Учебники / Физика конденсированных сред

§ 8. Электропроводность при рассеянии на фононах 321

смысл которого состоит в том, что полное число состояний электронов, которое определяется суммой в выражении (5.160), может быть записано также в виде интеграла от плотности состояний g(E) по всем возможным значениям энергии. При таком определении плотность состояний – это число состояний электронов, попадающих в интервал энергий от E до E + dE в кристалле, объем которого равен единице. Чтобы определить число состояний, воспользуемся полученным ранее результатом (5.151), добавив к нему суммирование по квантовому числу n

Для нахождения плотности состояний в формуле (5.161) следует перейти от интегрирования по pz к интегрированию по энергии, воспользовавшись определением спектра энергии электронов в квантующем магнитном поле (5.120):

p2

En pz = 2mz + ω0(n + 1/2).

Производя такую замену переменных интегрирования и сравнивая затем выражения (5.160) и (5.161), получаем

В этой формуле, как и везде ранее, полагается единичный объем образца. Суммирование по n производится по всем подзонам Ландау, лежащим ниже уровня Ферми. Формула (5.162) справедлива, если

E > ω0/2 , а в интервале энергий 0 < E < ω0/2 плотность состояний равна нулю.

На рис. 31 приведен график плотности состояний электронов в магнитном поле (кривая б). По оси абсцисс отложена энергия E в единицах ω0/2 , а по оси ординат – величина

На кривой а для сравнения приведен график плотности состояний электронов в отсутствие магнитного поля.

можно определить оператор канонического преобразования U , оставляющий инвариантными гамильтониан и статистический оператор ρ0 ,

где ϕ – произвольный вектор.

Рассмотрим снова квантово-статистическое среднее от произвольного набора операторов рождения (уничтожения) частиц. Повторяя проведенные выше выкладки (5.165) с оператором канонического преобразования, определенным формулой (5.166), получаем условие

Это условие имеет простой физический смысл: если в системе сохраняется полный импульс частиц, то суммарный квазиимпульс рожденных частиц должен быть равен суммарному квазиимпульсу частиц уничтоженных. Аналогичные правила отбора можно получить и при наличии других законов сохранения (например момента количества движения, спина и т. д.).

Роль вырождения энергетических уровней в статистической физике

Из квантовой механики хорошо известно, что при наличии вырождения энергетических уровней приемы вычисления средних для операторов динамических величин существенно усложняются. Казалось бы, в статистической механике вырожденные и невырожденные состояния рассматриваются совершенно одинаково. Однако в действительности это совсем не так. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим проблему вычисления продольной компоненты тензора статической магнитной восприимчивости χzz . Используя результаты теории линейного отклика

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций 325

(5.80), выражение для продольной статической восприимчивости электронного газа запишем следующим образом:

Если гамильтониан H0 , который входит в определение равновесного статистического оператора ρ0 , не зависит от поперечных компонент спина S+ , S− , то статистический оператор коммутирует с оператором Sz и мы получаем неразумный результат: χzz = 0 . Казалось бы, этот результат непосредственно следует из условия сохранения z - компоненты полного спина. В действительности мы имеем здесь дело со случаем вырождения энергетических уровней в квантовой статистической механике и средние от операторов динамических величин должны заменяться квазисредними. К в а з и с р е д н и е определяются следующим образом:

1)производится замена гамильтониана H0 на гамильтониан H0 + uH , где добавка выбирается таким образом, чтобы снять вырождение;

2)вычисляются интересующие нас квантово-статистические средние;

3)после выполнения термодинамического предельного перехода выполняется предельный переход u → 0 .

Таким образом, правильно вычисленным значением среднего для произвольного динамического оператора A является предел

Вернемся теперь к анализу проблемы вычисления продольной магнитной восприимчивости с позиций квазисредних. Будем полагать, что в гамильтониан введена бесконечно малая поправка, которая снимает вырождение относительно поворотов вокруг оси Z в пространстве спинов. В этом случае уже

нельзя считать априори, что [ ρ0, Sz ] = 0 . Поэтому для преобразования этого коммутатора воспользуемся формулой Кубо (5.81) и запишем его в следующем виде:

Выполняя в этом выражении интегрирование по частям по переменной t1 , получаем

0−∞

Используя теорему Абеля

для преобразования второго слагаемого в последней формуле, окончательно получаем

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций 327

полученный результат запишем более компактно:

Для газа невзаимодействующих электронов H0 = −gμБSz H , поэтому Sz (i βτ ) = Sz . Тогда полученный результат допускает дальнейшее упрощение, и мы получаем формулу, совпадающую с классическим определением магнитной восприимчивости

где Sz = Sz − < Sz > .

Свойства симметрии корреляционных функций при операциях пространственного вращения, комплексного сопряжения и обращения времени

Свойства симметрии корреляционных функций при операциях пространственного вращения, комплексного сопряжения и обращения времени рассмотрим на примере корреляционной функции, определяющей компоненты электропроводности в квантующем магнитном поле:

Рассмотрим вначале свойства симметрии корреляционной функции Iμν (t) при операциях пространственного вращения системы координат. Если гамильтониан системы инвариантен относительно вращения вокруг выделенной оси, то корреляционная функция Iμν (t) при таких преобразованиях координат преобразуется как произведение компонент импульса PμPν .

В частности, если магнитное поле H = 0 , для кристаллов кубической симметрии получаем

Таким образом, в этом случае все диагональные компоненты равны между собой, а недиагональные обращаются в нуль.

Во внешнем магнитном поле применение этого же принципа приводит к такому результату:

а все остальные недиагональные компоненты равны нулю. Несколько слов следует сказать относительно компоненты Izz (t) в квантующем магнитном поле. Поскольку в этом случае движение вдоль оси Z остается квазисвободным, для вычисления продольной составляющей тензора электропроводности следует использовать методику, развитую в § 3 настоящей главы.

Найдем соотношения, которым удовлетворяет корреляционная функция Iμν (t) при операции комплексного сопряжения. Если корреляционная функция по своему смыслу является действительной величиной, то при операции комплексного сопряжения могут получиться дополнительные соотношения, которым должна удовлетворять корреляционная функция.

Рассмотрим вначале применение операции комплексного сопряжения к шпуру двух операторов

nm

В формуле (5.179) B+ означает эрмитово-сопряженный оператор.

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций 329

Применяя найденное соотношение для корреляционной функции Iμν (t) , получаем

При выводе этого соотношения мы учли, что статистический оператор ρ0 является самосопряженным оператором и ρ+0 = ρ0 . Оператор тока также является самосопряженным оператором и поэтому он удовлетворяет соотношению

Jα(t + i λ)+ = Jα(t − i λ).

Выполняя в последнем интеграле формулы (5.180) замену переменных интегрирования λ − β = λ , получаем

Таким образом, мы показали, что корреляционная функция Iμν (t) является действительной величиной.

Рассмотрим свойства симметрии корреляционных функций относительно операции обращения времени.

Симметрия движения по отношению к изменению знака времени проявляется в квантовой механике в том, что если функция ψ есть волновая функция некоторого стационарного состояния, то обращенная во времени волновая функция, которую мы обозначим как ψ− , описывает также некоторое возможное состояние с той же энергией.

Рассмотрим уравнение Шредингера

Если гамильтониан инвариантен относительно операции обращения времени, то, обращая время, получаем другое уравнение

которое очень походит на уравнение, комплексно сопряженное уравнению (5.182),

Сравнивая уравнения (5.183) и (5.184), попробуем определить оператор, который бы играл роль оператора обращения времени. Пусть имеется некоторый унитарный оператор O , удовлетворяющий условиям

OH = HO, O−1O = 1, O−1 = O+.

Подействуем этим оператором на уравнение (5.184)

Сравнивая это уравнение с уравнением (5.183), находим, что

Oψ ≡ Kψ = ψ−.

Величину K = OK0 , где K0 – оператор комплексного сопряжения, можно назвать оператором обращения времени.

Явный вид оператора O зависит от конкретного выбора гамильтониана. Если оператор Гамильтона имеет вид

то оператор O можно выбрать в виде

O = iσy OA,

где оператор OA изменяет знак векторного потенциала и направление магнитного поля на противоположное.

Легко проверить, что для оператора O = iσy OA выполняется свойство OH = HO для гамильтониана (5.186). Для первого и третьего слагаемого гамильтониана (5.186) выполнение свойства OH = HO очевидно. Для того чтобы убедиться в