Учебники / Физика конденсированных сред

Поэтому оба корня характеристического уравнения будут чисто мнимыми и стационарная точка является устойчивым центром. Фазовая траектория линеаризованной системы (1.115) представляет собой окружность, центром которой является стационарная точка. Фазовая траектория исходной системы (1.114) будет для малых отклонений также походить на окружность (см. рис. 6).

Используя общее решение (1.113), запишем параметрическое урав-

плексными величинами, и поэтому представим их в виде A1 = a1 +

+ i b1 , A2 = a2 + i b2 .

Подставляя полученные результаты в формулу для общего решения системы (1.113) и выделяя действительную часть, получаем параметрическое уравнение траектории

x1(t) = (a1 + a2) cos ω t + (b2 − b1) sin ω t,

γ2/γ1 x2(t) = −(a1 + a2) sin ω t + (b2 − b1) cos ω t. (1.116)

Изменяя масштаб вдоль оси x , введем новую переменную x (t) =

2 2

= γ2/γ1 x2(t) . Константы (a1 + a2) и b2 −b1 определим из начальных условий: (a1 + a2) = x1(0) , b2 − b1 = x2(0) . Теперь легко убедиться, возводя левую и правую части каждого из уравнений (1.116) в квадрат и складывая, что выполняется условие

(x1(t))2 + (x2(t))2 = (x1(0))2 + (x2(0))2,

и, таким образом, действительно уравнение траектории фазовой точки является окружностью.

Перейдем теперь к анализу поведения системы вблизи стационарной точки ns1 = 0 , ns2 = 0 . В этом случае система линеаризованных уравнений имеет вид

в соответствии с приведенной выше классификацией эта стационарная точка является неустойчивой седловой точкой. Фазовый портрет системы в окрестности этой стационарной точки для разных начальных условий приведен на рис. 10. Сепаратрисами в данном случае являются координатные оси x1 и x2 .

72 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Рис. 10. Фазовый портрет линеаризованной системы (1.114) в окрестности стационарной точки ns1 = 0 , ns2 = 0 :

a – x1(0) = 5, x2(0) = 5 ; b – x1(0) = 5, x2(0) = −5 ; c – x1(0) = −5, x2(0) = 5 ; d – x1(0) = −5, x2(0) = −5

Из приведенного анализа следует, что типы стационарных точек для модели Вольтерра – Лотки не зависят от конкретных численных значений параметров модели. Таким образом, в зависимости от выбора начальных условий в системе будет наблюдаться либо неустойчивое седло, либо устойчивый центр.

В случае систем с произвольным значением числа степеней свободы для анализа поведения решений динамических уравнений в окрестности стационарной точки применяется тот же метод линеаризации уравнений движения. Пусть стационарная точка имеет координаты qis, i = 1, . . . , n . Тогда, вводя отклонения динамических координат от стационарных значений xi(t) = = qi(t) − qis , вместо исходных динамических уравнений (1.94) получаем систему уравнений для отклонений координат от стационарных значений, в которой мы удержали лишь члены до второго порядка малости по отклонениям xi(t) = qi(t) − qis :

где функция fi(2) второй.

Если в выражении (1.118) пренебречь членами второго порядка и выше, то динамика отклонений xi(t) = qi(t) − qis будет определяться решением системы линейных уравнений (методика решения таких уравнений для двух переменных обсуждалась выше). Корни характеристического уравнения попрежнему определяются из уравнения

det |aij − p δij | = 0.

При этом справедливы следующие утверждения:

1 ) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то стационарная точка

xi = 0 является устойчивой независимо от вида функции fi(2) ; 2 ) если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то стационарная точка является неустойчивой независимо от вида функ-

ции fi(2) ;

3 ) если корней с положительной действительной частью нет, но есть чисто мнимые корни, то устойчивость стационарной

точки зависит от вида функции fi(2) .

Более подробно современные методы и проблемы динамического описания нелинейных систем изложены в курсе лекций С. П. Кузнецова [14], прочитанном им для студентов-физиков Саратовского университета. Большое количество книг российских и зарубежных авторов по затронутой проблеме можно найти и в электронной библиотеке, размещенной на сайте http://www.scintific.narod.ru/nlib/.

§ 17. Динамический хаос

Основной целью экскурса в область нелинейной динамики является желание объяснить, как обратимые во времени динамические уравнения, в частности уравнения Гамильтона, могут описывать необратимое поведение реальных систем. Заложена ли возможность необратимого поведения в динамических уравнениях или эту идею нужно привносить извне? Замечательным

74 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

результатом развития динамической теории во второй половине прошлого столетия стало открытие динамического хаоса.

Возникновение хаоса кажется, на первый взгляд, несовместимым с определением динамической системы, подразумевающей однозначное определение состояния в любой момент времени по заданному начальному состоянию. На самом деле противоречия нет, поскольку для систем, демонстрирующих хаотическую динамику, наблюдается сверхчувствительность динамики к заданию начальных условий. Сколь угодно малое изменение начальных условий приводит к конечному изменению состояния системы через достаточно большой промежуток времени. По этой причине, хотя система и остается динамической, предсказания динамики ее развития с конечной точностью становятся невозможными.

Впервые хаотический режим в системах с малым числом степеней свободы обнаружил американский метеоролог Э. Лоренц, изучая конвективное движение жидкости в эксперименте Бенара. Ему удалось преобразовать систему гидродинамических уравнений для плотности, скорости и температуры объема жидкости к системе трех достаточно простых уравнений для переменных x, y и z . Зависимость от свойств жидкости и условий эксперимента задается в модели Лоренца с помощью трех параметров σ, r и b :

Не обсуждая физический смысл динамических переменных и введенных параметров (подробный вывод системы уравнений Лоренца можно найти в упоминавшейся книге С. П. Кузнецова [14]), рассмотрим лишь качественный характер поведения решений этой системы, отвлекаясь от ее физической сущности.

Оказывается, что качественный характер решения зависит от параметра r . При 0 < r < 1 имеется устойчивый узел в начале координат. При r > 1 аттрактор теряет устойчивость и появляются две стационарные точки

x12 = ± b (r − 1), y1,2 = ± b (r − 1), z12 = r − 1.

Они характеризуют стационарную конвекцию валов жидкости с противоположным направлением вращения. Фазовый портрет системы вблизи одной из таких точек показан на рис. 11а. При r > rкр фазовая траектория начинает вести себя странным образом. Она подходит к одной из стационарных точек, совершает несколько оборотов и уходит к другой стационарной точке. Фазовый портрет такой системы для значений параметров σ = 10, b = 2, 666, r = 26, 7 приведен на рис. 11b. Число оборотов вокруг каждого из узлов в каждой серии неодинаково, непредсказуемо и зависит от точного задания начальных условий.

Рис. 11. Фазовый портрет системы (1.119) для параметров:

σ = 10, b = 2, 666 ;

a – устойчивый фокус при r = 10 ; b – странный аттрактор при r = 26, 7

Другой замечательной особенностью этой системы оказалось сжатие объема фазового пространства системы с течением времени и образование странного аттрактора. Чтобы разобраться в этом явлении, напомним, что классическая система, подчиняющаяся уравнениям Гамильтона, консервативна. Это означает, что если выделить небольшой элемент объема фазового пространства такой системы dΩ0, содержащий некоторое количество фазовых точек в начальный момент времени, то в процессе эволюции к моменту времени t фазовые точки окажутся в некотором объеме dΩt = dΩ0 . Это утверждение известно в классической механике как теорема Лиувилля.

Консервативные системы – это достаточно узкий класс динамических систем. Большинство динамических систем, описывающих реальные процессы, неконсервативны и не сохраняют

76 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

фазовый объем. К их числу относится и система уравнений Лоренца (1.119).

Рассмотрим небольшой элемент фазового объема системы (1.119) Ω = x y z и найдем относительную скорость изменения объема

Из этой формулы видно, что относительная скорость изменения фазового объема определяется дивергенцией поля скоростей фазовых точек.

В общем случае, обобщая результат (1.120), для определения скорости изменения относительного объема фазового пространства с течением времени можем записать простую формулу

В формуле (1.121) xi , i = 1, 2, . . . , n – набор динамических переменных, описывающих систему, v – вектор скорости фазовых точек в фазовом пространстве. Если система консервативна, то для нее выполняется равенство div v = 0 . Динамическая система называется д и с с и п а т и в н о й, если выполняется условие div v < 0 .

Для системы уравнений Лоренца вектор скорости фазовых точек определяется правыми частями уравнений (1.119)

vx = −σ (x − y); vy = −x z + r x − y; vz = x y − b z,

а дивергенция этого вектора div v = −σ − 1 − b . Поскольку σ и b – величины положительные, то, решая уравнение

получаем

Отсюда следует, что с течением времени все фазовые точки сконцентрируются в некотором множестве нулевого объема. В действительности это означает, что фазовый поток в трехмерной модели Лоренца порождает множество точек, размерность которого оказывается меньше трех (хаусдорфова размерность этого аттрактора оказалась дробной и равной 2,06). Дробная размерность множества точек, к которым притягиваются траектории, – один из признаков того, что аттрактор является странным. Как эмпирически может быть определена хаусдорфова размерность аттрактора, мы обсудим позднее.

Другая особенность странного аттрактора состоит в том, что как бы ни были близко расположены фазовые точки в начальный момент времени, через некоторый временной интервал они разбегутся на конечное расстояние. Иначе говоря, наблюдается сверхчувствительность динамики к начальным условиям, что делает невозможным динамическое описание этой системы. По существу, возникновение динамического хаоса является одной из предпосылок перехода к статистическому описанию, поскольку динамическое описание таких систем невозможно. Важно отметить, что динамический хаос есть внутреннее свойство самих систем и не связано с действием каких-либо внешних факторов. Возникновение динамического хаоса в задаче конвективного движения в жидкости не является чем-то исключительным. Во-первых, к модели Лоренца сводится достаточно много других задач нелинейной динамики, в частности задача о переходе в режим генерации излучения одномодового лазера, а во-вторых, динамический хаос возникает и в простых гамильтоновых системах, например в системе двух осцилляторов Эно – Эйлиса с нелинейным взаимодействием [14].

Для систем, демонстрирующих динамический хаос, можно ввести понятие энтропии S . Действительно, энтропия является мерой неполноты наших знаний о состоянии системы:

n

S − Pi ln Pi.

i=1

78 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

В этой формуле Pi – вероятность реализации i -го состояния системы. Если имеется полная определенность и вероятность реализации состояния равна единице, то энтропия равна нулю и максимальна при полной неопределенности, когда все состояния равновероятны.

Для динамических систем понятие энтропии было введено

вработах Колмогорова и Синая еще в 1954 г. Пусть динамика описывается системой дифференциальных уравнений. Зададим

вфазовом пространстве расстояние d(t) между двумя фазовыми точками соотношением

d(t) = |x1(t) − x2(t)|.

Энтропию Колмогорова – Синая Sкс определим соотношением

→∞

Из этого определения следует, что если близкие в начальный момент времени фазовые точки остаются близкими в последующие моменты времени или если расстояние между ними увеличивается, но не по экспоненциальному закону, то Sкс = 0 . Если же реализуется динамический хаос и

где λ > 0 , то энтропия Колмогорова – Синая принимает положительное значение. Важно отметить, что энтропия Колмогорова – Синая – размерная величина, пропорциональная скорости потери информации о системе. По существу, обратная величина 1/Sкс определяет время хаотизации (время, через которое динамическое описание системы становится бессмысленным).

Как по виду динамических уравнений определить возможность возникновения странного аттрактора? Ответить на этот вопрос достаточно легко, если установить связь показателя λ в уравнении (1.124) с собственными значениями характеристического уравнения линеаризованной системы (1.118). В общем случае всегда можно перейти к нормальным координатам, для которых матрица aij в уравнении (1.118) является

зывают действительные части характеристического уравнения det |aij − p δij | = 0 : λi = Re pi . Число различных корней, очевидно, совпадает с размерностью матрицы. Таким образом, спектр собственных значений матрицы aij определяет и спектр характеристических значений показателей Ляпунова.

Геометрический смысл показателей Ляпунова легко понять. Представим себе некоторую малую сферическую область с характерным радиусом ε0 в пространстве нормальных координат, заполненную фазовыми точками. С течением времени каждая фазовая точка будет двигаться по своей траектории и сферическая область будет деформироваться. Тогда, если известны значения показателей Ляпунова для этой системы λ1, λ2, и λ3 , можно утверждать, что через время t от начала эволюции фазовые точки будут заполнять эллипсоид с полуосями l1, l2 и l3 , равными

l1 = ε0 eλ1 t, l2 = ε0 eλ2 t, l3 = ε0 eλ3 t.

Для интересующего нас случая аттракторов показатели Ляпунова обладают следующими важными свойствами. Во-первых, сумма показателей Ляпунова равна дивергенции потока скоростей фазовых точек:

Поэтому сумма показателей Ляпунова для диссипативной системы всегда отрицательна, а для консервативной – равна нулю. Во-вторых, у аттрактора отличного от неподвижной точки (узла), должен быть хотя бы один показатель Ляпунова, равный нулю. Этот показатель характеризует движение вдоль направления, по которому не происходит стягивание фазовых точек. Действительно, рассмотрим двумерный случай. Здесь если оба показателя Ляпунова отрицательны, то будет происходить стягивание фазовых точек в узел. Если же есть предельный цикл, то это означает, что фазовые точки концентрируются в ограниченной области фазового пространства, что возможно лишь