Учебники / Физика конденсированных сред

Соотношение (3.67) есть частный случай проявления принципа д е т а л ь н о г о р а в н о в е с и я , который в данном случае сводится просто к тому, что механические (квантовомеханические) вероятности переходов между состояниями в прямом и обратном направлении равны.

§ 9. Вывод уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова

Запишем первые два уравнения цепочки Боголюбова для функций распределения F1 и F2 в линейном приближении по параметру r03/v . Раскрывая скобку Пуассона в (3.29), (3.23), получаем

Поскольку интегральный член в правой части (3.68) уже содержит первую степень малого параметра r03/v (потенциал взаимодействия отличен от нуля только внутри сферы радиусом r0 ), мы опустили интегральный член в правой части уравнения (3.69), содержащий первую степень малого параметра r03/v . Тогда уравнение для функции F2 превращается в уравнение Лиувилля для двухчастичной функции распределения.

Будем искать решение системы уравнений (3.68), (3.69), удовлетворяющее принципу пространственного ослабления корреляций, который в данном случае сводится к тому, что при достаточно большом удалении частиц друг от друга их корреляция ослабевает и парная корреляционная функция может быть записана в виде произведения одночастичных функций:

Выражение (3.70) можно рассматривать как граничное условие, накладываемое на функцию распределения, которое позволяет отобрать физически осмысленное решение.

Поскольку уравнение (3.66) представляет собой уравнение Лиувилля для двухчастичной функции распределения при полном пренебрежении столкновениями с другими частицами, то его решением будет функция, остающаяся постоянной при движении вдоль фазовой траектории:

F2(t, x(t, x0), x1(t, x0)) = F2(t − τ, x(t − τ, x0), x1(t − τ, x0)) =

В формуле (3.71) величины x, x1 используются для обозначения совокупности координаты и импульса частиц. Величина x0 обозначает координаты и импульсы совокупности двух частиц в начальный момент времени. Запись x(t, x0) означает, что координата и импульс частицы вычислены в результате решения механической задачи с начальным условием {x, x1} = x0 . При записи второй части равенства (3.71) использован оператор S−τ (x, x1) , который сдвигает частицы вдоль фазовой траектории на временной интервал −τ :

S−τ (x, x1) = e−iL2τ , iL2A = [A, H].

Здесь iL2 – оператор Лиувилля двух частиц.

Предположим теперь, что время τ столь велико, что частицы разводятся на расстояние, превышающее характерный радиус корреляции. В этом случае двухчастичная функция распределения распадется на произведение одночастичных функций распределения и, продолжив цепочку равенств (3.71), получаем

где Sτ (x), Sτ (x1) – одночастичные операторы эволюции. Выражение (3.72) определяет взаимосвязь одночастичной и

двухчастичной функций распределения, взятых в один и тот же момент времени. Это уравнение справедливо в приближении

газа малой плотности r03/v 1 для механических систем, в которых реализуется пространственное ослабление корреляций.

В дальнейшем будем рассматривать пространственно однородный случай. Тогда зависимость одночастичной функции F1 от координат может быть только параметрической, связанной с плавным изменение внешних условий (например наличием градиента температуры), а на расстояниях порядка длины свободного пробега эта функция от координат не зависит. Поэтому соотношение (3.72) можно еще упростить:

F2(t, x, x1) = S−τ (x, x1) Sτ (p) Sτ (p1) F1(t, p ) F1(t, p1). (3.73)

Это представление для двухчастичной функции распределения является формально точным, если система пространственно однородна и справедлив принцип ослабления корреляций.

Вернемся к анализу уравнения (3.69). Частная производная по времени в этом уравнении в рассматриваемом приближении может быть опущена. Действительно, явная зависимость от времени функции распределения может возникнуть только за счет внешних взаимодействий по отношению к выбранной системе из двух частиц. Такими взаимодействиями могут быть столкновения с другими частицами или взаимодействие с переменным внешним полем с характерной частотой ω . Будем считать, что выполняется условие

Вводимое ограничение не является очень жестким, поскольку τ 10−14 c и вплоть до частот оптического диапазона условие

ω1/τ хорошо выполняется.

Вэтом случае частная производная ∂F2/∂t порядка интеграла столкновений и, следовательно, порядка r03/v . Поскольку мы строим кинетическое уравнение в первом приближении по

этому параметру, а правая часть (3.68) его уже содержит, то в уравнении (3.69) для функции F2 линейные по r03/v члены можно опустить. По существу, отбрасывание частной производной в уравнении (3.69) эквивалентно предположению, что столкновение двух частиц происходит в стационарных условиях.

Легко заметить, что полученное выражение для интеграла столкновений полностью совпадает с интегралом столкновений в уравнении Больцмана (3.59).

§ 10. Уравнение Фоккера – Планка

Значительную часть кинетических явлений составляют процессы, в которых изменение параметров функции распределения в каждом элементарном акте рассеяния малы по сравнению с их характерными значениями. Типичным примером такой задачи является релаксация импульса тяжелой частицы в газе легких частиц. Концентрация тяжелых частиц предполагается малой, и поэтому столкновениями тяжелых частиц между собой можно пренебречь. При столкновении тяжелой частицы с легкой импульс тяжелой частицы меняется незначительно как по абсолютной величине, так и по направлению. Обозначим импульс передачи в элементарном акте рассеяния буквой q , p q . Найдем уравнение, которому подчиняется одночастичная функция распределения f (t, p) (здесь и далее ради упрощения обозначений мы отказались от обозначения F1 для одночастичной функции распределения).

Введем обозначение w(p, q) dq для числа переходов за единицу времени тяжелых частиц из состояния c импульсом p в состояние с импульсом p − q . Тогда величина w(p + q, q) dq равна скорости переходов из состояния p + q в состояние с импульсом p . Как показано выше, интеграл столкновений в кинетическом уравнении может быть записан в виде разности двух членов, один из которых описывает скорость перехода частиц в состояние с импульсом p , а другой – скорость ухода частиц из этого состояния. Применяя этот принцип, сконструируем интеграл столкновений для тяжелой частицы в легком газе [21]:

Согласно сделанным предположениям, величина w(p, q) быстро убывает с ростом q (импульс передачи мал). Поэтому величина q мала по сравнению с импульсом частиц p . Это обстоятельство позволяет произвести разложение в интеграле столкновений (3.79)

Основной отличительной особенностью кинетического уравнения Фоккера – Планка является то, что при его записи удается выразить интеграл столкновений через усредненные характеристики индивидуального акта рассеяния. Уравнения (3.81) и (3.82) подтверждают сказанное. Интеграл столкновений содержит лишь усредненные характеристики процесса рассеяния, которые выражаются через константы Aα и Bαβ . Как будет показано ниже, во многих практически важных случаях это число констант можно сократить всего лишь до одной константы.

Обратим внимание еще на одну особенность полученного интеграла столкновений. Правая часть (3.81) представляет собой дивергенцию вектора потока числа частиц sα в импульсном пространстве

sα = −Aα f (t, p) − ∂p∂β Bαβ f (t, p).

Аналогичные принципы были использованы и при построении уравнения Фоккера – Планка для описания движения броуновских частиц (см. формулы (2.29) – (2.33)), хотя там шла речь о потоке частиц не в импульсном, а в координатном пространстве.

Поскольку Aα и Bαβ – всего лишь некоторые константы, удобнее для целей дальнейшего изложения вместо константы Aα ввести новую константу Aα , определив ее соотношением

Aα = Aα + ∂p∂β Bαβ .

Выражение для потока sα при этом существенно упростится:

∂

sα = −Aα f (t, p) − Bαβ ∂pβ f (t, p).

Константы Aα и Bαβ в действительности не являются независимыми. Связь между ними легко установить, если рассмотреть равновесный случай. В условиях равновесия функция распределения известна: это функция распределения Максвелла – Больцмана. В дальнейшем чаще всего будем использовать нормировку функций распределения на полное число частиц в образце n (напомним, что ранее буквой n обозначалась концентрация частиц). Это расхождение в обозначениях не принципиально, поскольку для оценок всегда объем образца полагается равным единице:

а поток s0α в условиях равновесия должен обратиться в нуль. Отсюда, производя необходимые вычисления, получаем

Если вероятность перехода w(p, q) будет зависеть лишь от модуля вектора q , то, как следует из определения коэффициентов Bαβ (3.82), в силу условий симметрии Bαβ = B δαβ . В частности, такая ситуация реализуется, если можно пренебречь скоростью движения тяжелых частиц по сравнению со скоростью движения легких частиц и при анализе рассеяния считать, что скорость тяжелых частиц p/m 0 .

Задача 3.3

С помощью уравнения Фоккера – Планка определить подвижность μ тяжелой частицы в легком газе.

Решение

При наличии внешнего электрического поля, задаваемого векто-

электрическое поле является однородным и постоянным. В этих условиях функция распределения зависит только от импульсов и не зависит от координат и времени. Тогда, учитывая соотношение (3.59), для

Поскольку левая и правая части уравнения (3.84) содержат одинаковые производные ∂/∂pα , то с точностью до несущественной константы должно выполняться равенство

Будем искать решение уравнения (3.85) в линейном приближении по внешним силам, записав неравновесную функцию распределения в виде суммы равновесной функции f0 и малой поправки δf : f = f0 + δf . Поскольку в левой части уравнения (3.85) уже набран первый порядок по внешней силе, заменим здесь f на f0 . Подстановка равновесной функции распределения f0 в интеграл столкновения дает нулевой результат. Поэтому в линейном приближении по внешним силам получаем простое уравнение для определения поправки к функции распределения

Полученное уравнение является линейным неоднородным уравнением. Легко проверить, что общим решением однородного уравнения является равновесная функция распределения f0 . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

δ f = Cα pα f0,

где Cα – неизвестные пока коэффициенты. Подставляя пробное решение в уравнение (3.86), находим значения коэффициентов Cα и явный вид поправки к функции распределения δ f

Электропроводность σ и подвижность μ при одном сорте носителей тока определяются из феноменологических выражений

Полный ток можно выразить также через среднюю скорость

J

дрейфа носителей заряда в электрическом поле vдр :

J = e n vдр.

Сравнивая этот результат с формулой (3.87), получаем

μ = vEдр .

Таким образом, п о д в и ж н о с т ь численно равна средней дрейфовой скорости носителей заряда при напряженности электрического поля E , равной единице.

Полный электрический ток в образце определяется поправкой к функции распределения δ f . Подставляя ее значение в определение