Учебники / Физика конденсированных сред

При записи выражения (3.89) учтено, что функция f (p) в действительности зависит от модуля этого вектора, и поэтому при интегрировании в формуле (3.88) можно записать

vαpβ = 1 p2 δαβ ,

3 m

где δαβ – символ Кронекера.

Интеграл в правой части (3.89) представляет собой среднюю энергию частиц. Действительно, переходя в этом интеграле к интегрированию в сферической системе координат с учетом условия нормировки функции f (p) и полагая ε = p2/2m , получаем

Используя известные соотношения для гамма-функции

∞

Γ(n) = xn−1e−xdx; Γ(5/2) = 3/2 Γ(3/2),

0

получаем для подвижности тяжелых частиц в легком газе простую формулу

μ = e kБT . B

В этом выражении константу B можно рассматривать как феноменологический параметр, который следует найти из эксперимента или оценить из первых принципов, задавая явный вид выражения для вероятности перехода в формуле (3.82).

3.3.Решение кинетических уравнений

§ 11. Решение уравнения Больцмана для равновесного состояния

Анализ проблемы решения кинетического уравнения Больцмана начнем с простейшего случая равновесного состояния системы. В условиях равновесия функция распределения не содержит явной зависимости от координат и времени, а внешние силы, выводящие систему из состояния равновесия, отсутствуют. Тогда левая часть выражения (3.64) равна нулю и кинетическое уравнение для равновесного состояния сводится к равенству нулю интеграла столкновений

Заметим, что до сих пор мы записывали кинетическое уравнение для одночастичной функции F1, и в уравнении (3.59) фигурирует именно эта функция. Введенное соотношением (3.55) обозначение F1(t, r, p) = f не должно вводить в заблуждение. В дальнейшем удобно перейти к более привычному определению функции распределения, нормированной на концентрацию. Поскольку одночастичная функция распределения F1(t, r, p) связана с функцией f (t, r, p) , нормированной на концентрацию, простым соотношением f (t, r, p) = n F1(t, r, p) , то для того, чтобы перейти к новым обозначениям при записи кинетического уравнения, достаточно опустить выражение для концентрации в интеграле столкновений (3.59). В дальнейшем будем считать, что такой переход уже осуществлен, и полагать, что фигурирующие в кинетическом уравнении функции нормированы на концентрацию. Именно поэтому при записи интеграла столкновений (3.91) мы опустили выражение для концентрации n перед интегралом.

Очевидно, что равенство нулю (3.91) достигается, если выполняется условие

f (p ) f (p1 ) = f (p) f (p1)

После операции обращения времени левая часть уравнения (3.98)

Необратимость уравнения Больцмана связана с тем, что из всех возможных решений цепочки уравнений Боголюбова отобраны те решения, которые удовлетворяют принципу ослабления корреляций. Современники подвергли Больцмана острой критике за отход от идей детерминизма. С позиций современного знания, как указывалось в § 2 этой главы, точное решение динамической задачи в системах, демонстрирующих динамический хаос, является совершенно бессмысленной задачей, и для получения результатов, имеющих практический смысл, необходимо переходить к статистическому описанию. Именно эту идею и реализовал Больцман, предложив свое уравнение.

Необратимый характер поведения системы, описание которой производится на языке функции распределения, удовлетворяющей уравнению Больцмана, становится очевидным, если, следуя Больцману, определить величину H (функцию Ляпу-

которая является невозрастающей функцией времени. Очевидно, что можно определить и неубывающую величину S(t) = −H(t) , совпадающую с точностью до размерного множителя с энтропией системы. Существование невозрастающей функции H(t) , определенной формулой (3.99), для функций, являющихся решением уравнения (3.59), обычно называют H -теоремой Больцмана.

Приведем доказательство этой теоремы для случая пространственно однородного распределения газа в условиях отсутствия внешних сил. Кинетическое уравнение в этой ситуации описывает релаксацию газа к равновесному состоянию и имеет наиболее простой вид

∂f (p ) = u σ(Ω, u) f (p ) f (p1 ) − f (p ) f (p1) dp1dΩ. (3.100) ∂t

Найдем производную функции H(t) по времени и покажем, что она всегда неположительна. Выполняя дифференцирование

Подставим в это выражение значение производной функции распределения из кинетического уравнения (3.100):

Поскольку интегрирование по p и p1 ведется в одинаковых пределах, выражение (3.101) можно симметризовать, записав его в виде

Полученный результат можно подвергнуть дальнейшей симметризации. Поскольку dp dp1 = dp dp1 , u = −u . Поэтому возможна дальнейшая симметризация

Если рассматривать только выражения в квадратных скобках, то можно заметить, что подынтегральная функция в правой части формулы (3.103) может быть представлена в виде

f (x, y) = (x − y) ln xy ,

где x = f (p ) f (p1 ) , y = f (p ) f (p1 ) . Теперь очевидно, что при любых значениях x = y функция f (x, y) отрицательна.

Равенство нулю достигается только в случае равенства x = y . Поскольку относительная скорость частиц до соударения u и

сечение рассеяния σ(Ω, u) являются положительными величинами, то подынтегральная функция в правой части (3.103) является неположительной величиной во всей области интегрирования и

∂H(t)

∂t

≤ 0.

Этим исчерпывается доказательство теоремы.

Заметим, что H -теорема Больцмана, доказанная выше, эквивалентна второму началу термодинамики, которое гласит, что энтропия системы не может уменьшаться. Фактически H -теорема является даже более общим утверждением, поскольку она справедлива и для систем, далеких от состояния равновесия. Она позволяет утверждать, что и для неравновесного состояния можно определить функцию Ляпунова, которая в каком-то смысле эквивалентна энтропии для равновесных систем. Другие формулировки доказательства H -теоремы и обсуждение проблемы необратимости решений уравнения Больцмана можно найти в специальной литературе [23, 24].

§ 13. Разложение Гильберта

Кинетическое уравнение Больцмана (3.64) является нелинейным интегродифференциальным уравнением, и нахождение его решений, удовлетворяющих начальным и граничным условиям, представляет необычайно сложную проблему. Неудивительно, что до сих пор нет полного анализа существования и единственности решений этого уравнения в общем виде. Полученные к настоящему времени результаты весьма скромны, и большая их часть изложена в упоминавшихся монографиях [23,24]. Основные направления практического использования уравнения Больцмана для решения задач физической кинетики состоят в попытках построения теории возмущений.

Самым простым и физически ясным является метод линеаризации интеграла столкновений. В этом случае теория возмущений строится по степеням отклонения системы от состояния равновесия, а решение кинетического уравнения f (p, t) ищется

ввиде равновесной функции распределения f0(p ) и малой поправки δf (p, t) . Линеаризация интеграла столкновений состоит

втом, что удерживаются только линейные по δf (p, t) члены.

Для линеаризованного уравнения Больцмана имеется ряд строгих результатов существования и единственности решений задач с начальными и граничными условиями [24]. Недостатком этого подхода является то, что анализ оказывается справедливым только для слабонеравновесных состояний.

Другая группа методов теории возмущений состоит в разложении функции распределения в ряд по степеням некоего малого параметра и построении итерационной схемы последовательного определения коэффициентов разложения. Впервые этот прием для анализа решений уравнений Больцмана применил Д. Гильберт в 1912 г. Изложим кратко сущность и результаты разложения Гильберта.

Оценим вначале порядок различных членов в уравнении Больцмана. Если ω – характерная частота изменения внешних воздействий, v – характерная скорость частиц, d – характерный размер пространственной неоднородности системы, l – длина свободного пробега частиц, а l/v = τ – время свободного пробега частиц, то можно оценить порядок различных членов в уравнении Больцмана:

Отсюда следует, что можно ввести два безразмерных параметра, характеризующих относительную величину интеграла столкновений по сравнению с вкладами слагаемых в левой части уравнения: ωτ и l/d . В качестве первого приближения можно считать, что эти параметры близки по величине, и тогда относительный вклад интеграла столкновений определяется лишь одним параметром Kn = l/d , который носит название ч и с л а К н у д с е н а . При малых значениях числа Кнудсена длина свободного пробега мала, столкновения происходят достаточно часто и вклад интеграла столкновений велик. При больших значениях числа Кнудсена Kn 1 возможен режим свободномолекулярного течения газа, когда интеграл столкновений в кинетическом уравнении можно опустить. Этот анализ наводит на мысль, что теорию возмущений для кинетического уравнения можно строить для двух разных предельных случаев, когда число Кнудсена Kn → 0 и когда это число велико и

Kn → ∞.

Разложение Гильберта соответствует первому случаю, когда число Кнудсена Kn = является малым параметром (плотные газы). Запишем кинетическое уравнение (3.64), вводя для интеграла столкновений символическое обозначение I(f, f ) :

Величина в левую часть (3.104) введена для того, чтобы проще было отобрать члены одинакового порядка малости по параметру при построении итерационной процедуры.

Решение кинетического уравнения f будем искать в виде разложения в бесконечный ряд по степеням параметра :

После того как все члены разложения (3.105) будут найдены, параметр следует положить равным единице и вернуться к исходным определениям. В этом смысле разложение является формальным приемом, всего лишь позволяющим правильно отобрать члены одинакового порядка малости.

Подставим разложение (3.105) в уравнение (3.104) и приравняем члены в левой и правой частях уравнения (3.104), содержащие нулевой, первый, второй и т. д. порядки по . В результате получаем бесконечную последовательность уравнений, позволяющих определить коэффициенты разложения f (i) :

∂f (0) + p rf (0) +F pf (0) = I(f (1), f (0)) + I(f (0), f (1)), (3.107)

∂t m

∂f (1) + p rf (1) + F pf (1) = ∂t m

Уравнение (3.106) позволяет определить f (0) . Легко видеть, что по существу это уравнение совпадает с уравнением (3.91) и

его решением будет квазиравновесная функция распределения (3.97)

где параметры n , v0 , T являются локально-равновесными величинами и зависят от координат и времени.

Проанализируем структуру уравнений (3.107), (3.108). Дальнейшие выкладки достаточно громоздки. Поскольку нас интересуют лишь принципиальные моменты метода, а не прикладные аспекты, без всякого ущерба можно опустить член, пропорциональный внешней силе, в уравнениях (3.107), (3.108). Каждое из этих уравнений позволяет определить очередную поправку в разложении (3.105). Таким образом, в принципе, можно определить все члены разложения (3.105), но для этого придется на каждом шаге решить некоторое линейное неоднородное интегральное уравнение. Структура интегральных уравнений для определения очередной поправки f (n) = f (0) h(n) одинакова и может быть записана в символической форме:

функция, явный вид которой известен, если найдены предыдущие члены разложения (3.105). Поскольку величины f (0) известны, приходим к системе уравнений для отыскания функций h(n) , структура которых одинакова и представляет собой на каждом шаге линейное неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода: