Учебники / Физика конденсированных сред

Jα(ω) = σαβ Eβ (ω) и результат (5.35), запишем выражение для тензора электропроводности

При выводе этой формулы мы положили B = Jα = −eP α/m . Из выражения (5.43) следует, что электропроводность электронного газа выражается через корреляционную функцию, которая определена для равновесного состояния системы. Физически это означает, что время релаксации среднего импульса электронов, вызывающего направленный дрейф электронов в электрическом поле, определяется теми же самыми процессами, что и время «рассасывания» флуктуаций среднего импульса электронов в равновесном состоянии.

В отличие от кинетического уравнения, где выражение для поправки к функции распределения фактически сразу позволяет вычислить все кинетические коэффициенты, использование формального решения уравнения Лиувилля (5.32) для вычислении кинетических коэффициентов всего лишь приводит нас к проблеме вычисления квантовых корреляционных функций. Таким образом, вместо проблемы решения сложного интегродифференциального кинетического уравнения, в теории Кубо возникает проблема «распутывания» временных корреляционных функций (примером которых может служить корреляционная функция в правой части выражения (5.43)).

Для вычисления электропроводности σαβ (ω) воспользуемся методом функций Грина [36, 37].

Поясним, почему используется именно метод функций Грина. Проблема здесь состоит в том, что в формуле (5.43) как в статистическом операторе ρ0 , так и в операторе эволюции, определяющем временную зависимость оператора координаты электронов Xβ (t1) , фигурирует полный гамильтониан H , собственные функции и собственные значения которого найти не удается и поэтому точное вычисление этой корреляционной функции невозможно. Попытка разложения статистического оператора ρ0 и оператора эволюции eiLt1 в ряд по степеням оператора электрон-фононного взаимодействия Hep в любом конечном порядке теории возмущений приводит к неверному

результату. Из результатов, полученных на основании кинетического уравнения, следует, что σ τ 1/Hep2 , а разложение корреляционной функции в ряд по степеням Hep даст некоторую полиномиальную зависимость от константы электронфононного взаимодействия.

Правильный результат может получиться лишь в том случае, когда суммируется некоторая бесконечная последовательность членов ряда теории возмущений, сводящаяся к бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая легко поддается суммированию. В методе функций Грина как раз развиты методы диаграммной техники и массового оператора, позволяющие достаточно легко производить такое суммирование бесконечных рядов теории возмущений.

Определяя функцию Грина Gαβ (t1) соотношением

запишем выражение для электропроводности, используя определение функции Грина

где Gαβ (ω) – фурье-трансформа функции Грина (5.44). Поскольку, согласно (5.45), фурье-трансформа функции Грина пропорциональна электропроводности, нашей ближайшей задачей является нахождение величины Gαβ (ω) . Для этой цели составим уравнения движения для функции (5.44). Продифференцируем (5.44) по времени t1 :

При выводе уравнения движения для функции Грина Gαβ мы воспользовались определением производной от тета-функции

dxd θ(x) = δ(x)

и учли, что

Последнее равенство в этой формуле обусловлено тем, что операторы Гамильтона фононов и электрон-фононного взаимодействия коммутируют с оператором координаты электронов.

Легко заметить, что уравнение движения для функции Грина Gαβ (t1) содержит новую неизвестную величину G1 αβ (t1) , для которой также можно составить уравнение движения. Дифференцируя G1 αβ (t1) в формуле (5.46) по времени t1 , получаем

При выводе формул (5.47) мы воспользовались тем, что под знаком шпура можно производить циклическую перестановку операторов:

Это свойство легко доказывается, если воспользоваться определением шпура как суммы диагональных матричных элементов. В нашем случае использование (5.48) дает

−∞

запишем цепочку уравнений движения для функций Грина в частотном представлении

В выражении (5.50) точками обозначены невыписанные явно уравнения движения для функций Грина G2 αβ (ω) и т. д. При выводе уравнений (5.50) мы учли, что

i1 Sp{P α[ρ0, Xβ ]} = i1 Sp{[Xβ , P α]ρ0} =

= ij Sp{[xβi , pαj ]ρ0} = −nδαβ ,

i1 Sp{P α[ρ0, P β ]} = 0.

Решение системы уравнений (5.50) будем искать в виде

ции Грина (5.51) определяют спектр коллективных возбуждений электронного газа, связанных с флуктуацией среднего импульса электронной системы. Название «массовый оператор» заимствовано из теории элементарных частиц, где энергия элементарных возбуждений является синонимом их массы.

Поскольку есть основания считать поправку к спектру элементарных возбуждений Mαβ (ω) аналитической функцией, можно попытаться ее найти, используя теорию возмущений. Малым параметром, по которому строится теория возмущений,

является константа электрон-фононной связи. Функция Грина G1 αβ (ω) пропорциональна первой степени, а G2 αβ (ω) – второй степени этого параметра (доказательство этого важного факта будет приведено ниже).

Для общности результатов рассмотрим решение формальной системы зацепляющихся уравнений

Смысл введенных обозначений в формулах (5.52), (5.53) совершенно очевиден, и каждый член в этих формулах легко может быть сопоставлен соответствующему члену в уравнениях (5.50), (5.51).

Подставляя функцию Грина (5.53) в первое из уравнений цепочки (5.52) и решая полученное уравнение относительно M , находим

Из второго уравнения (5.52) найдем G1 и подставим в числитель выражения для массового оператора (5.54). В результате, учитывая, что функция I1 не содержит взаимодействия, а G1 пропорциональна константе электрон-фононного взаимодействия в первой степени, получаем разложение массового оператора по степеням малого параметра

При вычислении электропроводности функция I1 = −nδαβ , а I2 = 0 , поэтому массовый оператор может быть записан в виде

Выясним, какой физический смысл имеет массовый оператор, определенный соотношением (5.51). Для этого вспомним, что, согласно классической теории электропроводности, высокочастотная проводимость может быть записана в виде

Сравнение формул (5.45), (5.51) и (5.58) показывает, что они совпадают, если считать, что массовый оператор Mαβ (ω) имеет смысл частоты релаксации импульса. Таким образом, как уже отмечалось выше, массовый оператор функции Грина (5.44) описывает спектр элементарных возбуждений, причем в нашем случае действительная часть массового оператора определяет затухание возбуждений, а мнимая (если она существует) – частоту собственных колебаний среднего импульса электронной системы.

При вычислении массового оператора по формуле (5.57) вновь встает проблема анализа корреляционной функции и, на первый взгляд, может показаться, что никакого прогресса не достигнуто. На самом деле это не так. Во-первых, массовый оператор Mαβ (ω) имеет смысл частоты релаксации среднего импульса и, как показано в главе 4 (см. формулу (4.160)), пропорционален квадрату константы электрон-фононного взаимодействия.

Во-вторых, в функции Грина G2 αβ (ω) и массовом операторе Mαβ (ω) уже набран второй порядок по константе электронфононного взаимодействия, поэтому в статистическом операторе ρ0 и операторе эволюции можно опустить гамильтониан

˙ α

Hep , заменив H на H0 . Действительно, оператор P , фигурирующий в правой части (5.57), по определению, равен

поскольку гамильтониан H0 коммутирует с оператором суммарного импульса электронов P α .

Коммутатор [ ρ0, P β ] , стоящий под знаком шпура в формуле (5.57), также пропорционален константе взаимодействия электронов с фононами. Это особенно хорошо видно, если использовать тождество Кубо

по λ от этой функции. Учитывая равенство (5.61), получаем уравнение

с очевидным начальным условием I(0) = 0 .

Интегрируя уравнение (5.63) в пределах от 0 до β , с учетом начального условия получаем

что совпадает с формулой (5.60).

Применяя тождество Кубо к коммутатору [ρ0, P β ] , получаем

Таким образом, мы показали, что в функции Грина G2 αβ (ω) уже набран второй порядок по взаимодействию и если ограничиться вычислением массового оператора в борновском приближении теории рассеяния, то можно опустить оператор взаимодействия Hep в статистическом операторе и операторе эволюции. Тогда на основании результатов (5.57), (5.59), (5.65) получаем

В дальнейшем ограничим вычисления случаем статического внешнего поля, полагая частоту ω = 0 . Теперь интеграл по времени t1 можно распространить до +∞, поскольку подынтегральная функция в этом случае является четной функцией аргумента t1 . Действительно, рассмотрим выражение

Второе равенство в формуле (5.68) следует из изотропии гамильтониана H0 относительно вращений в координатном пространстве.