Учебники / Физика конденсированных сред

только со случайными флуктуациями числа соударений молекул жидкости с частицей. Иначе говоря, величина и направление этой силы f (t) является случайной величиной, зависящей от времени.

Поскольку среда изотропна, а частица сферически-симмет- рична, достаточно рассмотреть одномерное движение вдоль оси X . Оставаясь в рамках классической механики, запишем уравнение движения

При записи уравнения (2.1) мы учли, что сила сопротивления ориентирована в направлении, противоположном направлению скорости. Это уравнение называется уравнением Ланжевена с источником случайных сил в правой части.

Легко получить формальное решение уравнения Ланжевена. С точки зрения теории дифференциальных уравнений, уравнение (2.1) представляет собой линейное неоднородное уравнение первого порядка относительно скорости vx = x˙ и его решением является суперпозиция общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Естественно, что формальное решение (2.2) пока не дает каких-либо новых результатов, поскольку функция f (t) неизвестна. Чтобы продвинуться вперед в решении проблемы движения броуновской частицы, следует изучить свойства функции f (t) .

Ланжевеновский источник – это случайная функция времени. Поэтому если выбрать достаточно большой временной интервал T , то среднее значение этой силы будет равно нулю:

1 T

f (t) = T 0 f (t1)dt1 = 0.

В этой задаче имеется по меньшей мере два временных масштаба. Один из них связан с временем взаимодействия отдельной молекулы с броуновской частицей. Это характерное время τ0 можно оценить как отношение радиуса действия межмолекулярных сил r0 10−8 см к тепловой скорости движения молекул vт 105 см/с :

Другое характерное время связано с релаксацией скорости броуновской частицы в жидкости. Из формулы (2.2) следует, что если нет случайных сил, то скорость частицы

vx(t) = vx(0) e−γ/m t

релаксирует с частотой релаксации 1/τ γ/m ; τ m/γ.

интересует броуновское движение частицы на временах, больших, нежели время τ , то необходимо произвести усреднение уравнений движения (2.1) на временном интервале порядка τ . Тогда очевидно, что отдельные акты соударений можно будет не учитывать.

Рассмотрим поведение случайной силы при таком усреднении. Очевидно, что среднее значение этой силы f (t) на временном интервале τ будет равно нулю. Однако равенство нулю среднего значения еще не дает полной характеристики случайной величины. Не менее важной характеристикой является корреляция ее значений в разные моменты. Для характеристики взаимосвязи значений случайной силы, взятых в разные моменты времени, будем использовать парную корреляционную функцию Kf (t1, t2) , которую определим следующим образом:

Поскольку в грубом временном масштабе τ величина временного интервала τ0 может считаться очень малой, то, упрощая формулу(2.4), можно принять, что случайные силы коррелируют только в том случае, если их аргументы совпадают:

Перейдем к Фурье-представлению Kf (ω) для корреляционной функции случайных сил:

н о й п л о т н о с т ь ю корреляционной функции случайных сил. Из формулы (2.6) следует, что Kf (ω) = C и не зависит от частоты. Случайный процесс, для которого спектральная плотность парной корреляционной функции не зависит от частоты, называется б е л ы м ш у м о м (название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения с равными интенсивностями).

Из формулы (2.6) следует, что константа C определяет спектральную интенсивность случайной силы. Выразим ее через средний квадрат флуктуаций скорости. Как уже указывалось, при t > τ среднее значение случайной силы равно нулю. Поэтому, усредняя уравнение (2.2) по временному интервалу t τ , получаем

Отсюда следует, что флуктуация скорости полностью определяется случайной силой:

Определим величину, которая будет иметь смысл среднего квадрата флуктуации скорости:

В этой формуле мы для упрощения записи использовали обозначение vx(t) ≡ vx(t) . Подставляя в формулу (2.8) выражение для флуктуации скорости (2.7), получаем

Учитывая, что, согласно формуле (2.5), Kf (t1−t2) = Cδ(t1− t2) , произведем интегрирование по временному аргументу t2 в выражении (2.9):

Выражение (2.10) определяет квадрат скорости хаотического движения броуновской частицы:

Этот факт можно использовать для определения константы C . Оценку величины спектральной интенсивности случайной силы C можно получить, если вспомнить теорему о равномерном распределении энергии хаотического движения по степеням свободы. На одну степень свободы должна приходиться энергия, равная kБT /2 , где kБ – постоянная Больцмана, T − абсолютная температура. Поэтому для времен t τ имеем

Отсюда получается простая оценка для величины C :

C = 2 kБT m ≡ 2 kБT γ.

τ

Теперь можно записать выражение для парной корреляционной функции случайных сил в окончательной форме:

Kf (t1 − t2) = 2 kБT γ δ(t1 − t2), Kf (ω) = 2 kБT γ. (2.11)

Выражение (2.11) известно в литературе как одна из возможных формулировок флуктуационно-диссипационной теоремы, связывающей флуктуации случайных сил в равновесном состоянии с параметрами, характеризующими необратимые процессы (параметр γ определяет частоту релаксации импульса броуновской частицы в жидкости).

Найденная выше величина (2.8) по своему смыслу является парной корреляционной функцией флуктуаций скоростей броуновской частицы, взятых в один момент времени: Dv (t) = = Kv (t, t) . Можно обобщить этот результат и определить корреляционную функцию флуктуаций компонент скорости, взятых в разные моменты времени:

Задача 2.1

Используя выражение (2.12), определить временное поведение парной корреляционной функции компонент скорости броуновской частицы.

Решение

Воспользуемся выражением (2.7) для флуктуации скорости броуновской частицы и подставим его в определение (2.12). В результате этой операции удается выразить корреляционную функцию компонент скорости через коррелятор случайных сил Kf (t1, t2) :

Воспользуемся флуктуационно-диссипационной теоремой (2.11),

согласно которой f (t) f (t ) = Kf (t−t ) = 2 kБT γ δ(t−t ) . Подставляя этот результат в выражение (2.13) и интегрируя по t , получаем

Учитывая, что средний квадрат тепловой скорости броуновской частицы v2 = kБT /m , а обратное время релаксации скорости 1/τ = = γ/m , выражение (2.14) можно существенно упростить:

Легко видеть, что если t1 = t2 = t , то мы возвращаемся к результату (2.10).

§ 2. Смещение броуновской частицы

Смещение броуновской частицы легко определить, интегрируя выражение для скорости (2.2):

Найдем среднее смещение броуновской частицы из начального положения к моменту времени t . Выполняя усреднение в левой и правой частях равенства (2.16) с учетом того, что

среднее значение случайной силы f (t2) = 0 , находим

Из формулы (2.17) следует, что при t τ x(t) = x(0) + vx(0) t . Это означает, что смещение броуновской частицы при t τ все еще происходит по законам классической динамики.

Найдем дисперсию смещения броуновской частицы Dx(t) = = (x(t) − x(t))2 . Для этих целей предварительно упростим двойной интеграл в правой части формулы (2.16), изменив порядок интегрирования по переменным t1 и t2 . В итоге с учетом (2.17) получаем

Интеграл по переменной t1 в правой части формулы (2.18) легко вычисляется. В результате получаем простую формулу для флуктуации смещения

Подставляя последний результат в формулу дисперсии смещения броуновской частицы, получаем

Учитывая δ -образный характер источника случайных сил

Kf (t1 − t2) δ(t1 − t2),

можно выполнить интегрирование по переменным t1 и t2 . В итоге получаем легко интерпретируемую формулу для дисперсии смещения броуновской частицы:

Из полученного выражения следует, что в пределе малых времен t/τ 1 с точностью до квадратичных членов по малому параметру Dx = 0 . При t τ из формулы (2.21) следует линейный рост дисперсии как функции времени

Dx(t) = 2kБT τ (t − 3 τ ). m 2

Экспериментально значительно проще проверить формулу для дисперсии смещения броуновской частицы, вычисленной относительно начальной координаты броуновской частицы x0 ,

а не среднего смещения x(t) . Поэтому следует преобразовать дисперсию (2.21) к формуле дисперсии, где отклонение исчисляется от начальной координаты x0 . Формулу такого пересчета легко получить самостоятельно:

(x(t) − x0)2 = (x(t) − x(t) )2 + (x(t) − x0)2.

Учитывая, что x(t) − x0 может быть найдено из выражения (2.17), получаем формулу Ланжевена для дисперсии смещения броуновской частицы

2

(x(t) − x0)2 = (x(t) − x(t) )2 + (v0τ )2 1 − e−t/τ . (2.22)

Рассмотрим поведение дисперсии смещения на временах, много меньших и много больших характерного времени релаксации импульса броуновской частицы τ . В пределе малых t τ Dx(t) = 0 с точностью до квадратичных членов по параметру t/τ . Поэтому, раскладывая второе слагаемое в правой части формулы (2.22) по малому параметру t/τ , имеем

В пределе t/τ 1 вторым слагаемым в правой части (2.22) можно пренебречь, и мы получаем формулу Эйнштейна для дисперсии смещения броуновской частицы относительно начального положения: