Учебники / Физика конденсированных сред
.pdf
§ 1. Уравнение Лиувилля и его решение |
273 |
Умножая это уравнение на ψm и интегрируя с учетом ортонормированности собственных функций ψn , получаем
i |
∂am(i) |
= |
|
ψm H ψk dv ak(i). |
(5.15) |
|
∂t |
|
|
||||
k
Уравнение для комплексно-сопряженного коэффициента можно записать по аналогии:
− |
i |
∂an(i) |
= |
|
ψn H ψk dv ak(i). |
(5.16) |
∂t |
|
k
Подставляя выражения (5.15), (5.16) в уравнение движения матрицы плотности (5.12) с учетом эрмитовости оператора энергии, получаем
∂ |
ρm n(t) = |
1 |
(Hmkρkn − ρmk Hkn). |
(5.17) |
∂t |
i |
Переходя от матричных обозначений к операторным и используя определение оператора Лиувилля iL
iLA = |
1 |
[A, H], [A, H] = AH − HA, |
(5.18) |
i |
получаем уравнение Лиувилля для квантовых систем
∂ |
ρ(t) + iL ρ(t) = 0. |
(5.19) |
|
∂t |
|||
|
|
Уравнение (5.19) позволяет найти значение ρ(t) во все последующие моменты времени, если задано значение ρ(t0) в некоторый начальный момент времени t0 .
Следует обратить внимание на то, что уравнение движения для матрицы плотности отличается знаком от уравнения движения оператора в представлении Гейзенберга:
dtd A(t) = iLA(t), A(t) = exp(i/ Ht) A exp(−i/ Ht). (5.20)
274 |
Глава 5. Теория линейного отклика |
Уравнение Лиувилля является обратимым во времени, и так же, как и в случае классической механики, его решение давало бы наиболее полное описание системы. Не следует думать, однако, что точное решение уравнения Лиувилля дает правильное описание необратимой динамики макроскопических систем. Проблема выглядит значительно сложнее. В главе 1 неоднократно подчеркивалось, что для классических систем необратимое поведение связано со слабой устойчивостью решений, определяющих эволюцию фазовой точки в фазовом пространстве. В случае квантовых систем пока такой ясности нет, но ситуация представляется аналогичной. Нет никакого смысла стремиться получить точное решение уравнения Лиувилля. Физически осмысленный результат получается лишь в результате некоторого огрубленного (усредненного) описания. По этой причине все современные методы неравновесной статистической механики представляют собой различные варианты построения такого огрубленного описания. В этой и следующих главах постараемся обсудить наиболее известные подходы построения описания неравновесных систем квантово-статистическими методами.
§ 2. Линейный отклик динамической системы на внешнее поле
Рассмотрим реакцию системы, которая описывается гамильтонианом H , на включение внешнего воздействия, задаваемого поправкой к гамильтониану HF (t) :
HF (t) = −AF (t)e t, → +0, |
(5.21) |
где A – операторная часть взаимодействия с внешним полем, F (t) – C -числовая функция, характеризующая амплитуду внешнего воздействия. Возмущение типа (5.21), которое может быть задано поправкой к гамильтониану, обычно называют м е х а - н и ч е с к и м возмущением. Существует целый класс внешних воздействий, которые не сводятся к некоторой механической силе и не могут быть записаны в форме (5.21). Такие возмущения принято называть т е р м и ч е с к и м и возмущениями.
§ 2. Линейный отклик на внешнее поле |
275 |
Будем предполагать, что внешнее поле включается в момент времени t → −∞. До включения внешнего поля система находилась в равновесном состоянии и описывалась равновесным статистическим оператором
ρ0 = |
1 |
e−β(H−ζN ), Z = Sp e−β(H−ζN )!, |
(5.22) |
Z |
N – оператор числа частиц. После включения внешнего поля система отклонится от состояния термодинамического равновесия и будет описываться неравновесным статистическим оператором ρ(t) . Представляет интерес выяснить, как изменится среднее значение оператора некоторой физической величины B в результате включения внешнего поля.
Для ответа на этот вопрос нужно найти явный вид статистического оператора ρ(t) , который удовлетворяет уравнению
Лиувилля |
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂ρ(t) |
+ [iL + iLF (t)]ρ(t) = 0 |
(5.23) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
с граничным условием |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim ρ(t) = ρ0. |
|
(5.24) |
|
|
|
|
|
|
t→−∞ |
|
|
|
Фигурирующие в уравнении (5.23) операторы iL и iLF (t) |
||||||||
определены соотношениями |
|
|
||||||
iL R = |
1 |
[R, H], |
iLF (t) R = |
1 |
[R, HF (t)], |
(5.25) |
||
|
i |
|||||||
|
i |
|
|
|
||||
R – произвольный оператор, [A, B] = AB − BA .
Получим формальное решение уравнения (5.23), |
полагая |
|
внешнее поле слабым. Для этого запишем ρ(t) |
в виде |
|
ρ(t) = ρ0+ ρ(t) |
|
(5.26) |
и линеаризуем уравнение (5.23), считая HF (t) и ρ(t) малыми величинами (малость операторных величин следует понимать в
276 |
Глава 5. Теория линейного отклика |
том смысле, что малыми величинами являются матричные элементы в том представлении, где эти операторы диагональны). Линеаризованное уравнение имеет вид
|
∂ ρ(t) |
+ iL ρ(t) + iLF (t) ρ0 = 0. |
(5.27) |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
∂t |
|
|
||
Умножим уравнение (5.27) слева на оператор эволюции eiLt , |
||||||
определяемый соотношением |
|
|
||||
|
|
|
eiLtR = ei/ Ht R e−i/ Ht. |
|
(5.28) |
|
В результате получаем уравнение |
|
|
||||
|
|
∂ |
|
|
||
|
|
|
eiLt ρ(t) = −i eiLt LF (t) ρ0 |
, |
(5.29) |
|
|
|
∂t |
||||
интегрируя которое в пределах от −∞ до t с учетом граничного условия (5.24), находим решение
eiLt ρ(t) = −i |
t |
dt eiLt LF (t ) ρ0. |
(5.30) |
|
−∞ |
|
|
Чтобы в явном виде найти неравновесный статистический оператор ρ(t) , умножим левую и правую части уравнения (5.30) слева на оператор эволюции e−iLt и сделаем в интегральном члене замену переменных, полагая t −t = t1 . Тогда, используя определение (5.26), получаем искомое значение статистического оператора
ρ(t) = ρ0 − i |
0 |
eiLt1 LF (t + t1) ρ0 dt1, |
(5.31) |
|
−∞ |
|
|
или, подставляя выражение (5.21) для оператора HF (t) , другую форму этого результата
ρ(t) = ρ0 + |
0 |
e t1 eiLt1 |
1 |
[ ρ0, A ] F (t + t1) dt1. |
(5.32) |
i |
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
§ 2. Линейный отклик на внешнее поле |
277 |
Пользуясь полученным результатом, найдем изменение среднего значения < B >t оператора некоторой физической величины B за счет действия внешней силы
< B >t= Sp{B ρ(t)} − Sp{B ρ0}. |
(5.33) |
Для практических приложений удобно для отклика системы на внешнее воздействие перейти к фурье-представлению, выполняя фурье-преобразование по времени t :
|
∞ |
|
|
< B >t= |
dωe−iωt < B >ω, |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
F (t) = |
|
dωe−iωtF (ω). |
(5.34) |
−∞
фурье-образ отклика на внешнее воздействие < B >ω и фурьеобраз внешней силы F (ω) , очевидно, определяются с помощью обратного преобразования Фурье. Используя результаты (5.32), (5.33), получаем
< B >ω= |
0 |
e( −iω)t1 Sp B eiLt1 |
1 |
[ ρ0, A ] |
dt1 F (ω). (5.35) |
|
|||||
|
−∞ |
|
i |
|
! |
Формула (5.35) позволяет исследовать реакцию системы на внешнее поле в том случае, когда механическое возмущение не приводит к развитию термических возмущений в системе. В этом смысле итерационная процедура решения уравнения (5.23) справедлива лишь на первом шаге, поскольку уже поправка второго порядка по HF (t) является некорректной, если не учитывать индуцированные механической силой термические возмущения, например разогрев электронов, и процессы передачи энергии между различными подсистемами кристалла, как это сделано при анализе уравнений баланса энергии различных подсистем кристалла в предыдущей главе.
Хотя формально, как это сделано в исходной работе Р. Кубо, решение уравнения (5.23) может быть построено в виде ряда по степеням HF (t) , оно может иметь смысл только для импульсного возмущения. В этом случае, если длительность импульса
280 |
Глава 5. Теория линейного отклика |
в силу конечности параметра . Оператор iLF (t) в формулах (5.38), (5.39) определен с помощью гамильтониана (5.37). Умножая уравнение (5.39) на e−( +iL)t и производя в интегральном члене замену переменных t − t = t1 , действительно получаем формулу (5.32).
Таким образом, уравнения (5.23) и (5.36) по существу эквивалентны, однако использование уравнения (5.36) физически более оправданно, поскольку в нем, хотя и в идеализированной форме, учитывается взаимодействие с термостатом.
§3. Вычисление электропроводности
Вкачестве примера использования метода Кубо рассмотрим вычисление электропроводности электронов, взаимодействующих с фононами. Пусть система описывается гамильтонианом
H(t) = H + HF (t), H = H0 + Hep, |
(5.40) |
где H0 – оператор невзаимодействующих электронной и фононной подсистем
|
P 2 |
N |
|
|
|
|
j |
|
|
||
H0 = Hk + Hp, Hk = |
|
, P α = |
pjα, |
(5.41) |
|
2m |
|||||
Hep – оператор электрон-фононного взаимодействия, явный вид которого для большинства механизмов электрон-фононного взаимодействия можно задать в форме (4.76); pαj – α -проекция оператора импульса j -го электрона. Суммирование в формуле (5.41) ведется по всем электронам в зоне проводимости. Гамильтониан взаимодействия электронов с внешним электрическим
полем
HF (t) = −eXα Eα(t), Xα = rjα, (5.42)
j
rjα – оператор α -проекции координаты j -го электрона, Eα – α -проекция амплитуды внешнего электрического поля.
Вспоминая феноменологическую связь между плотностью электрического тока и напряженностью электрического поля