Учебники / Физика конденсированных сред

Завершая краткое обсуждение теории броуновского движения по Ланжевену, следует еще раз остановиться на принципиальных моментах.

Во-первых, сокращенное (более грубое) описание стало возможным благодаря наличию двух временных масштабов в этой задаче. Вместо точного вычисления координат и скоростей броуновской частицы мы ограничились вычислением усредненных характеристик (моментов распределения) для двух предельных случаев τ0 t τ и t τ . В первом случае частично сохраняются следы механического движения и частица движется как бы по инерции со скоростью v0 . Производя разложение по параметру t/τ в формуле (2.10) и подставляя значение константы C , получаем для первого предельного случая

При t τ следы динамического описания полностью теряются и движение броуновской частицы приобретает диффузионный характер

Мы ограничились только вычислением моментов второго порядка (дисперсий), но есть, по крайней мере, принципиальная возможность вычисления моментов более высокого порядка [6,17] (отличны от нуля только четные моменты: четвертый, шестой и т. д.).

Во-вторых, в задаче о движении броуновской частицы использовано временное усреднение по фазовой траектории. Лишь для определения амплитуды спектральной интенсивности случайной силы (константы C ) пришлось использовать эргодическую гипотезу о равенстве временных и фазовых средних (подробнее эргодическая гипотеза обсуждается в следующей главе). В итоге спектральная интенсивность случайной силы оказалась зависящей от равновесной температуры.

Наконец, переход к описанию в грубой временной шкале оказался возможен лишь потому, что броуновская частица достаточно быстро за время t τ /2 забывает о своей начальной скорости. За это время ее движение хаотизируется и динамическое описание движения становится не только невозможным, но и бессмысленным. На временах t τ эволюция броуновских частиц перестает подчиняться уравнениям механики и процесс становится м а р к о в с к и м , т. е. состояние системы в данный момент времени не зависит от предыстории системы.

2.2.Уравнение Фоккера – Планка для броуновской частицы

§ 3. Вывод уравнения Фоккера – Планка

Рассмотрим эволюцию идеального газа броуновских частиц, используя подход, основанный на применении статистической функции распределения. Анализ будем вести в грубой временной шкале, полагая t τ . Как показано выше, за это время импульс броуновской частицы термализуется и среднее значение импульса за временной интервал τ совпадает со средним тепловым импульсом. По этой причине нет никакого смысла сохранять зависимость функции распределения от импульса, и мы будем предполагать, что плотность распределения ρ(r, t) зависит только от координат r и времени t . Естественно, что плотность распределения должна быть нормирована на единицу

Так как при своем движении броуновские частицы подчиняются закону сохранения числа частиц, то функция распределения должна удовлетворять уравнению неразрывности

Здесь v – скорость броуновских частиц.

Оставаясь в рамках полуфеноменологического описания, представим поток частиц состоящим из двух частей:

v = u0 + uсл.

Первая часть потока u0 связана с наличием действующих внешних сил и ее можно назвать регулярной частью потока. При записи уравнения Ланжевена (2.1) предполагалось, что на броуновскую частицу действует сила сопротивления Fтр = −γ v . Теперь, рассуждая аналогично, будем считать, что если броуновская частица находится в поле внешних сил Fвн = − U с потенциалом U , то эти внешние силы вызовут движение частицы со скоростью

Этот результат является следствием не механических, а гидродинамических законов движения.

Вторая часть потока, связанная со случайным блужданием, имеет характер диффузионного процесса. В феноменологической теории диффузия описывается законом Фика, который

утверждает, что плотность потока частиц Jсл = ρ vсл пропорциональна градиенту плотности числа частиц. Используя функцию плотности распределения, запишем закон Фика в следующей форме:

ρ uсл = −D ρ.

Здесь D – феноменологический коэффициент диффузии. Собирая эти два результата, найдем выражение для полного

потока броуновских частиц:

Величины D и γ в формуле (2.29) для потока частиц на самом деле не являются независимыми феноменологическими коэффициентами. Между ними существует простая связь, которую легко установить. В условиях равновесия суммарный поток (2.29) равен нулю. Поэтому уравнение (2.29) для равновесного состояния системы можно рассматривать как уравнение для определения равновесного распределения ρ . В записи по

компонентам уравнение для определения равновесного распределения ρ можно представить в виде

Переменные в этом уравнении разделяются, поэтому его решение можно записать сразу

Вместе с тем, если частицы находятся в поле потенциальных сил с потенциалом U (r) , то равновесное распределение этих частиц будет иметь вид

Сравнивая выражения (2.31) и (2.32), находим выражение для коэффициента диффузии D :

где η – коэффициент сдвиговой вязкости среды, R – радиус броуновской частицы.

Теперь можно вернуться к уравнению неразрывности (2.28). Подставляя в него плотность потока частиц в форме (2.29), получаем уравнение Фоккера – Планка для плотности распределения броуновских частиц:

где – оператор Лапласа.

Уравнение (2.33) позволяет однозначно найти функцию распределения броуновских частиц ρ(r, t) , если для этого уравнения заданы начальные и граничные условия. По своему смыслу это уравнение описывает релаксацию неравновесного распределения ρ(r, t) к равновесному больцмановскому распределению, определяемому формулой (2.31).

§ 4. Решение уравнения Фоккера – Планка

Рассмотрим простой случай, позволяющий, с одной стороны, просто решить уравнение Фоккера – Планка, а с другой, получить картину движения броуновской частицы, соответствующую пределу t τ в уравнении Ланжевена.

Пусть потенциал внешних сил U = 0 и система предполагается бесконечной и пространственно-однородной. В этом случае достаточно рассмотреть одномерное распределение ρ(x, t) . Предположим, что в начальный момент времени броуновская частица находилась в точке с координатой x = 0 , а плотность функции распределения описывалась дельта-функцией ρ(x, 0) = δ(x) . Тогда дальнейшая динамика этого распределения будет подчиняться уравнению Фоккера – Планка

Кроме начального условия ρ(x, 0) = δ(x) , решение уравнения (2.34) должно еще удовлетворять условию нормировки (2.27) и условию стремления плотности распределения к нулю при бесконечном удалении от начальной точки:

lim ρ(x, t) = 0.

x→±∞

Для решения уравнения (2.34) определим фурье-преобразо- вание плотности ρp(t) распределения соотношением

и запишем уравнение (2.34) для фурье-трансформы ρp(t) плотности распределения:

Интересно рассмотреть, как эволюционирует распределение (2.39) с ростом времени t . На рис. 18 приведены графики функции плотности распределения (2.39) для четырех значений параметра t/τ .

Рис. 18. Плотность распределения (2.39) для различных значений параметра t/τ ; величина x измерена в единицах v0 τ

Видно, что с ростом времени t эволюция распределения сводится к «размазыванию» распределения. Оно становится менее сосредоточенным, а вероятность обнаружить броуновскую частицу достаточно далеко от начальной точки возрастает.

Задача 2.2

Рассмотрим вычисление интеграла, возникающего при фурьепреобразовании нормального распределения (2.38).

Поставим задачу следующим образом: найти характеристическую функцию стандартного нормального распределения

Решение

Для нахождения интеграла, входящего в определение фурьеобраза нормального распределения, предварительно вычислим интеграл Пуассона

∞

IП = e−x2 dx.

0

Самым простым и изящным способом нахождения интеграла Пуассона является его сведение к вычислению некоторого интеграла в полярных координатах по площади четверти круга:

Последний интеграл можно рассматривать как интеграл по площади круга радиусом R , находящейся в первом квадранте координатной плоскости. Этот интеграл легко может быть взят переходом к полярной системе координат x = r cos ϕ, y = r sin ϕ :

Отсюда следует, что

IП = ∞e−x2 dx = √π ,

0

2

а аналогичный интеграл

Для вычисления интеграла (2.40) попытаемся с помощью замены переменных привести его к виду (2.41), записав показатель экспоненты −x2/2 + ipx в подынтегральной функции выражения (2.40) в виде

−(Ax − B)2 + C.

Сравнивая эти два выражения, находим A = 1/√2 , B = ip/√2 , C = −p2/2. Используя результат (2.41), получаем

Таким образом, характеристическая функция стандартного нормального распределения найдена. Описанный выше прием использовался и для вычисления интеграла (2.38).

На этом закончим краткое знакомство с методами описания движения броуновской частицы. Более подробное рассмотрение и примеры решения многочисленных задач о движении броуновской частицы можно найти в книге И. А. Квасникова [17].

К обоснованию и применению уравнения Фоккера – Планка мы еще вернемся в следующей главе в связи с обсуждением кинетических уравнений.

Завершая главу, подведем некоторые итоги. Задача о движении броуновской частицы – это одна из простых задач физической кинетики. Она позволяет наглядно увидеть, как может происходить огрубление описания динамической системы. Точное описание движения броуновской частицы на языке уравнений классической механики не только невозможно, но и бессмысленно, поскольку через достаточно малый промежуток времени система забывает о своем начальном импульсе и дальнейшее ее движение напоминает диффузию, а не механическое движение. Причину такого явления мы подробно обсуждали в главе 1 применительно к динамике диссипативных систем. Естественно, встает вопрос о том, как возникает огрубленное описание в системах, подчиняющихся динамическим уравнениям Гамильтона. Поэтому в начале следующей главы будут проанализированы условия, при которых система не может быть описана на языке динамических уравнений движения и требуется ее статистическое описание.

Глава 3

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В НЕРАВНОВЕСНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

3.1.Описание неравновесных систем

встатистической механике

§1. Интегрируемые и неинтегрируемые динамические

системы

К сожалению, по сложившейся традиции в курсе классической механики, который изучается в университете, совершенно недостаточно внимания уделяется неинтегрируемым системам, представляющим для нас наибольший интерес. По этой причине придётся сделать небольшой экскурс в механику классических систем.

Как известно, система динамических уравнений Гамильтона

называется полностью интегрируемой, если существует каноническое преобразование переменных qi, pi , в результате которого можно перейти от обобщенных координат qi и обобщенных импульсов pi к переменным Ji, αi (действие −угол), в терминах которых система уравнений (3.1) записывается в виде [18]:

В уравнениях (3.1) и (3.2) H – функция Гамильтона системы. Особая роль переменных действие – угол состоит в том, что в этих переменных функция Гамильтона зависит только от интегралов движения Ji и не зависит от углов αi . Очевидно,