Учебники / Физика конденсированных сред

§ 18. Динамический хаос в одномерных отображениях 81

§ 18. Динамический хаос в одномерных отображениях

До сих пор мы имели дело с динамическими системами, эволюция которых определяется дифференциальными уравнениями движения. Существует и другая возможность, которая определяет динамику системы с помощью уравнений в конечных разностях. В этом случае временной шаг предполагается некоторой конечной величиной. К уравнению в конечных разностях легко прийти, анализируя, например, взаимосвязь координат фазовой точки при последовательных появлениях ее в сечении Пуанкаре. Рассмотрим только один частный и довольно простой случай одномерного фазового пространства, когда отображение задается рекуррентным соотношением

где функция f (x) = r x (1 − x) зависит от единственного параметра r . Отображение, задаваемое рекуррентным соотношением (1.125), называется л о г и с т и ч е с к и м о т о б р а - ж е н и е м. Даже этот простой случай весьма полезен для понимания тех проблем, с которыми приходится сталкиваться при изучении динамического хаоса.

Задаваемое формулой (1.125) отображение переводит точки отрезка [0, 1] в точки отрезка [0, r/4] . Поэтому если r ≤ 4 , то все точки отображения лежат на отрезке [0, 1] .

Функция f (x) , очевидно, имеет максимум, равный r/4 в точке x = 1/2 . Стационарные точки отображения находятся из условия xc = f (xc) . Подставляя явное значение функции, получим уравнение для определения стационарных значений xc :

x2c − xc + 1r xc = 0.

Отсюда следует, что имеются две стационарные точки xc = 0 и xc = 1 − 1/r . Поскольку 0 ≤ x ≤ 1 , то при r < 1 имеется одна стационарная точка xc = 0 . В точке r = 1 возникает бифуркация и появляются два стационарных решения:

82 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Определим, какая из стационарных точек является устойчивой при r > 1 . Для этого зададим небольшое отклонение динамической переменной xn от стационарного значения и линеаризуем рекуррентное соотношение (1.125) в окрестности стационарной точки. В результате получаем рекуррентное соотношение для малых отклонений от стационарных значений

Если величина |r (1 −2 xc)| < 1 , то последовательность (1.126) сходится к стационарной точке, а если она больше единицы, то уходит из окрестности xc . Отсюда следует, что при r > 1 стационарная точка x(1)c = 0 неустойчива, а стационарная точка x(2)c устойчива. Заметим, что проверка устойчивости стационарной точки сводится к вычислению значения производной функции f в стационарной точке:

| f (x) x=xc = |r (1 − 2 xc)| < 1.

Если производная этой функции, взятая по модулю, в стационарной точке меньше единицы, то стационарная точка устойчива.

На рис. 12 показана так называемая бифуркационная диаграмма, на которой по оси ординат отложены численные значения стационарных точек xc в зависимости от параметра r . Первая бифуркация, как уже указывалось, возникает в точке r = 1 .

Вторая бифуркация возникает в точке r = 3 (см. рис. 12).

√

При 3 < r < 1 + 6 имеются два устойчивых стационарных решения, удовлетворяющих уравнениям

§ 18. Динамический хаос в одномерных отображениях 83

Рис. 12. Бифуркационная диаграмма логистического отображения: по оси ординат отложены координаты стационарных точек отображения, по оси абсцисс – параметр r

Решение этой системы уравнений легко получить численно, используя, например, пакет символьных и численных вычислений Maple. Стационарные точки x = 0 и x = 1 − 1/r при r > 3 являются неустойчивыми и поэтому не отображаются на рис. 12.

Следующая бифуркация удвоения возникает в точке r =

√

= 1 + 6 3, 45 . В этой точке двухкратный устойчивый цикл сменяется четырехкратным устойчивым циклом:

На рис. 13 динамика логистического отображения при r = 3, 46 изображена с помощью д и а г р а м м ы Л а м е р е я .

Показана прямая линия y = x и функция, задающая правую часть логистического отображения y = = r x (1 − x) при r = 3, 46 . Допустим, что на некотором шаге итерации было получено значение y 0, 4 , отмеченное цифрой 1 на рис. 13.

84 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Рис. 13. Возникновение четырехкратного цикла логистического отображения при r = 3, 46

Найдем графически значение x = y , которое следует подставить в функцию y = r x (1 − x) на следующем шаге итерации. Для этого проведем горизонтальную прямую до пересечения ее с линией y = x . Если затем из этой точки провести вертикальную прямую до пересечения ее с кривой y = r x (1 − x) , то получим значение y 0, 8 на следующем шаге итераций. Продолжив это построение, получим четыре стационарных решения, отмеченные цифрами 1, 2, 3, 4 на рис. 13, которые будут последовательно повторяться.

При дальнейшем увеличении r бифуркации удвоения цикла будут повторяться до значения r = r∞ 3, 5699 , при котором возникает притягивающий (устойчивый) цикл бесконечно большого периода, а все циклы с периодом 2m, m = 1, 2, . . . , становятся неустойчивыми. При значениях r∞ < r < 4 динамика становится нерегулярной, появляются апериодические траектории, не сводящиеся к циклам, а при r = 4 в системе возникает динамический хаос.

§ 18. Динамический хаос в одномерных отображениях 85

При r = 4 отображение xn+1 = 4 xn (1 − xn) имеет точное решение

xn = sin2(π Θn) = 12 (1 − cos(2 π Θn)), Θn = 2n Θ0. (1.129)

Таким образом, при последовательных отображениях начальный угол умножается на два.

При измерении углов в радианной мере можно ограничиться рассмотрением начальных углов из интервала 0 ≤ Θ0 ≤ 1 . Тогда можно представить начальный угол в двоичной системе счисления

где коэффициенты aν равны нулю или единице. Такое представление начального угла позволяет увидеть, что последовательные отображения получаются из начального простым сдвигом разрядной точки на одну позицию вправо. Например, задавая некоторый произвольный угол Θ0 = 0.10100110 . . . , получаем последовательность итераций

Θ1 = 1.0100110 . . . , Θ2 = 10.100110 . . . , Θ3 = 101.00110 . . . .

Очевидно, что эту последовательность можно продолжать неограниченно долго. Каждое новое значение величины xn будет определяться значащей цифрой, стоящей в следующем разряде начального значения Θ0 . Целая часть числа, определяющего значение Θn , в силу условия периодичности решения (1.129), никакого влияния на результат не оказывает и поэтому может быть отброшена.

Если начальная точка задана произвольно и значения значащих цифр случайны, то фазовая точка бесчисленное множество раз побывает в окрестности любой точки интервала [0, 1] . По существу, это утверждение эквивалентно утверждению об эргодичности системы (подробнее условие эргодичности системы обсуждается в главе 3).

86 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Такого типа системы с поведением, полностью определяемым начальным значением (кодом), могут дать ключ для понимания того, как может работать генетический код. Количество заданных значащих цифр будет определять количество временных периодов, на которых поведение системы будет предопределено. Если же в n -м разряде двоичного числа, задающего начальное значение, ошибка была равной ε = 1/2n , то через n временных циклов система полностью забудет свое начальное состояние и будет демонстрировать случайное поведение.

Это явление легко можно обнаружить, реализуя численный эксперимент. Ясно, что при некоторых начальных углах, например Θ0 = 1/3 , Θ0 = 1/5 , Θ0 = 1/9 , решение (1.129) является циклическим. В частности, при Θ0 = 1/5 имеется цикл с периодом 2 и величина xn периодически принимает значение либо xn 0, 345 , либо xn 0, 905 . Но ошибка в задании угла довольно быстро накапливается и через некоторое количество итераций информация о начальном угле полностью забывается. Число итераций, через которое происходит забывание начального условия, зависит от точности, с которой оно задано (рис. 14).

Рис. 14. Возникновение хаоса в отображении (1.129) при начальном угле Θ0 = 1/5 :

а – начальное состояние задано с точностью 8 – 9 десятичных знаков; b – начальное состояние задано с точностью 19 – 20 десятичных знаков

§ 18. Динамический хаос в одномерных отображениях 87

Завершая краткое знакомство с особенностями одномерного логистического отображения, следует упомянуть и о том, как можно определить размерность множества точек этого отображения. Тем более что точно такая же проблема возникает и при анализе размерности странных аттракторов в других задачах, о чем упоминалось выше. Здесь мы ограничимся лишь качественным обсуждением проблемы. Подробнее этот материал изложен в книге Г. Шустера [16].

Наиболее простому определению поддается определение размерности множества точек, возникающих в результате последовательных бифуркаций удвоения цикла 2m , m → ∞. Оказывается, что это множество является самоподобным, обладающим фрактальной структурой, а размерность его не равна единице и представляет собой дробную величину, равную 0,543 [16].

Самоподобные фрактальные множества хорошо известны в математике. Простейшим из них является множество Кантора. М н о ж е с т в о К а н т о р а получается в результате следующего построения. Возьмем отрезок единичной длины и разделим его на три равные части, а затем отбросим среднюю часть; для каждого из оставшихся отрезков снова и снова будем выполнять эту же процедуру (первые три шага изображены на рис. 15). В результате получим самоподобное (фрактальное) множество Кантора. Обобщением множества Кантора на случай двух измерений является ковер Серпиньского, а на случай трех измерений – губка Серпиньского [14, 16].

1/3

Рис. 15. Построение множества Кантора:

заштрихованные участки прямых выбрасываются (дробь сверху отмечает длину выброшенных участков прямой)

88 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Найдем длину l отброшенной части единичного отрезка при построении множества Кантора. Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем

В этой формуле a1 = 2/3 – первое слагаемое геометрической прогрессии, q = 2/3 – знаменатель прогрессии. Поскольку длина отброшенной части равна единице, то размерность множества Кантора не должна быть целым числом.

Можно предложить следующую процедуру определения размерности фрактального множества, пригодную для фазового пространства любой размерности. Пусть в n -мерном фазовом пространстве имеется множество состояний A . Покроем это множество n -мерными кубиками со стороной ε так, чтобы эти кубики содержали все точки множества, и сосчитаем эти кубики. Пусть их число оказалось N (ε) . Тогда размерность d(A) множества A фазовых точек можно определить по формуле

Легко показать, что формула (1.131) дает правильные результаты для регулярных множеств, имеющих размерность 1, 2 или 3. Рассмотрим одномерное множество точек – отрезок прямой единичной длины. Тогда для покрытия всех точек этого отрезка потребуется N (ε) = 1/ε отрезков длиной ε . Применяя формулу (1.131), получаем d = 1 .

Аналогично можно убедиться в том, что для двумерного и трехмерного случаев эта формула дает правильные результаты.

Применим правило определения размерности для множества Кантора. В этом случае длины интервалов, которыми покрывается множество, равны (1/3)m , m = 1, 2, 3, . . . , а число интервалов, которое нужно для покрытия множества, будет соответственно равно 2, 4, 8, . . . . Поэтому в случае множества

§ 18. Динамический хаос в одномерных отображениях 89

Кантора ε = (1/3)m , N (ε) = N (m) = 2m . Применение формулы (1.131) для множества Кантора дает

Действуя аналогично, можно определить размерность и других фрактальных множеств.

Определить размерность множества точек странного аттрактора на основании формулы (1.131) можно и в ходе численного эксперимента. Для этого следует покрыть фазовое пространство гиперкубами со стороной ε и подсчитать количество гиперкубов N (ε) , в которые попали фазовые точки. Затем, уменьшая сторону гиперкуба, например, в два, четыре, восемь и т. д. раз, повторять эту же процедуру подсчета. Полученные результаты следует представить графически, отложив по оси абсцисс значения ln(1/ε) , а по оси ординат – ln N (ε) . Если точки на графике можно аппроксимировать некоторой прямой, то тангенс угла наклона этой прямой к оси абсцисс и будет приближенно равен размерности множества точек этого аттрактора. Естественно, что все вычисления должны быть автоматизированы.

Завершая эту главу, следует еще раз подчеркнуть, что необратимое поведение и самоорганизация не являются альтернативой динамического описания. Эти явления присущи динамическим системам, в которых реализуется динамический хаос. Динамический хаос в диссипативных системах связан с сильной неустойчивостью нелинейных динамических систем и возможен в системах с небольшим числом степеней свободы. В системах с динамическим хаосом структура множества точек в фазовом пространстве является фрактальной. Пока совершенно неясно, как этот факт следует учитывать при статистическом описании свойств неравновесных систем.

Возникновение динамического хаоса в гамильтоновых системах и необратимое поведение квантовых систем рассмотрим в начале главы 3. Последние результаты в области исследования хаотического поведения квантовых систем можно найти в монографии Х. Ю. Штокмана [15].

Глава 2

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.1.Уравнение Ланжевена для броуновской частицы

§1. Характер движения броуновской частицы.

Случайные силы

Б р о у н о в с к и м д в и ж е н и е м называется хаотическое перемещение малых твердых частиц (с характерным размером R порядка длины волны видимого света), взвешенных в жидкости. Это явление обнаружил Роберт Браун (R. Brown) в 1827 г., наблюдая с помощью микроскопа хаотическое движение частиц цветочной пыльцы в капле воды.

Количественная теория броуновского движения была разработана в 1905 г. Эйнштейном. В 1908 г. Ланжевен, используя концепцию случайных сил, действующих на броуновскую частицу, получил достаточно простое феноменологическое уравнение движения, которое позволяет воспроизвести результаты, найденные Эйнштейном. Поскольку концепция случайных сил достаточно широко применяется в неравновесной статистической механике, рассмотрение проблемы броуновского движения начнем с вывода уравнений Ланжевена.

Будем считать, что броуновская частица имеет массу m и является сферически-симметричной частицей с характерным размером R . В этом случае при движении в жидкости со скоростью v на нее, согласно формуле Стокса, будет действовать

− · · · ·

сила трения Fтр = γ v , где γ = 6 π R η , η – коэффициент сдвиговой вязкости среды. Кроме силы трения, учтем еще

силу, возникающую в результате упругих столкновений молекул жидкости с частицей. Поскольку жидкость предполагается однородной и изотропной, то равнодействующая сил упругих столкновений молекул жидкости и частицы может быть связана