, i = 1, 2, . . . , n определяет некоторую стационарную особую точку, а qi(t) = qis + δqi определяет состояние, возникающее в результате флуктуации вблизи стационарного состояния. Если стационарная точка устойчива, то находящаяся в таком состоянии система нечувствительна к небольшим флуктуациям. Наоборот, если стационарная точка неустойчива, то флуктуации будут нарастать и система покинет стационарную точку.

Вопрос об устойчивости стационарных состояний допускает множество толкований. Рассмотрим несколько различных понятий устойчивости.

А с и м п т о т и ч е с к а я у с т о й ч и в о с т ь предполагает, что состояние является устойчивым и, кроме того, всегда можно найти ε > 0 такое, что при

В приведенной формуле q0 – некоторая точка вблизи стационарного состояния, в которой находилась система в начальный момент времени. Если стационарная точка асимптотически устойчива, то это означает, что все системы, фазовые точки которых расположены в некоторой окрестности стационарной точки, по истечении некоторого промежутка времени окажутся в стационарной точке. Именно поэтому асимптотически устойчивые состояния принято называть а т т р а к т о р а м и, а стационарные точки, удовлетворяющие условию (1.96), – притягивающими, или а т т р а к т о р н ы м и. Все множество точек, притягивающихся к q s , называют областью притяжения данного решения.

60 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Все состояния термодинамического равновесия, которые не являются критическими точками, асимптотически устойчивы.

§ 14. Глобальный критерий устойчивости по Ляпунову

Стационарная особая точка q s является устойчивой, если в некоторой окрестности этой точки D удается построить некоторую положительно (отрицательно) определенную функцию V (q1, q2, . . . , qn) такую, что ее производная dV /dt неположительно (неотрицательно) определена во всей области D . Устойчивость является асимптотической, если знаки V и dV /dt противоположны.

По существу, теорема Ляпунова обобщает метод потенциалов на системы, которые потенциалом не обладают. Важное значение этой теоремы в том, что если такую функцию удастся построить, то для решения вопроса устойчивости нет нужды решать уравнения движения, а нужно исследовать функции

поскольку из уравнений (1.95) следует, что q˙i = fi(q1, q2, . . . , qn). Практическая значимость этой теоремы не столь велика, поскольку она неконструктивна и ничего не говорит о том, как нужно строить такую функцию. Существует, однако, несколько простых примеров. В качестве первого рассмотрим функцию, описывающую поведение энтропии в зависимости от обобщенных координат при отклонении системы от состояния равновесия. Из условия экстремальности энтропии в равновесном состоянии следует, что отклонение энтропии от равновесного значения δS ≤ 0 . С другой стороны, в изолированной системе

˙ ≥

производство энтропии S 0 . Таким образом, энтропия S является функцией Ляпунова для изолированной системы вблизи состояния термодинамического равновесия, а равновесное состояние является асимптотически устойчивым (аттрактором).