Учебники / Физика конденсированных сред

Найдем теперь поправку к функции распределения f1 (4.14), вызванную эффектом увлечения. Для этого добавим в кинетическое уравнение поправку к интегралу столкновения, вызванную неравновесностью фононной системы:

Подставляя в это выражение формулу (4.108), получаем

Для практического использования полученного результата (4.113) необходимо еще вычислить интеграл по q , учитывая один из известных механизмов релаксации длинноволновых фононов. Обычно при рассмотрении эффектов увлечения обсуждаются два таких механизма: механизм Херринга, который дает оценку

и механизм Саймонса

Оба этих механизма приводят к достаточно сильной зависимости времени релаксации от температуры ( τqλ 1/T 4 или τqλ 1/T 3) . Поэтому неэлектронные механизмы релаксации фононов заметно увеличивают свой вклад при низких температурах T 4K и в этой области составляющая термоэдс,

232 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

обусловленная эффектами увлечения, может заметно превосходить обычную диффузионную составляющую термоэдс.

Численную оценку вклада эффекта увлечения в термоэдс электронов можно получить, если, учитывая формулы (4.112),

(4.113), подставить Aув(εk ) в формулу для интеграла K1 (4.45) вместо величины (εp − ζ)/T . Мы не будем приводить здесь эти простые вычисления, предоставляя возможность выполнить их самостоятельно в качестве упражнений.

§8. Выражения для потоков заряда и тепла

вмагнитном поле. Тензорная структура кинетических коэффициентов

ˆ

Получим явные выражения для компонент тензоров ρ,ˆ αˆ Π ,

ˆ

κ для случая, когда внешнее магнитное поле не равно нулю. Для этих целей, пользуясь формулами (4.15), (4.24) и (4.27), (4.28), найдем выражения для потоков заряда и тепла:

где для удобства дальнейшего изложения введены следующие

234 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

i = { , , H}. Как упоминалось в главе 1, при проведении экс-

периментов значительно удобнее контролировать ток J через образец, нежели градиент электрохимического потенциала ε . Поэтому при исследовании термогальваномагнитных явлений

ˆ ˆ

определяются компоненты тензоров ρ,ˆ αˆ Π, κ , явный вид ко-

торых можно получить, пользуясь формулами (1.35), (1.36) и преобразования тен-

Отметим основные особенности полученных выражений для кинетических коэффициентов. Как следует из формул (4.121),

ˆ ˆ

(4.122), (4.124), структура тензоров ρ,ˆ α,ˆ Π, κ характерна для гиротропных сред и совпадает со структурой, которая предполагалась в главе 1. Далее, диагональные компоненты тензоров, характеризующие явления в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, содержат лишь четные степени магнитного

ˆ ˆ

поля, а продольные составляющие тензоров ρ,ˆ α,ˆ Π, κ не зависят от магнитного поля. Отличные от нуля недиагональные элементы, имеющие тензорные индексы xy и yx , нечетны по магнитному полю, равны между собой по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки. Учитывая все сказанное,

236Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Вслучае полупроводников с одним экстремумом зоны проводимости в центре зоны Бриллюэна наиболее серьезные ограничения связаны с необходимостью учета квантования, если выполняется условие ω0 kБT . Поэтому будем предполагать, что магнитное поле не является квантующим и выполняется неравенство ω0 kБT , что позволяет использовать квазиклассическое приближение для описания движения электрона в магнитном поле.

Учет наличия нескольких эквивалентных минимумов (долин) в симметричных точках зоны Бриллюэна и эллипсоидальный характер изоэнергетических поверхностей, имеющий место в ряде полупроводниковых материалов (Ge, Si), может быть произведен без существенных изменений основных положений рассматриваемой теории [8,31] и поэтому здесь рассматриваться не будет.

Наиболее полный обзор результатов по теории термомагнитных и гальваномагнитных явлений приведен в монографии Б. М. Аскерова [8], где имеется и обширная библиография по этому вопросу. Рамки книги не позволяют рассмотреть с необходимой строгостью и полнотой всю совокупность современных результатов по теории термогальваномагнитных явлений. Поэтому рассмотрим лишь самую простую ситуацию: полупроводник со стандартной зоной проводимости в случаях 1) предельно сильного вырождения электронного газа и 2) невырожденного электронного газа, подчиняющегося статистике Максвелла – Больцмана.

Рассмотрим вычисление интегралов Kl , KlH , Kl , определенных выражением (4.118) в упомянутых предельных случаях 1 и 2.

Сравнивая формулы (4.33) и (4.118), видим, что интегралы

Kl совпадают с интегралами Kl , которые мы уже вычисляли выше (с. 232). Поэтому рассмотрим только проблему вычисления интегралов Kl и KlH .

В пределе сильновырожденного электронного газа для вычисления интересующих нас интегралов воспользуемся формулой (4.35). В случае интегралов K0 и K0H достаточно ограничиться первым приближением по параметру разложения kБT /ζ

§9. Кинетические коэффициенты в магнитном поле 237

вформуле (4.35) и заменить производную −∂f0/∂ε дельтафункцией δ(ε − ζ) :

Для вычисления интегралов K1i , K2i i = { , H}, в формуле (4.33) необходимо удержать квадратичный по параметру малости kБT /ζ член разложения

В случае невырожденного электронного газа, подчиняющегося статистике Максвелла – Больцмана, целесообразно сразу рассмотреть лишь случай слабых магнитных полей, когда выполняется неравенство ω0 τp 1 , и оставить в интегралах (4.118) лишь первый неисчезающий член по параметру ω0 τp .

238 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Используя определение среднего < τp(x) xk > (4.49) и определение концентрации электронов (4.44), после несложных преобразований получаем:

Перейдем теперь к обсуждению некоторых гальваномагнитных и термомагнитных эффектов, используя полученные выражения для интегралов Kli .

Эффект Холла

Постоянная Холла R на основании формулы (1.57) определяется недиагональной компонентой тензора электропроводности ρxy . Учитывая формулы (4.124), (4.125), получаем выражение константы Холла через интегралы K0 и K0H

Подстановка в эту формулу результатов (4.128), (4.131) дает

для невырожденных полупроводников. Значение параметра γ зависит от механизма рассеяния носителей заряда и варьируется в пределах γ 1, 18 − −1, 93 при изменении значения показателя рассеяния от r = −1/2 (рассеяние на акустических фононах) до r = 3/2 (рассеяние на заряженных примесях).

§ 9. Кинетические коэффициенты в магнитном поле 239

Изменение поперечного сопротивления в магнитном поле

В случае металлов точность, с которой вычислялись интегралы K0 и K0H , недостаточна и подстановка результатов (4.128) в формулу (4.125) не дает зависимости сопротивления от магнитного поля. Этот результат можно было бы предсказать заранее, поскольку, как отмечалось в главе 1, изменение сопротивления в магнитном поле связано с тем, что холловское поле компенсирует магнитную составляющую силы Лоренца лишь в среднем, а более быстрые и более медленные электроны движутся по искривленным траекториям, что уменьшает эффективную длину их свободного пробега. Поэтому для получения полевой зависимости величины ρ/ρ следует, воспользовавшись формулой (4.35), произвести дальнейшее разложение интегралов K0 , K0H по малому параметру kБT /ζ . Хотя эти вычисления сводятся к элементарным алгебраическим преобразованиям, они достаточно громоздки и мы приведем здесь лишь окончательный результат, а детали вычислений рассмотрим в качестве примера:

Для невырожденных полупроводниковых материалов рассмотрим лишь случай слабых магнитных полей ω0τp 1 и воспользуемся результатами (4.131) для интегралов K0 и K0H .

Выражение (4.136) можно записать в более удобной форме, вводя безразмерный параметр

Тогда для относительного изменения сопротивления в магнитном поле получается достаточно простое выражение

240 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Из формулы (4.137) следует, что относительное изменение сопротивления в магнитном поле фактически определяется параметром ω0 < τp(x) > , поскольку безразмерный фактор Tr слабо зависит от показателя рассеяния r и варьируется в интервале от 0,38 для r = −1/2 до 2, 15 при r = 3/2 .

Поперечный эффект Нернста – Эттинсгаузена

Поперечный эффект Нернста – Эттинсгаузена определяется недиагональной компонентой тензора дифференциальной термоэдс αH (4.125). Опуская простые, но достаточно громоздкие вычисления с использованием формул (4.56), (4.57), (4.123), (4.125), приведем лишь итоговый результат, пригодный в условиях сильного вырождения, когда интегралы K0 , K0H вычисляются в нулевом приближении по малому параметру kБT /ζ , а интегралы K1 , K1H – в первом неисчезающем приближении по этому параметру (см. формулу (4.35))

( μe/c = ω0τp(ζ)/H ). Из приведенного выражения для коэффициента Qнэ следует, что знак эффекта напрямую определяется знаком показателя рассеяния r . Этот факт позволяет определять экспериментально смену преобладающего механизма рассеяния электронов (например, для рассеяния на нейтральных примесях r = 3/2 , а для рассеяния на длинноволновых акустических колебаниях r = −1/2 ).

Для невырожденного электронного газа приведем результат, пригодный лишь для случая слабого магнитного