Учебники / Физика конденсированных сред

§ 14. Теорема Боголюбова и об 1/k2 – расходимости 421

если контур интегрирования выбран так, что полюс резольвенты обходится по участку окружности с центром в точке ω , лежащей на действительной оси – так, как показано на рис. 34.

Im z

Рис. 34. Контур обхода полюса резольвенты в уравнении (6.207)

Пусть радиус окружности, по которой обходится полюс, будет ρ . Тогда интеграл по контуру можно записать в виде суммы трех интегралов

из которого, разделяя действительную и мнимую части, легко получить соотношения Крамерса – Кронига:

В формулах (6.209)– (6.211) символ P используется для обозначения главного значения интеграла.

Соотношения Крамерса – Кронига позволяют сформулировать правило сумм для компонент тензора обобщенной восприимчивости. Полагая ω = 0 и учитывая, что

Re χBA (k, 0) = χBA (k),

получаем

Таким образом, статическая обобщенная восприимчивость может быть найдена в результате интегрирования мнимой части восприимчивости по всему частотному интервалу.

Покажем теперь, что обобщенная статическая восприимчи-

вость χBA (k) определяется «скалярным»произведением Кубо (Мори) двух операторов A и B , определенным ранее (5.82), (6.89):

0

(6.213) Для доказательства будем исходить из формулы линейного отклика (5.35), положив в ней ω = 0 и выполнив ряд тождественных преобразований (см. также формулы (5.43), (5.80), (6.118)):

Воспользуемся тождеством Кубо (5.81)

426 Глава 6. Метод НСО

Соотношение (6.220) можно рассматривать как вариант записи правила сумм для компонент тензора магнитной восприимчивости. Здесь αβγ – единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Таким образом, первый сомножитель в правой части неравенства (6.219) не содержит зависимости от k и пропорционален квадрату равновесной намагниченности M0 .

Преобразуем теперь второй сомножитель правой части неравенства (6.219). Во временном представлении компоненты вектора полной намагниченности удовлетворяют уравнению нераз-

Наконец, выполняя предельный переход k → 0 в неравенстве (6.219) с учетом правило сумм (6.212), получаем искомый результат

В этой формуле константа определяется корреляционной функцией токов намагниченности.

На этом мы закончим краткое знакомство с доказательством теоремы об 1/k2 - сингулярности. Осталось подчеркнуть, что использование концепции нарушенной симметрии при выводе формулы (6.222) состоит в том, что компоненты статической восприимчивости χMy Mx и χMxMx ведут себя по-разному в пре-

деле k → 0 : первая остается конечной, а вторая расходится как

1/k2 .

§ 14. Теорема Боголюбова и об 1/k2 – расходимости 427

Обобщая полученные результаты, можно утверждать, что есть два механизма возникновения гидродинамических мод. Первый из них связан с наличием сохраняющихся физических величин (квазиинтегралов движения). Примером может служить рассмотренное выше явление спиновой диффузии. Второй механизм связан со спонтанным нарушением симметрии в основном состоянии. В этом случае также возникают длинноволновые гидродинамические моды, долгоживущие при k → 0 , но природа их возникновения несколько иная.

Если исходная группа симметрии является непрерывной (например инвариантность относительно трансляций или поворотов), то в результате фазового перехода, спонтанно нарушающего исходную симметрию, может возникнуть ветвь возбуждений, для которой характерно обращение энергии возбуждения в нуль в длинноволновом пределе. На это явление впервые обратил внимание Голдстоун, и высказанное им утверждение часто называют теоремой Голдстоуна. Согласно этой теореме, в релятивистской системе с нарушенной симметрией и соответствующим вырожденным вакуумным состоянием должны существовать частицы с нулевой массой.

Если искусственно перенести эту теорему на случай нерелятивистских систем, то ее формулировка звучала бы так: в системе с нарушенной симметрией должна существовать ветвь элементарных возбуждений без энергетической щели. Впоследствии выяснилось, что в такой формулировке теорема неубедительна и имеются некоторые контрпримеры. Поэтому в работе Р. Ланге «Нерелятивистский аналог теоремы Голдстоуна»(перевод этой работы см. в сборнике [50]) сформулированы некоторые ограничения на характер взаимодействия между частицами в такой системе. В частности, оказалось, что дальнодействующее кулоновское взаимодействие может препятствовать возникновению гидродинамических мод.

Примерами голдстоуновских мод в твердых телах могут служить магноны в ферромагнитных (антиферромагнитных) материалах (сферическая симметрия исходного гамильтониана нарушается спонтанной ориентацией магнитного момента),

три ветви акустических фононов (инвариантность относительно бесконечно малых трансляций атомов по трем взаимно перпендикулярным направлениям нарушена в результате их упорядочения в кристаллическую решетку), сверхтекучий гелий (нарушенной в данном случае является калибровочная инвариантность [44]).

Теорема Голдстоуна содержит лишь общее утверждение, что при нарушении непрерывной симметрии можно ожидать появления длинноволновой ветви, не содержащей щели в спектре при k → 0 . Она не исключает, что такие моды могут появиться и по другим причинам. Поскольку в длинноволновом пределе, когда длина волны становится очень большой, применимо гидродинамическое описание возбуждений, то моды Голдстоуна есть не что иное, как гидродинамические моды. Как указывалось выше, гидродинамическое поведение основано на существовании сохраняющихся величин. Наличие голдстоуновских мод также можно связать с сохраняющимися величинами, в качестве которых выступают генераторы преобразования той симметрии, которая нарушается при фазовом переходе. Например, в случае магнонов генератором преобразований может служить оператор вращений спиновых моментов в координатном пространстве на бесконечно малый угол. Поскольку гамильтониан системы в модели Гейзенберга инвариантен относительно бесконечно малых вращений в координатном пространстве, этот оператор является сохраняющейся величиной.

Более полная информация по вопросам, затронутым в § 13, 14, содержится в работе Д. Форстера [44].

Глава 7

ОТКЛИК СИЛЬНОНЕРАВНОВЕСНОЙ СИСТЕМЫ НА СЛАБОЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЕ ПОЛЕ

§1. Постановка задачи. Граничное условие для НСО

Внастоящее время хорошо разработана теория линейной реакции равновесной системы на внешнее возмущение механического типа (см. главу 5). Эта теория успешно применяется для решения задач физической кинетики в системах, состояние которых слабо возмущается внешним воздействием. При таком подходе кинетические коэффициенты выражаются через равновесные корреляционные функции, для вычисления которых могут быть использованы современные методы статистической механики (см. главы 5 и 6).

Ситуация радикальным образом меняется, если нужно найти отклик системы, которая уже является неравновесной, на дополнительное слабое измерительное поле. До сих пор такие задачи решаются исключительно с использованием метода кинетических уравнений [27] (см. также главу 4), а методы неравновесной статистической механики практически не используются.

Внастоящей главе сформулирована теория линейного отклика неравновесной системы на слабое измерительное поле, имеющая правильный предельный переход к случаю слабонеравновесных систем и позволяющая выразить кинетические коэффициенты через корреляционные функции, которые вычисляются с использованием неравновесного распределения. В качестве примера приведен расчет коэффициента электропроводности сильнонеравновесной системы электронов и показано

430 Глава 7. Отклик сильнонеравновесной системы

совпадение этих результатов с известными результатами вычисления кинетических коэффициентов для неравновесных систем, полученных на основе кинетического уравнения в главе 4.

Будем считать, что до включения измерительного поля система уже находилась в неравновесном состоянии, которое описывалось НСО ρ0(t, 0) . В отличие от метода построения НСО в предыдущей главе, в этом параграфе мы познакомим читателя с альтернативной формой записи НСО, предложенной Д. Н. Зубаревым [36]:

0

P +F (t) = dt1 exp{ t1} exp{iLt1}P +F (t + t1). (7.1)

−∞

Использованные при записи формулы (7.1) обозначения совпадают с обозначениями, принятыми в главе 6 . По-прежнему оператор P + обозначает вектор-столбец базисных операторов, а F (t)−вектор-строку сопряженных им термодинамических сил.

В методике построения НСО, которая рассматривалась в предыдущей главе, операции временного сглаживания подвергался квазиравновесный статистический оператор ρq (t, 0) = = exp{−S(t, 0)}, а в альтернативном подходе (7.1) НСО строится как каноническое распределение квазиинтегралов движения и, таким образом, сглаживанию подвергается оператор энтропии. В работах В. П. Калашникова и Д. Н. Зубарева показано, что два этих метода построения неравновесного статистического распределения полностью эквивалентны [43].

Возможность записи НСО в форме (7.1) легко аргументировать, если переформулировать схему построения НСО, изложенную в предыдущей главе.

Действительно, как было показано, важную роль в построении НСО играет граничное условие, которому должен удовлетворять статистический оператор в момент включения внешних воздействий (этот момент отнесен в −∞). В данном случае роль граничного условия сводится к тому, что с помощью него отбирается определенный тип решения уравнения Лиувилля, в котором временная зависимость физических величин будет