Учебники / Физика конденсированных сред

следует подставить в уравнение (3.140), в результате чего оно распадается на два уравнения – уравнение для определения параметра A и уравнение для определения параметра B , которые затем следует решить.

Функцию распределения с точностью до первого порядка поможно записать в виде

где A – перенормированная скалярная величина A . Эта перенормировка возникает в связи с учетом решения однородного уравнения [25].

Выражение для функции распределения (3.142) позволяет найти поток тепла и уточненное выражение для тензора напряжений. Подставляя (3.142) в определения плотности потока тепла qj и тензора напряжения Pij

Константы λ и μ , входящие в выражение (3.144), должны быть найдены из решения уравнения (3.140). Для этих целей функции A(c) и B(c) раскладываются в ряд по полиномам Сонина [25]. Процедура разложения достаточно громоздка, а результат зависит от конкретной модели взаимодействия частиц. Приведем здесь результат лишь для случая, когда частицы являются упругими шарами с диаметром d и в разложении по полиномам Сонина оставлен лишь первый член разложения [25]. В этом случае

В последней формуле Cv – это теплоемкость газа при постоянном объеме.

Таким образом, учет поправки h(1) к функции распределения позволяет вместо уравнений (3.136) – (3.138) получить новую замкнутую систему гидродинамических уравнений баланса с перенормированным значением тензора напряжений и отличным от нуля потоком тепла. Перенормировка тензора напряжений связана с учетом необратимого (вязкого) переноса импульса в газе. Коэффициент μ называется коэффициентом вязкости среды, а коэффициент λ – коэффициентом теплопроводности. Важно отметить, что коэффициент вязкости и коэффициент теплопроводности не являются феноменологическими параметрами, а вычисляются из первых принципов.

В заключение отметим, что, хотя процедуру последовательного нахождения коэффициентов разложения функции (3.133) в методе Энскога – Чепмена можно и продолжить, вычислительные трудности приводят к тому, что получить поправки к функции распределения более высокого порядка, нежели второй, фактически не удается. Не удается также доказать и сходимость процедуры разложения (3.133) в общем виде. Поэтому, хотя метод Энскога – Чепмена широко используется на практике, сфера его применимости остается не до конца исследованной.

§ 15. Метод моментов

Наиболее универсальным методом, позволяющим в принципе замкнуть систему гидродинамических уравнений баланса при произвольных числах Кнудсена, является метод моментов. Рассмотренные выше гидродинамические переменные по существу являются моментами функции распределения:

В формулах (3.145) – (3.148) индексы i, j пробегают значения 1, 2, 3. Моменты M называются центральными и определены для отклонений скорости относительно среднего значения. Моменты функции распределения M и центральные моменты M очевидно связаны между собой и легко могут быть выражены друг через друга.

Основная идея метода моментов состоит в том, чтобы выразить функцию распределения через ее моменты

где моменты M (k) являются функциями координат и времени. Тогда, подставив таким образом записанную функцию распределения в кинетическое уравнение Больцмана, получим систему уравнений для отыскания моментов функции распределения. В общем случае кинетическое уравнение Больцмана эквивалентно бесконечной системе уравнений для моментов, но в большинстве практически важных случаев можно ограничиться учетом нескольких первых моментов.

Впервые метод моментов для решения кинетического уравнения применил Грэд в 1949 г. Следуя Грэду, разложим функцию распределения в ряд по трехмерным полиномам Эрмита:

функциями координат и времени. Полиномы Эрмита являются функциями безразмерной относительной скорости

p − mv0

ξ= √

mkБT

и их явный вид можно получить с помощью формулы

Используя формулу (3.151), легко вычислить явный вид полинома Эрмита любого порядка. На практике требуются лишь полиномы низших порядков, часть из которых приведена ниже:

H(0) = 1, Hi(1) = ξi, Hij(2) = ξiξj − δij ,

Из определения полиномов Эрмита (3.151) следует, что все полиномы, различающиеся перестановкой индексов, тождественно равны. Полиномы Эрмита (3.151) ортогональны с некоторой весовой функцией

Функция f (0) в формуле (3.150) определена соотношением

Коэффициенты разложения, пользуясь ортогональностью полиномов Эрмита, можно выразить через гидродинамические параметры или моменты функции распределения:

Приведем явные выражения для нескольких первых коэффициентов разложения:

Поскольку коэффициенты разложения a(αN ) выражаются через моменты функции распределения, а те, в свою очередь,

представляют собой интересующие нас гидродинамические величины, то проблема нахождения гидродинамических уравнений баланса в методе моментов сводится к проблеме нахождения уравнений для коэффициентов разложения (3.150). Урав-

нения движения коэффициентов a(αN ) можно найти, используя кинетическое уравнение Больцмана. Для этого нужно подставить функцию распределения (3.150) в кинетическое уравнение, умножить обе части уравнения на соответствующий полином Эрмита с весовой функцией и проинтегрировать по относительной скорости. Условие ортогональности полиномов Эрмита позволяет существенно ограничить число членов в каждом из уравнений. Хотя эта процедура представляется достаточно простой, она чрезвычайно громоздкая, и мы опустим вывод этих уравнений, отсылая читателя к специальной литературе [25].

С практической точки зрения, желательно получить уравнения для тех моментов (гидродинамических величин), которые поддаются измерению и имеют ясный физический смысл. Как отмечалось выше, таких моментов 13: концентрация n , три компоненты дрейфовой скорости v0i , температура T , шесть компонент симметричного тензора напряжений pij и три компоненты потока тепла qi . Для получения гидродинамических уравнений для этих переменных достаточно аппроксимировать функцию распределения (3.150) выражением

оставив в ней всего три первых члена разложения. Эта аппроксимация функции распределения известна в литературе как тринадцатимоментное приближение Грэда. Результаты, полученные в этом приближении, полностью согласуются с результатами Энскога – Чепмена. Полный вывод гидродинамических уравнений, соответствующих тринадцатимоментному приближению Грэда, можно найти в упоминавшейся монографии [25].

Следует отметить, что в методе моментов аппроксимация функции распределения с помощью некоторой комбинации гидродинамических параметров может быть фактически произвольной. Конкретный вид аппроксимирующей функции зависит от поставленной задачи и особенностей изучаемого физического явления. В следующей главе метод моментов будет применен для получения замкнутых гидродинамических уравнений для системы горячих электронов в проводящих кристаллах.

Глава 4

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ФОНОНОВ В ПРОВОДЯЩИХ КРИСТАЛЛАХ

4.1.Кинетические коэффициенты в приближении времени релаксации

§ 1. Кинетическое уравнение для электронов и его решение в приближении времени релаксации

Рассмотрим простейшую модель проводника, согласно которой носителями тока являются квазисвободные электроны или дырки, взаимодействующие в результате процессов столкновения с дефектами кристаллической решетки или фононами. Для простоты будем предполагать, что закон дисперсии электронов (дырок) является параболическим и имеет вид

где p – вектор импульса носителей тока, m – их масса. Предположение о параболическом характере закона дисперсии не является принципиальным для рассматриваемой в этой главе элементарной теории кинетических явлений. Все результаты могут быть обобщены на случай сферически-симметричной зоны проводимости, когда энергия электронов произвольным

образом зависит от модуля волнового вектора k .

В состоянии термодинамического равновесия свойства электронного газа определяются функцией распределения Ферми – Дирака

§ 1. Решение в приближении времени релаксации 187

где kБ – постоянная Больцмана.

В неравновесном случае также можно ввести неравновесную функцию распределения f (r, p, t) , зависящую от координат r , импульса p и времени t и удовлетворяющую условию норми-

где σ нумерует проекцию спина электрона на ось Z (σ = ±1/2) , n – число электронов в образце. В дальнейшем везде объем образца будет полагаться равным единице и величина n будет иметь смысл концентрации электронов. Множитель

имеет смысл плотности числа электронов в импульсном пространстве. Его появление в формуле (4.3) связано с тем, что состояния электронов квантованы:

где n1, n2, n3 – целые числа, пробегающие значения от нуля до бесконечности. Поэтому при подсчете числа состояний в формуле (4.3) необходимо вести суммирование по дискретным состояниям электронов, различающихся значениями компонент импульса. Поскольку суммирование по дискретным состояниям значительно усложняет вычисления, суммирование обычно заменяют интегрированием, умножив интеграл на размерный коэффициент, имеющий смысл плотности состояний в импульсном пространстве. Из формулы (4.3) следует, что выражение

2V

(2πh)3 dp dr f (r, p, t)

имеет смысл числа электронов с импульсом p , координатой r , попавших в элемент фазового объема dp dr в момент времени t .

188 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Если предположить, что электроны являются невзаимодействующими частицами, то каждый электрон можно рассматривать как изолированную систему. Фазовые точки, соответствующие возможным различным состояниям частицы, просто перемещаются из одной области фазового пространства в другую, не исчезая и не возникая вновь, поскольку процессы с рождением и уничтожением частиц здесь не рассматриваются. Схематически картина движения фазовых точек изображена на рис. 25.

t

d p d r

t

d p d r

Рис. 25. Схема перемещения фазовых точек в фазовом пространстве

Каждая фазовая точка из области фазового пространства dp dr в момент t переместится в момент t в некоторую область dp dr , как показано на рис. 25. Поэтому можно записать равенство

Как уже отмечалось в § 8 предыдущей главы, согласно теореме Лиувилля, фазовый поток сохраняет фазовый объем системы, и поэтому имеет место равенство dp dr = dp dr . Тогда из формулы (4.4) следует важный результат

согласно которому неравновесная функция распределения невзаимодействующих электронов является интегралом движения и ее полная производная по времени должна быть равна нулю. Если все-таки взаимодействие существует, то полная производная равна не нулю, а изменению функции распределения за

190 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

В выражении (4.8) f1(r, p, t) является поправкой к равновесной функции распределения, которая возникает за счет действия внешних термодинамических сил. Вплоть до частот оптического диапазона параметр ωτp 1 , и поэтому в кинетическом уравнении (4.6) производную по времени можно опустить. Иначе говоря, поскольку время релаксации импульса достаточно мало ( τp 10−13 c ), электронная система успевает подстраиваться к изменяющемуся с частотой ω внешнему полю и переменное поле в каждый момент времени можно рассматривать как статическое. Это означает, что если не рассматривать эффекты в высокочастотном электрическом поле, то можно пренебречь явной зависимостью от времени неравновесной функции распределения и опустить частную производную по времени в кинетическом уравнении (4.6).

Еще одно существенное упрощение связано с тем, что в ло- кально-равновесном состоянии неравновесная функция распределения будет зависеть от координат только параметрически, через зависимость от координат термодинамических параметров, таких как температура и химический потенциал

Если ограничиться в кинетическом уравнении (4.6) линейным приближением по термодинамическим силам T, ζ , считая неравновесность слабой ( f0 f1 ), то в правой части выражения (4.9) неравновесную функцию распределения можно заменить равновесной функцией f0(εp) , и в результате несложных вычислений получаем

При наличии внешнего электрического поля, задаваемого век-

тором напряженности E , и магнитного поля с индукцией H