Учебники / Физика конденсированных сред

получаем ω = ω0 . Подставляя этот результат в правую часть (3.50) и извлекая квадратный корень из левой и правой частей, в первом приближении по k2 получаем

Затухание плазменных колебаний будем искать в нулевом приближении по параметру kvx/ω , полагая, что ω = Ω + iγ , где Ω

– действительная часть плазменной частоты ω , а γ – ее мнимая часть. Чтобы найти связь между γ и Im I , вернемся к дисперсионному уравнению (3.46), записав его в виде

ω2

1 − 0 = 0. (Ω + iγ)2

Считая, что затухание мало и γ/Ω 1 , разложим знаменатель в последнем выражении с точностью до линейных членов по γ/Ω :

Сравнивая это выражение с (3.46) в нулевом порядке по k ( Ω = ω0 ), для константы затухания получаем следующее выражение:

Затухание продольных плазменных волн, определяемое выражением (3.52), было найдено Л. Д. Ландау в 1946 г. Следует обратить внимание на то, что это затухание получено без учета столкновений электронов с рассеивателями. Электрическое поле в данном случае играет роль квазиупругой силы. Затухание определяется лишь той частью электронов, для которых скорость вдоль оси X совпадает с фазовой скоростью волны, равной ω/k . Эти электроны наиболее эффективно периодически разгоняются, а затем замедляются электрическим полем. После ускорения в электрическом поле число электронов, для которых выполняется условие vx = ω/k , больше, нежели после замедления. Поэтому тормозящее действие электрического поля эффективнее, нежели ускоряющее, и электроны этой группы за цикл колебаний в среднем теряют часть своей энергии. Следует

отметить, что, кроме затухания Ландау, существуют и другие механизмы, приводящие к затуханию плазменных колебаний без учета столкновений: например излучение электромагнитной энергии ускоренно движущимися электронами.

§ 7. Уравнение Больцмана для газа малой плотности

Одним из основных результатов кинетической теории является кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения, полученное Л. Больцманом в 1872 г. Рассмотрим два различных подхода, позволяющих получить это уравнение: качественный, которому следовал Л. Больцман, и вывод из первых принципов с использованием цепочки зацепляющихся уравнений движения для функций распределения Н. Н. Боголюбова. Прежде чем переходить к непосредственному выводу кинетического уравнения, следует проанализировать условия применимости развиваемого подхода.

Во-первых, рассмотрение будет ограничено парными столкновениями, поскольку задача рассеяния двух тел имеет аналитическое решение, а задачи рассеяния трех и более тел имеют только численное решение и не могут быть представлены в аналитической форме. По этой же причине ограничим свое рассмотрение пространственно однородными системами. На самом деле требование пространственной однородности не является сильно лимитирующим ограничением. Функция распределения не должна существенно изменяться на расстояниях r λ (порядка длины свободного пробега частиц). Функция распределения, тем не менее, может зависеть от координат как от параметра. Для большинства физических приложений этого оказывается достаточно.

Во-вторых, будем рассматривать систему частиц с потенциалом взаимодействия типа отталкивания. В этом случае при рассеянии не могут возникнуть связанные состояния.

В-третьих, будем считать, что радиус сил взаимодействия r0 много меньше среднего расстояния между частицами a0 = v1/3 , где v – это объем, приходящийся на одну частицу. Параметр r03/v будет считаться малым по сравнению с другими пространственными масштабами системы.

Существование двух различных пространственных масштабов приводит и к появлению двух различных временных масштабов. Если считать, что система состоит из частиц одного сорта, имеющих среднюю скорость v , то можно ввести характерное время взаимодействия частиц τ0 = r0/v и характерное время свободного пробега τ = λ/v , где λ – длина свободного пробега. Очевидно, что выполняется условие τ0 τ .

Действительно, численные оценки для газа при нормальных условиях дают: N/V 3 1019 частиц/см3 ; объем, приходящийся на одну частицу, v0 3 10−20 см3 ; среднее расстояние между частицами a0 = 3 10−7 см; характерный радиус сил взаимодействия между частицами r0 10−8 см; длина свободного

пробега λ 10−5 см; тепловая скорость движения молекул v = 105 см/с. Отсюда получаем τ0 10−13 c, а τ 10−10 c. На-

личие столь разных временных и пространственных масштабов позволяет огрубить описание и осуществить переход от динамического описания к статистическому.

§ 8. Качественный вывод уравнения Больцмана

Если столкновения между молекулами не учитывать совсем, то каждую частицу газа можно рассматривать как замкнутую подсистему и для одночастичной функции распределения

F1(t, p, r) тогда справедлива теорема Лиувилля

Учет столкновений приводит к тому, что функция распределения будет претерпевать изменения не только за счет движения частицы по фазовой траектории, но и за счет ее столкновений с другими частицами. Эта часть изменения функции распределения, как указывалось выше, называется интегралом столкновения. Заслугой Больцмана является как раз построение интеграла столкновений для газа малой плотности.

Хотя при построении интеграла столкновений необходимо учитывать кинематику процесса столкновений, этот вывод не может быть чисто динамическим. Если интересоваться поведением системы на временах τ0 t ≤ τ , то не возникает

необходимости в точном описании процесса столкновения частиц: достаточно знать лишь асимптотическое поведение системы (т. е. найти взаимосвязь состояний задолго до столкновения с состояниями через достаточно большой промежуток после столкновения).

При упругих столкновениях двух частиц должны выполняться законы сохранения импульса и энергии

до столкновения и после него равны по абсолютной величине и противоположны по направлению: u = −u .

Очевидно, что, используя уравнения (3.53), импульсы частиц до и после столкновений можно выразить через две вели-

Перейдем к построению интеграла столкновений. Для упрощения записи введем обозначения:

В некоторый момент времени t в элементе объема фазового пространства drdp будет находиться nf drdp частиц, где n = 1/v – число частиц в единице объема (концентрация). Интеграл столкновений определяет скорость изменения числа частиц, находящихся в элементе объема фазового пространства

drdp в окрестности точки r, p . Для того чтобы ее найти, необходимо подсчитать, сколько частиц уходит из этого объема фазового пространства и сколько приходит за единицу времени. Поскольку все акты рассеяния происходят независимо и рассеянные частицы к следующему акту рассеяния успевают термализоваться, каждый акт рассеяния можно рассматривать независимо.

Рассмотрим одну частицу, имеющую координату r, p , и остановим ее, т. е. перейдем в систему координат, связанную с этой частицей. В качестве модели взаимодействия частиц возьмем модель твердых сфер, полагая, что каждая из частиц имеет радиус r0 . Окружим выделенную частицу сферой взаимодействия частиц радиусом 2r0 , в центре которой поместим начало цилиндрической системы отсчета. Ось Z этой системы направим вдоль вектора относительной скорости u . Схема выбора осей координат приведена на рис. 23.

u

2r0

Рис. 23. Выбор координат при анализе парных столкновений частиц

Координату, задающую полярный угол, обозначим ϕ , а радиальную переменную – буквой a . Обозначим бесконечно малый элемент площади поперечного сечения сферы adadϕ как dΩ (на рис. 23 этот элемент площади выделен более жирной линией). Среднее число частиц c импульсами от p1 до p1 + dp1 , падающих на эту площадку за единицу времени, будет равно nf1udΩdp1 . Тогда среднее число столкновений частиц, находящихся в элементе фазового объема drdp , с частицами, имеющими импульс от p1 до p1 + dp1 , будет определяться выражением

148 Глава 3. Кинетические уравнения

поле в процессе столкновения, в дополнение к энергии и импульсу, сохраняется еще и момент количества движения. Это приводит к тому, что каждый элементарный акт рассеяния происходит в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения (рассмотренный выше случай столкновения упругих шаров является частным примером рассеяния в центральном поле). Рассеяние в центральном поле обычно описывают на языке сечения рассеяния.

Пусть однородный пучок частиц падает на неподвижный рассеивающий центр с постоянной скоростью u . С е ч е н и - е м р а с с е я н и я σ(Ω, u) называется коэффициент пропорциональности между величиной плотности потока падающих частиц I и числом частиц dN , рассеянных в телесный угол dΩ = sin θ dθ dϕ за единицу времени:

В этой формуле θ – так называемый угол рассеяния, т. е. угол между векторами относительной скорости u и u до рассеяния и после него. Геометрический смысл параметров, в терминах которых описывается столкновение частиц в центральном поле, изображен на рис. 24 (рассмотрен случай столкновения упругих шаров радиусом r0 ).

Все частицы, имеющие прицельный параметр от b до b+db , попадут в сферический поясок на сфере рассеяния, изображенный на рис. 24 a, и будут иметь углы рассеяния от θ до θ + dθ . Отсюда следует, что все частицы, попавшие в элемент поверхности b db dϕ сферы рассеяния, будут рассеяны в телесный угол dΩ . Следовательно, dN = I b db dϕ . Сравнивая это выражение

Производная db/dθ здесь взята по модулю, поскольку при нашем определении угла рассеяния он увеличивается с уменьшением прицельного параметра.

Рис. 24. Кинематика упругого рассеяния:

а– сечение сферы взаимодействия плоскостью, перпендикулярной u ;

б– построение, позволяющее найти взаимосвязь прицельного параметра

b с углом рассеяния θ

Функциональную связь между прицельным параметром b и углом рассеяния θ можно найти, используя построение на рис. 24 б. Как следует из него, b = 2r0 sin α . Угол α связан с углом рассеяния θ простым соотношением α = π/2 − θ/2 . Поэтому b = 2r0 cos θ/2 . Подставляя этот результат в формулу (3.61), получаем выражение для сечения рассеяния в случае упругого столкновения частиц радиусом r0 :

Второе равенство здесь получено с использованием определения (3.61).

Сравнивая выражение (3.63) и правую часть формулы (3.59), легко обнаружить, что интеграл столкновений в кинетическом

уравнении Больцмана можно записать, используя для характеристики рассеяния понятие сечения рассеяния. В этом случае вместо (3.59) имеем

∂f p

∂t + m rf +F pf = n u σ(Ω, u) (f f1 −f f1)dp1dΩ. (3.64)

Для практических целей удобно записать интеграл столкновений так, чтобы он явно содержал законы сохранения энергии и импульса. Для этого нужно в интеграле столкновений добавить интегрирование по импульсу p1 и энергии E1 налетающих частиц после рассеяния и дописать соответствующие δ -функции, выражающие закон сохранения энергии:

Рассматривая рассеяние частиц как переход системы из состояния p, p1 в состояние p p1 , введем понятие вероятности перехода W (p, p1; p , p1 ) , определив ее соотношением

dE1 u σ dΩ = dp W (p, p1; p , p1 ).

В результате интеграл столкновений может быть записан в следующей форме:

Анализируя структуру интеграла столкновений (3.66), легко заметить, что он распадается на два вклада, описывающих приход частиц в состояние с импульсом p и уход частиц из этого состояния. Для того чтобы такое представление было возможно, вероятность переходов W (p, p1; p , p1 ) должна удовлетворять условию