Учебники / Физика конденсированных сред

Учитывая этот результат, на основании уравнения (3.23) запишем уравнение для одночастичной функции распределения

F1(t, p, r)

Уравнение (3.29) все еще является точным динамическим уравнением. Его левая часть представляет собой скорость изменения одночастичной функции распределения за счет ее явной зависимости от времени и перемещения частиц в координатном и импульсном пространствах. Иначе говоря, в левой части (3.29) записана полная производная функции F1 по времени. В отличие от N -частичной функции распределения эта производная не равна нулю, а равна изменению функции распределения за счет парных столкновений с другими частицами. По этой причине правую часть уравнения (3.29) часто называют и н - т е г р а л о м с т о л к н о в е н и й . С учетом сказанного запишем уравнение для одночастичной функции распределения, заменяя правую часть интегралом столкновений

Различные способы построения замкнутых кинетических уравнений различаются по существу только тем, как конструируется интеграл столкновений. Мы предполагаем рассмотреть в дальнейшем несколько таких способов, а начнем с простейшего

– приближения времени релаксации.

П р и б л и ж е н и е в р е м е н и р е л а к с а ц и и исходит из простого предположения, что в отсутствие внешних сил пространственно однородная система будет релаксировать к равновесию с некоторым характерным временем τ . Иначе говоря, уравнение

должно описывать релаксацию неравновесного распределения F1(t) к равновесной функции распределения системы f0 . Легко видеть, что всем этим условиям удовлетворяет интеграл столкновений, записанный в форме

∂F1

∂t ст

Решение уравнения (3.31) в этом случае будет иметь вид

F1(t) − f0 = C(0)e−t/τ ,

где константа C(0) определяется из начальных условий для функции F1 .

В итоге кинетическое уравнение в приближении времени релаксации может быть записано в следующей форме:

Следует отметить, что каких-либо серьезных аргументов для того, чтобы считать процесс релаксации экспоненциальным, не существует. Тем не менее этот подход, в силу своей простоты, широко используется, особенно при качественной интерпретации результатов эксперимента. Использование понятия времени релаксации зачастую дает неплохие результаты при анализе кинетических явлений в металлах и полупроводниках. Величина τ при этом играет роль подгоночного параметра. В некоторых случаях для времени релаксации τ удается построить замкнутые выражения из первых принципов и тем самым обосновать использование приближения времени релаксации. Подробнее эти вопросы будут рассмотрены в главе 4.

§ 6. Кинетическое уравнение Власова для бесстолкновительной плазмы

Для получения из цепочки уравнений Боголюбова (3.29) замкнутого уравнения для одночастичной функции распределения нужно двухчастичную функцию распределения представить в виде некоторого функционала, зависящего только от одночастичных функций распределения. Ясно, что без привлечения каких-либо дополнительных физических идей относительно свойств потенциала взаимодействия или относительно характера поведения функции F2 дальнейшее продвижение вперед невозможно. Поэтому будут рассмотрены два противоположных случая R03 n 1 и R03 n 1 , где R0 – характерный радиус взаимодействия микрочастиц, n – число частиц в единице объема. Первый случай соответствует случаю газа малой плотности, когда характерный радиус сил взаимодействия частиц много меньше среднего расстояния между частицами. Рассмотрение этого случая мы пока отложим.

Второй случай реализуется в ионизованной плазме, где величина R0 имеет смысл радиуса дебаевского экранирования заряженных частиц.

Рассмотрим систему частиц с кулоновским потенциалом вза-

имодействия

Φ(|r − r |) = ± e2 . |r − r |

Система в целом считается электрически нейтральной. Особенностью кулоновского взаимодействия является то, что потенциал взаимодействия слишком слабо спадает с расстоянием между частицами. Поэтому приходится учитывать взаимодействие пробной частицы со всеми остальными частицами системы. Более того, эффект парного взаимодействия пробной частицы с любой другой частицей системы оказывается много меньше эффекта ее взаимодействия с эффективным полем, создаваемым совокупностью оставшихся N − 2 частиц. Таким образом, мы приходим к выводу, что в случае кулоновского потенциала взаимодействия более важным является учет взаимодействия пробной частицы с усредненным полем других частиц, нежели учет парных взаимодействий. Отсюда следует справедливость важного упрощения.

Очевидно, что двухчастичную функцию распределения можно всегда записать в виде

F2(t, p, r, p , r ) = F1(t, p, r) F1(t, p , r ) + G2(t, p, r, p , r ),

(3.33) где функция G2(t, p, r, p , r ) учитывает парные корреляции. Поскольку, как отмечено выше, учет парных корреляций оказывается менее важен, нежели влияние эффективного поля, парной корреляционной функцией G2 в (3.33) можно пренебречь. Это упрощение сразу позволяет оборвать цепочку уравнений Боголюбова и получить замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения.

В реальных системах, например электронной плазме, кулоновский потенциал экранируется подвижными электронами и предложенный выше способ рассуждений справедлив лишь на расстояниях r rд , где обратный радиус дебаевского экранирования q0 определяется выражением

С другой стороны, чтобы концепция среднего поля имела право на жизнь, необходимо, чтобы внутри сферы Дебая было достаточно много частиц: n rд3 1 . Подставляя сюда оценку радиуса дебаевского экранирования, получаем условие kБT 4πe2n1/3 . Поскольку n1/3 1/a0 , где a0 – величина порядка среднего расстояния между частицами, записанное выше условие легко интерпретируется: кинетическая энергия движения частиц должна быть много больше энергии кулоновского взаимодействия между ближайшими частицами

4πe2 kБT a0 .

Итак, пренебрегая парными корреляциями, запишем двухчастичную функцию распределения в виде произведения одночастичных

и подставим это выражение в правую часть формулы (3.29):

Еще одно слагаемое, возникающее при раскрытии скобок Пуассона, в котором производные вычисляются по r и p , обращается в нуль в силу тождества (3.20).

Правую часть формулы (3.35) можно представить в форме

Подставляя этот результат в уравнение для одночастичной функции распределения (3.29), получаем замкнутое уравнение

При записи этого уравнения мы предположили, что внешняя

них сил. Уравнение (3.36) и есть уравнение Власова, полученное им в 1938 г. Отметим несколько основных особенностей этого уравнения.

Во-первых, интегродифференциальное уравнение Власова обратимо во времени. Обратимость во времени является естественным следствием отказа от учета взаимодействия между частицами.

Во-вторых, однокомпонентная плазма реально существовать не может. Поэтому к уравнению для функции распределения электронов следует добавить уравнение для функции распределения ионов. Исключение составляет модельный случай, когда плотность распределения ионов однородна и постоянна.

В-третьих, движение заряженных частиц приводит к возникновениюпеременного электромагнитного поля. Поэтому уравнение Власова еще необходимо дополнить уравнениями Максвелла для компонент электрического и магнитного полей. Таким образом, уравнения (3.36) в действительности следует рассматривать как некую программу, реализация которой требует серьезных усилий. Рассмотрим интересную и практически важную задачу, для решения которой можно использовать линеаризованное уравнение Власова.

Задача 3.2

Используя линеаризованное кинетическое уравнение Власова, определить спектр продольных колебаний электронной плазмы, предполагая, что положительно заряженные ионы неподвижны и имеют однородное распределение.

Решение

В условиях сформулированной задачи можно ограничиться только рассмотрением движения электронов. Представим одночастичную функцию распределения F1 в виде суммы равновесной функции распределения f0(v) и неравновесной добавки f (t, v, r) :

F1(t, v, r) = f0(v) + f (t, v, r).

Электронный газ будем считать невырожденным. В этом случае равновесное распределение f0 является распределением Максвелла

– Больцмана

В этой формуле m – масса электронов, v – их скорость. Распределение (3.37) нормировано на единицу:

При таком выборе нормировки функции распределения интегрирова-

ние в формуле для самосогласованного потенциала должно про-

U

изводиться по v , а не по p .

Если неравновесность является слабой и f (t, v, r)/f0(v) 1 , то уравнение (3.36) можно линеаризовать. Действительно, проанализируем силы, действующие на электрон. Согласно (3.36), на электрон

действует внешняя сила взаимодействия с положительно заряженным фоном − U (r ) , и сила, определяемая градиентом самосогласованного поля − U (t, r ) . В условиях равновесия эти силы должны компенсировать друг друга. Поэтому результирующая сила, действующая на электрон, будет определяться только неравновесной добавкой f (t, v, r) :

Магнитное поле, которое возникает при движении заряженных частиц, в данном случае вклада не дает, поскольку слагаемое

[v H] pf0 = 0

в силу коллинеарности векторов v и pf0 .

Используя (3.38), легко получить уравнение, которому удовлетво-

ряет вектор напряженности результирующего электрического

E (r, t)

поля. Найдем дивергенцию левой и правой частей (3.38). Учитывая, что

получаем из (3.38) одно из хорошо известных уравнений Максвелла

Здесь – оператор Лапласа.

Используя определение (3.38), запишем линеаризованное уравне-

Линеаризация в данном случае состоит в том, что в уравнении (3.40) удержаны лишь линейные члены по малой добавке f (t, v, r) . По-

скольку в последнем слагаемом (3.40) электрическое поле ли-

E(t, r)

нейно по этой добавке, градиент pF1 можно заменить pf0 – величиной, вычисленной по равновесному распределению.

Система уравнений (3.39), (3.40) позволяет решить задачу об определении спектра продольных колебаний электронной плазмы.

Как указывалось выше, уравнение Власова обратимо во времени. Эта обратимость приводит к вырождению решений относительно операции обращения времени. Вырождение можно снять, добавив бесконечно малый источник в правую часть уравнения (3.40), который подобен интегралу столкновений (3.32) при записи кинетического уравнения в приближении времени релаксации:

∂F1

∂t ст

= ε f (t, v, r).

В этой формуле ε – малая величина, которая после выполнения термодинамического предела N → ∞, V → ∞, N/V = n = const должна быть устремлена к нулю. Для дальнейших вычислений будем использовать «исправленное» уравнение Власова

дающее решения запаздывающего типа.

Поскольку нас интересуют продольные колебания, то вместо фурьетрансформы уравнений (3.39), (3.41) можно просто искать решение в форме

i(kx−ωt) i(kx−ωt)

f (t, v, r) = fk,ω (v) e , E(t, r) = E(k, ω) e .

Подставляя эти выражения в формулы (3.39), (3.41), получаем уравнения для фурье-компонент fk,ω (v) и E(k, ω)

и подставим это значение в правую часть второго из уравнений (3.42). В результате получаем уравнение для определения фурье-компонент поля

При выполнении интегрирования по vx было использовано тожде-

ство δ(ω − kvx) = 1/k δ(ω/k − vx) .

К сожалению, вычислить интеграл по формуле (3.47) точно не удается. Поэтому рассмотрим лишь длинноволновое приближение kvx/ω 1 и разложим дробь в подынтегральном выражении по этому малому параметру, удерживая лишь несколько первых членов

Учитывая, что нечетные моменты распределения Максвелла – Больцмана равны нулю, а второй и четвертый моменты легко вычисляются: vx2 = kБT /m , vx4 = 3(KБT /m)2 , где

получаем приближенное выражение для правой части (3.47)

Вернемся теперь к анализу дисперсионного соотношения (3.46). Отбрасывая пока мнимую часть, получим дисперсионное соотношения в длинноволновом приближении без учета затухания. Для этого подставим (3.49) в (3.46):

Отсюда в нулевом приближении по малому параметру

k2 kБT

ω2 m