Учебники / Физика конденсированных сред

§ 1. Решение в приближении времени релаксации 191

Поэтому в линейном приближении по термодинамическим силам (магнитное поле в данном случае термодинамической силой, вызывающей отклонение от состояния равновесия, не является) имеем

В том случае, когда магнитное поле равно нулю, выражение (4.13) сразу позволяет определить поправку к функции распределения f1 , линейную по градиенту электрохимического потенциала ε = − (ϕ + 1/e ζ) (1.14) и градиенту температуры T :

Если магнитное поле не равно нулю, то для решения уравнения (4.13) будем искать поправку f1 в виде

где χ(εp) – неизвестная векторная функция, зависящая только от энергии.

192 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Вычислим градиент в импульсном пространстве от функции f1 . Пользуясь определением (4.15), получаем

Подставляя полученные результаты в последнее слагаемое в правой части (4.13) и учитывая, что члены, пропорциональные вектору скорости v , вклада не дадут, получаем простое выражение

При выводе формулы (4.17) мы воспользовались определением частоты ларморовской прецессии ω0 электронов в магнитном поле

ввели единичный вектор h , ориентированный вдоль направ-

ления вектора индукции магнитного поля (H = h H) , H – модуль вектора индукции магнитного поля, и переставили порядок векторов в векторно-скалярном произведении.

Подставляя результаты (4.15), (4.17) в формулу (4.13) и производя необходимые сокращения, получаем векторное уравне-

Для решения уравнения (4.19) умножим его один раз скалярно, а второй раз векторно на вектор a . В результате простых

§ 2. Условия применимости квазиклассического описания 195

где τ0 – характерное время взаимодействия электрона с другими подсистемами кристалла. Поэтому время характерного взаимодействия электронов с рассеивателями τ0 должно быть достаточно большим. В этом случае столкновительное уширение энергетических уровней можно считать пренебрежимо малым и температура будет единственным параметром, хаотизирующим движение носителей заряда. Это условие служит основанием для описания электронной системы на языке функции распределения. Вместе с тем характерное время столкновений должно быть существенно меньше, чем время между двумя последовательными столкновениями, поскольку каждое из них рассматривается как независимый процесс и считается, что после каждого столкновения в системе успевает сформироваться неравновесное распределение. Поэтому в качестве верхней оценки времени τ0 можно взять время между двумя последовательными столкновениями и считать, что τ0 ≈ τp . Это тем более оправданно, поскольку величина τp легко поддается экспериментальной оценке. В этом случае условие

≈ ε

τ0 τp

по существу сводится к условию λ l. В этом легко убедиться, если предыдущее условие записать в виде

v

ε

умножив левую и правую часть неравенства на среднюю скорость электронов v . Тогда в левой части неравенства стоит величина /p ≈ λ , а в правой – длина свободного пробега l = vτp . Таким образом, первое и второе ограничения в отсутствие магнитного поля приводят к одному и тому же условию λ l.

Еще одно ограничение возникает в том случае, когда электрон находится в области действия внешних силовых полей. В этом случае, если электрон рассматривается как точечный объект, изменение его энергии на длине порядка длины волны де Бройля должно быть много меньше средней энергии электрона. Иначе говоря, если, например, рассматривать движение электрона во внешнем электрическом поле, то должно выполняться условие λ eE ε kБT для невырожденного случая.

196 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Это ограничение не является очень существенным, поскольку простые оценки дают ограничение E < 106 В/м , что вполне приемлемо для большинства экспериментальных ситуаций.

Рассмотрим условия применимости кинетического уравнения для описания неравновесных носителей тока в магнитном поле. В этом случае имеется три характерных параметра размерности длины: lH , так называемая «магнитная длина»– характерный размер ларморовской орбиты электрона

и длина свободного пробега электронов между двумя последовательными столкновениями l .

В этих условиях первым критерием квазиклассического описания является условие

√2π c 1/2. 2mε eH

Полагая в этом выражении ε kБT , получаем хорошо известное в литературе условие применимости квазиклассического описания электронов в магнитном поле:

Это условие допускает простую интерпретацию: при квазиклассическом описании расстояния между квантованными уровнями энергии электронов в магнитном поле должны быть малыми, по сравнению со средней энергией теплового движения электронов.

Другое условие применимости кинетического уравнения в магнитном поле также связано с влиянием магнитного поля на орбитальное движение электронов. Расстояние между уровнями Ландау в магнитном поле ω0 должно быть существенно

§ 2. Условия применимости квазиклассического описания 197

меньше столкновительного уширения уровня /τp , вызванного рассеянием электронов на дефектах кристаллической решетки или фононах. Это условие обычно записывают в виде

Условие (4.26) может иметь и другую интерпретацию: для того чтобы квазиклассическое описание было применимо, необходимо, чтобы электрон, двигаясь по циклотронной орбите, между двумя актами рассеяния успевал пройти лишь малую часть периода T круговой траектории

В этой формуле v – в вырожденном случае скорость электрона на поверхности Ферми (в невырожденном случае эту величину следует заменить на среднюю тепловую скорость). Поскольку время релаксации импульса

l τp v ,

условие ω0τp 1 может быть записано также в виде lH l . Иначе говоря, радиус циклотронной орбиты должен быть много больше длины свободного пробега электрона.

Полученные неравенства позволяют выделить три области изменения внешнего магнитного поля: слабые поля, сильные поля и квантующие магнитные поля.

Если выполняются неравенства lH l или, что эквивалентно, ω0τp 1 , то магнитные поля называются слабыми.

Если выполняются обратные неравенства, то магнитные поля называются сильными. В этом случае магнитное поле существенно искривляет траекторию движения электронов, но если его влияние можно не учитывать при расчете вероятностей рассеяния, то и в случае сильных магнитных полей даже в условиях ω0τp 1 кинетическое уравнение применимо для описания кинетических явлений в магнитном поле. Естественно, что условие λ l должно оставаться справедливым.

При дальнейшем увеличении магнитного поля нарушается условие (4.25) и магнитное поле становится квантующим.

198 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

В этом случае спектр носителей заряда в магнитном поле полностью перестраивается и влияние магнитного поля следует учитывать не только при анализе орбитального движения электронов, но и при расчете вероятностей рассеяния в каждом элементарном акте столкновений.

§ 3. Определение потоков заряда и тепла. Вычисление кинетических коэффициентов в случае H = 0

Обобщая простейшее выражение для потока заряженных

частиц J = e n v , где n – число частиц, имеющих скоростьv , для плотности потока заряда и тепла получаем выражения

Суммирование по спиновому квантовому числу в формулах (4.27), (4.28) дает численный множитель, равный двум, так как мы не учитываем спиновое расщепление уровней. При записи выражения (4.28) мы учли определение (1.12).

Из физических соображений легко понять, что в формулах (4.27), (4.28) отличный от нуля вклад дает только неравновесная поправка к функции распределения f1(p ) , определяемая выражением (4.14) в отсутствие магнитного поля и выражениями (4.15), (4.24) при наличии внешнего магнитного поля.

Рассмотрим сначала кинетические явления в отсутствие внешнего магнитного поля. В этом случае кинетические коэффициенты являются скалярными величинами. Тогда, подставляя выражение (4.14) в формулы, определяющие поток заряда и тепла, имеем

где интегралы Kl, l = 0, 1, 2 , определены соотношением

При выводе формул (4.29) – (4.31) мы учли, что для произвольной функции модуля квазиимпульса электронов Φ(εp) справедливо представление

dp Φ(εp) vi vj = 13 dp Φ(εp) v2δij ,

где δij – символ Кронекера, i, j = x, y z .

Сравнивая формулы (4.29), (4.30) с соответствующими феноменологическими результатами (1.15), (1.35), (1.36), получаем выражение кинетических коэффициентов, определяющих явления теплоэлектропроводности и термоэлектрические явления через введенные выше интегралы Kl :

Таким образом, для вычисления этих кинетических коэффициентов необходимо вычислить интегралы Kl (4.31). Переходя к интегрированию по энергии в формуле (4.31), после выполнения интегрирования по полярному и азимутальному углам в сферической системе координат имеем

Интегралы по энергии, содержащие функцию Ферми или ее

200 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

зависящим от параметра ζ/kБT , для которых хорошо известны различные асимптотические представления [8]. Общие выражения, которые получаются при этом, оказываются достаточно громоздкими, и поэтому мы рассмотрим лишь два предельных случая, для которых легко получаются простые оценки.

Случай сильного вырождения

В этом случае ζ > 0, ζ/kБT 1 и производная по энергии от функции распределения имеет резкий максимум при εp = ζ . На рис. 26 представлена зависимость функции Ферми – Дирака

и ее первой производной от безразмерного параметра x .

Рис. 26. Графики функция распределения Ферми – Дирака и ее производной:

a – функция распределения Ферми – Дирака f0(x) в зависимости от аргумента x = (εp − ζ)/kБT ; б – производная функции распределения

“”

Как следует из рис. 26 б, производная от функции распределения отлична от нуля лишь в небольшом интервале энергий εp kБT . Эта особенность производной функции распределения широко используется для построения приближенных формул вычисления интегралов, содержащих в качестве подынтегральной функции произведение гладкой функции Φ(εp ) и производной от функции распределения Ферми – Дирака по