Учебники / Физика конденсированных сред

упругого рассеяния частиц являются аддитивные инварианты столкновения ψα α = 1 , 2, . . . , 5 , т. е. константа, три компоненты импульса и кинетическая энергия (заметим, что эти величины являются собственными функциями уравнения Lh = λh , соответствующие собственному значению λ = 0 ). Решение неоднородного уравнения (3.113) эквивалентно нахождению обратного оператора L−1 , что в общем случае невозможно, поскольку λ = 0 входит в число возможных собственных значений оператора L . Поэтому потребуем дополнительно, чтобы вектор g(n) , задающий неоднородность, был ортогонален ψα , и будем искать решения на этом классе функций. Впрочем, можно сослаться и на более общее утверждение: решение неоднородного уравнения Фредгольма второго рода существует тогда и только тогда, когда его правая часть (неоднородность) ортогональна всем его решениям. В результате получаем очень важное условие, которое позволит получить уравнения переноса ( n = 1, 2, . . .) :

В формуле (3.114) ψα – вектор, компонентами которого являются инварианты столкновения (набор собственных функций

– любое частное решение уравнения (3.113), Cα(n) –

это пять величин (аналог коэффициентов A , B и C в уравнении (3.93)), зависящих от координат и времени, которые нужно будет определить на каждом шаге итерации.

ˆ(n)

Чтобы сделать выбор функций h однозначным, наложим пять дополнительных условий:

172 Глава 3. Кинетические уравнения

С точки зрения математики, необходимость этих условий связана с тем, что решение неоднородного уравнения следует искать на множестве функций, ортогональных базису собственных функций однородного уравнения Lh(n) = 0 , что обеспечивает существование оператора L−1 .

Итак, функция f (0) находится из уравнения (3.106), и она совпадает с равновесной функцией распределения f0 . Поправки

для n = 1, 2, . . . содержат неизвестные функции координат и

ти из условий (3.114), (3.110), обеспечивающих существование поправки на n + 1 шаге. Таким образом, по крайней мере принципиально, есть возможность построить итерационную схему определения всех членов разложения (3.105).

Реализуем описанную выше схему для случая n = 1 . По-

для всех n , если величины ψα являются инвариантами столкновений [23], условия ортогональности (3.114) сводятся к пяти уравнениям, представляющим собой уравнения Эйлера для невязкой среды

Напоминаем, что в качестве величин ψα следует взять пять инвариантов столкновений: массу частицы m , три компоненты импульса частицы mv и кинетическую энергию mv2/2 .

Взяв ψ1 = m , из (3.118) получим уравнение неразрывности

Для ψ2,3,4 = mv из (3.118) получаем уравнение баланса импульса

В этой формуле Pij – компоненты тензора напряжений, ci = = vi −v0i – компоненты скорости теплового движения. При выводе формулы (3.121) следует записать скорость частицы vi в виде суммы скоростей теплового движения ci и скорости дрейфа v0i . Тогда, с учетом того, что средняя скорость теплового движения равна нулю, получаем

mvivj f (0) dp = m (ci + v0i)(cj + v0j )f (0) dp =

= m cicj f (0) dp + mv0iv0j f (0) dp = Pij + ρv0iv0j .

Наконец, подставляя в качестве ψ5 кинетическую энергию частицы mv2/2 , получаем макроскопическое уравнение баланса энергии

Вывод формулы (3.123) не представляет труда, если учесть соотношения (3.96) и определение тензора напряжений (3.122). Величина qj представляет собой поток тепла

qj = m2 c2i cj f (0) dp.

Уравнения (3.119), (3.121), (3.123) представляют собой урав-

нения Эйлера для пяти макроскопических величин, входящих в f (0) , т. е. для n(r, t) или ρ(r, t) , v0i(r, t) и T (r, t) . Найденные в результате решения этих уравнений гидродинамические

параметры еще не являются истинными плотностью, скоростью

и температурой. Их можно рассматривать как первое приближение к истинным параметрам. Для нахождения очередной поправки следует перейти к следующему шагу итерации.

Обобщим результаты (3.119), (3.121), (3.123) для случая произвольных значений n ≥ 1 . Очевидно, что совокупность пяти гидродинамических уравнений, вытекающих из условия (3.114), всегда можно записать в виде

На каждом шаге итерации систему уравнений (3.124) необходимо решить и найти неизвестные коэффициенты Cα(n) , со-

– частное решение соответствующего неоднородного уравнения (3.110). Таким образом, очевидно, что намеченная программа трудно реализуема, и главная ценность разложения Гильберта не в практическом методе нахождении решения уравнения Больцмана, а в доказательстве существования и единственности решения. Кроме того, разложение Гильберта позволяет установить взаимно однозначное соответствие между функцией распределения f (p, r, t) и первыми ее моментами n(r, t) , v0(r, t) и T (r, t) . Иначе говоря, разложение Гильберта позволяет доказать, что кинетическое уравнение Больцмана однозначно определяет функцию распределения f (p, r, t) , если в начальный момент времени заданы первые пять моментов функции распределения.

Для доказательства этого положения достаточно в выражение для плотности ρ(αn) (3.125) подставить выражение для f (n) из (3.117). В результате получаем уравнение взаимосвязи величин ρ(αn) и коэффициентов Cα(n) :

В силу условия (3.116) первый интеграл в выражении (3.126) равен нулю, и мы получаем пять уравнений, позволяющих вы-

разить величины Cα(n) через ρ(αn) . Поскольку величины Cα(n) определяются из решения дифференциальных уравнений, то для их однозначного определения нужно задать начальные условия на каждом шаге итерации. Но так как мы доказали одно-

значное соответствие между величинами Cα(n) и ρ(αn) , то на каждом шаге итерации можно задавать начальные условия не

для Cα(n) , а для ρ(αn) . Таким образом, все поправки к функции распределения будут найдены из уравнения Больцмана, если в

начальный момент времени будут заданы величины ρ(αn) . Иначе говоря, функция распределения f (p, r, t) однозначно определяется пятью параметрами n(r, t) , v0(r, t) и T (r, t) , заданными в начальный момент времени. Поскольку в качестве начального времени можно выбрать любой момент времени, можно утверждать, что имеется взаимно однозначное соответствие между функцией распределения f (p, r, t) и вектором ее первых пяти моментов, заданным в произвольный момент времени, т. е. обосновать применимость гидродинамических уравнений для описания эволюции системы.

ˆ(n)

Величины h , естественно, тоже подлежат определению как частные решения уравнений (3.110) на каждом шаге итерации. Но уравнения (3.110) не требуют задания начальных усло-

вий и содержат величины Cα(n−1) , найденные уже на преды-

как не скажется на сделанных выше выводах о том, что задание первых пяти моментов функции распределения в начальный момент времени однозначно определяет решение уравнения Больцмана.

Таким образом, Гильберт доказал существование и единственность решения уравнения Больцмана в классе решений, которые могут быть представлены в виде разложения (3.105). Доказать возможность такого разложения, а тем более убедиться в его сходимости, к сожалению, до сих пор не удалось. Тем не менее разложение Гильберта служит теоретической основой для большинства практически применяемых методов решения уравнения Больцмана и в частности метода Энскога – Чепмена, основные идеи которого будут изложены ниже.

§ 14. Метод Энскога – Чепмена. Вывод уравнений гидродинамики

В предыдущем параграфе показано, что решение уравнения Больцмана может быть построено в виде разложения по малому параметру (числу Кнудсена), которое полностью определяется заданием в начальный момент гидродинамических величин. Но если функция распределения f (p, r, t) в произвольный момент времени t выражается через гидродинамические величины в начальный момент времени, то и гидродинамические величины в произвольный момент времени должны выражаться через начальные значения гидродинамических параметров. Следовательно, можно исключить из рассмотрения функцию распределения и установить прямую связь между гидродинамическими величинами в различные моменты времени. Этот результат теории Гильберта позволяет обосновать применение гидродинамических уравнений для описания газодинамики.

Система гидродинамических уравнений (3.119), (3.121), (3.123) представляет собой пять независимых уравнений для определения тринадцати неизвестных величин. Этими неизвестными величинами являются: плотность ρ , три компоненты средней скорости v0 , шесть компонент симметричного тензора напряжений Pij и три компоненты потока тепла q . Температура T легко может быть выражена через диагональные компоненты тензора напряжений. Действительно, определяя давление соотношением

где компоненты тензора Pij определяются выражением (3.122), и вспоминая условие (3.96), получаем хорошо известное соотношение p = nkБT , и температура в действительности может быть определена через другие гидродинамические параметры.

Таким образом, система гидродинамических уравнений незамкнута. Для того чтобы ее замкнуть, необходимо выразить величины Pij и qi через гидродинамические величины n, v0, p (или T ). Тогда система гидродинамических уравнений будет замкнута и мы получим пять независимых уравнений для определения пяти гидродинамических параметров на каждом шаге итерации.

Цель метода Энскога – Чепмена состоит в установлении указанной связи и получении замкнутой системы гидродинамических уравнений баланса. Метод Энскога – Чепмена является развитием метода Гильберта, и можно показать [24], что в методе Энскога – Чепмена реализована перестройка разложения Гильберта для функции распределения f (p, r, t) по степеням малого параметра (числа Кнудсена). Такая перестройка необходима, поскольку разложение Гильберта в любом порядке по позволяет получить лишь уравнения гидродинамики невязкой жидкости. В физике достаточно много примеров, когда в любом порядке теории возмущений теоретический результат не согласуется с экспериментом и нужна перестройка ряда теории возмущений (часто эквивалентная суммированию некоторой бесконечной последовательности членов ряда теории возмущений). Применение диаграммной техники и метода массового оператора в задачах физики твердого тела как раз может служить примером такого подхода.

Не имея возможности изложить все детали оригинального метода Энскога – Чепмена, ограничимся лишь обсуждением принципов, позволяющих получить замкнутые уравнения гидродинамики, пригодные для описания вязкой жидкости (уравнений Навье – Стокса).

Начальные шаги построения разложения Энскога – Чепмена полностью совпадают с разложением Гильберта. Таким образом, рассуждая точно так же, как и в предыдущем параграфе, приходим к уравнениям (3.105) – (3.108). Для простоты огра-

ничимся случаем, когда внешняя сила F = 0 .

Решением уравнения (3.106) является функция (3.109), в которой параметры n, v0, T представляют собой локальную плотность частиц, их среднюю скорость и температуру и в общем случае являются произвольными функциями координат и времени. Строго говоря, в уравнении (3.109) должны стоять величины n(0), v0 (0), T (0) – гидродинамические параметры нулевого приближения. Однако теория получается значительно более

изящной, а результаты легко интерпретируемыми, если сразу считать, что параметры n, v0, T удовлетворяют уравнениям

Здесь f (0) – это функция распределений (3.109). Тогда поправки f (n), n = 1, 2, . . . , должны удовлетворять системе определений

Пять уравнений (3.130) – (3.132) представляют собой аналог уравнений (3.116). Как эти уравнения следует использовать при построении уравнений гидродинамики, обсудим чуть позже.

Если в разложении (3.105) ограничиться лишь первым членом и положить f = f (0) , то в качестве уравнений гидродинамики получим уравнения Эйлера (3.119), (3.121), (3.123). Легко заметить, что в этом случае тензор напряжений может быть записан в виде Pij = pδij , а поток тепла q равен нулю. Тогда система гидродинамических уравнений является замкнутой. Этот результат совпадает с тем, что дает разложение Гильберта.

Учтем теперь поправку f (1) в разложении (3.105) и положим

В этом случае для h(1) можно записать интегральное уравнение

Неоднородное интегральное уравнение (3.134) для определения h(1) можно получить, полагая n равным единице в уравнениях (3.110) – (3.112). Анализ уравнения (3.134) в методе Энскога – Чепмена радикальным образом отличается от анализа Гильберта. Как уже указывалось, основной целью метода Энскога – Чепмена является вывод гидродинамических уравнений. Поскольку разложение Гильберта в любом порядке по не позволяет получить уравнения движения вязкой жидкости, разложение следует перестроить. Эта перестройка основана на результате, полученном Гильбертом. Поскольку решение уравнения Больцмана однозначно определяется заданием первых пяти моментов функции распределения, то и производная по времени в уравнении (3.134) может быть выражена через эти моменты.

Для реализации этой программы подставим в левую часть уравнения (3.134) функцию f (0) , определяемую выражением (3.109), и выполним дифференцирование по координатам и времени, полагая, что функциями координат и времени являются гидродинамические параметры n, v0, T . В результате простых

чим с помощью гидродинамических уравнений (3.119), (3.121),

(3.123), которые с учетом того, что Pij = pδij , p = nkБT , q = 0 , ρ = n m , можно записать в более простой форме

Для вывода последнего уравнения следует преобразовать (3.123), используя законы сохранения (3.136) и (3.137).

После исключения производных по времени в результате простых, но достаточно громоздких преобразований правую часть (3.135) можно представить в виде [22]:

Запишем теперь интегральное уравнение (3.134), используя полученный выше результат. Для упрощения записи, как и ранее, будем использовать скорость теплового движения c = v−v0 . Для интеграла столкновений воспользуемся выражением в правой части (3.100) и подставим вместо функции распределения f ее разложение (3.133). Тогда, учитывая законы сохранения энергии, получаем

Уравнение (3.140) представляtт собой неоднородное уравнение Фредгольма, и его решение является суперпозицией общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Оно позволяет найти поправку к функции распределения первого порядка по . Подробно методика решения уравнения (3.140) изложена в монографии М. Н. Когана [25]. Не вдаваясь в детали вычислений, отметим, что частное решение интегрального уравнения (3.140) ищется в виде

где скалярные величины A и B предполагаются зависящими от модуля скорости теплового движения, концентрации и температуры. Для определения этих констант выражение (3.141)