2164

Идеальная кинематическая характеристика f u . Эта характеристика получается в

предположении, что обобщенная скорость выходного звена двигателя зависит только от значения входного параметра и не зависит от обобщенной силы. Такая характеристика оказывается приемлемой для описания свойств «жестких» двигателей, у которых скорость выходного звена слабо зависит от нагрузки.

Идеальная силовая характеристика. Предполагая, что обобщенная движущая сила Fд или движущий момент Mд не зависит от скорости выходного звена и определяется только значениями входного параметра, получаем идеализированную модель двигателя, описываемую идеальной силовой характеристикой

Fд Fд u или д д u .

Эта характеристика может быть принята для некоторых типов «мягких» двигателей, у которых обобщенная движущая сила слабо зависит от скорости. «Мягкими» характеристиками обладают, например, двигатели внутреннего сгорания.

Статическая характеристика. В реальных двигателях обобщенная скорость выходного звена двигателя зависит не только от значения входного параметра u, но и от нагрузки, характеризуемой величиной

обобщенной силы Fд или момента Μд , т.е. f u, д или Μq Μq u, . Динамическая характеристика. Статические характеристики двигателей адекватно отражают их

свойства при статических (установившихся) режимах работы машины, т.е. тогда, когда u, и Fд или

Μд являются постоянными по величине и изменяются достаточно медленно. В общем случае

мгновенное значение скорости выходного звена двигателя зависит не только от мгновенного значения нагрузки, но от значений ее производных по времени. В первом приближении эта зависимость может

быть учтена введением в характеристику двигателя первой производной по времени, или Fд (t),

или Μд (t), т.е.

Для некоторых типов двигателей приведенная выше динамическая характеристика достаточно хорошо описывает широкий класс динамических режимов, включая и переходные.

Линеаризация характеристик двигателя. Идеальные и статические характеристики двигателей являются

в общем случае механическими функциями аргументов u, ,Μд , что затрудняет динамический анализ. Вместе с тем часто приходится исследовать такие режимы движения машины, при которых значения этих параметров остаются близкими к некоторым постоянным u0 , 0 , д0 . В подобных

случаях характеристики двигателей могут быть линеаризованы. Линеаризация данных нелинейных функций сводится к разложению в ряд Тейлора и сохранению в этом разложении первых двух слагаемых. Так, применительно к статической характеристике можно записать, что

где д0 и ω0 – движущий момент и угловая скорость, соответствующая их средним значениям в

установившемся движении машины; v –коэффициент крутизны статической характеристики.

Зависимость (10.9) часто применяется для описания движущего момента электрических двигателей.

10.6.2. Динамические модели механических систем

250

Механизмы с жесткими звеньями. Составление динамических моделей механической системы состоит в идеализации реальных звеньев и кинематических пар, в замене их физическими моделями.

Наиболее простым способом идеализации является переход от реальных механизмов к моделям, которые называются механизмами с жесткими звеньями. Этот переход основывается на следующих допущениях.

1.Все звенья, являющиеся твердыми телами, считаются абсолютно твердыми, гибкие звенья – нерастяжимыми, жидкие звенья – несжимаемыми.

2.Все кинематические пары идеально реализуют те уравнения связей, которыми они

описываются; в шарнирах и поступательных парах отсутствуют зазоры, соприкасающиеся поверхности кинематических пар не деформируются и т.п.

Механизмы с упругими звеньями. В современных машинах деформации звеньев и элементов кинематических пар и связанные с ними вибрации могут существенно влиять на точность механизмов, вызывать значительные динамические нагрузки в звеньях и их соединениях. Для исследования этих процессов приходится пользоваться более сложными динамическими моделями механизмов, которые называются механизмами с упругими звеньями. Неоднозначность выбора упругой модели, адекватной исследуемым процессам, анализируется режимом работы машины, является одной из наиболее сложных проблем динамического анализа.

10.6.3. Характеристики рабочих процессов

Выполнение рабочих процессов всегда сопровождается возникновением рабочих нагрузок – активных сил, действующих на рабочие органы машины. Изучая свойства рабочих процессов, можно выявить зависимости между величинами рабочих нагрузок и кинематическими параметрами, определяющими координаты и скорости точек рабочих органов, а в ряде случаев и зависимость сил от

времени. Соответствующие функции Fс =Fс (t,α,ω) называются характеристиками рабочих процессов.

Изучение рабочих процессов и их характеристик является задачей соответствующих специальных дисциплин и выходит за рамки теории машин.

10.7. Частные случаи интегрирования уравнений движения

Суммарный приведенный момент есть функция положения, т.е. заданы Μд ( ) и Μс ( ).

Тогда в соответствии с (10.7) получаем

Из (10.10) и (10.11) можно определить ω ω(α). Для построения зависимости

ω ω(t )решается уравнение в виде

251

где 0 А/ В;Т Jпр / В – постоянная времени машинного агрегата.

Графически решение (10.17) показано на рис. 10.6. В соответствии с (10.16) процесс разгона продолжается бесконечно долго. Однако уже при t =3Т отношение / 0 составляет 0,95; при t = 4Т

возрастает до 0,98, т.е. при t (4 5)Т процесс разгона практически заканчивается. Таким образом,

значения величины Т позволяют определить продолжительность разгона агрегата. Отсюда следует вывод: чем больше приведенный момент инерции звена приведения (инертность машинного агрегата), тем больше время его разгона Т.

Во многих случаях линейная аппроксимация зависимости

суммарного момента Μд - Μс невозможна. В этом случае уравнения

(10.13) или (10.15) решаются графически или путем численного интегрирования на ЭВМ. Тоже относится и для случая, когда

Jпр Jпр(α) или Jпр(ω).

10.8.Установившееся движение машинного агрегата при идеальной характеристике двигателя

Предположим, что двигатель машины моделируется идеальной кинематической характеристикой. Если значение входного параметра остается постоянным по величине, т.е. u = u0 , то угловая скорость выходного звена двигателя также должна оставаться постоянной.

ω

ω 0

При этом 0t , а (0) можно принять равной нулю.

Тогда уравнение (10.8) при равномерном вращении выходного звена двигателя принимает вид

253

д (t) 1 dJпр ( 0t) 02 Мс ( 0t, 0 ). 2 d

в правой части определяет среднее значение движущегося момента, его статическую компоненту. Остальные два слагаемых образуют переменную, динамическую часть этого момента.

Такой динамический момент часто возникает в передаточном зубчатом механизме, весьма чувствительном к динамическим нагрузкам. Поэтому определение L(t) является существенным для проведения прочностных расчетов зубчатых передач. При этом важно, чтобы максимальная величина Lmax не превосходила среднего значения

ΜС0 ( 0 ).

Если же Lmax > Μсо ( 0 ) Μд0 ( 0 ), то момент, нагружающий передачу, оказывается знакопеременным. Это приводит к изменению направления передаваемого зубчатыми колесами момента, а следовательно, и к перекладке зазоров в зубчатых передачах.

Перекладка зазоров, когда каждый зубец будет входить в зацепление то одним, то другим профилем,

сопровождается соударениями, что представляет нежелательное явление, приводящее к снижению работоспособности передачи. В этом отношении момент L t можно рассматривать как меру внутренней виброактивности или неуравновешенности механической системы машинного агрегата.

10.9. Исследования установившегося движения с учетом статической характеристики двигателя

Решение этой задачи рассмотрим на примере модели машинного агрегата (рис. 10.1), состоящего из электрического двигателя, редуктора, главного вала и исполнительного механизма, установленных в едином корпусе. Причем предполагается, что механизмы машины выполнены и собраны идеально точно, звенья жесткие, зазоры и трения в кинематических парах отсутствуют, подвижность машинного агрегата равна единице.

Ставится задача определения неравномерности вращения главного вала и величины переменной

~

составляющей крутящего момента к , нагружающего этот вал.

В связи с этим уравнение движения звена приведения (главного вала) машины на основе (9.8) записывается в виде

254

Дифференциальное уравнение (10.20) в общем случае не имеет точного аналитического решения. Поэтому для его анализа воспользуемся методом последовательных приближений, разработанным М.З. Коловским.

В соответствии с этим подходом определение стационарного решения уравнения (10.20) базируется на предположении, что закон движения t мало отличается от равномерного вращения с постоянной угловой скоростью, которая определяется в процессе интегрирования уравнения (10.20).

Прежде всего – это уравнение переписывается в форме, при которой в правой части стоят только составляющие входящих в него слагаемых, вызывающих отклонение закона движения от равномерного движения:

Далее представим:

0 t ; t T t ,

где 0 – среднее значение угловой скорости вращения

T – время цикла.

Моменты движущих сил описываются статической линеаризованной характеристикой (10.9).

Приравнивая к нулю левую часть уравнения (10.21), получаем

Для определения этих решений достаточно найти корни уравнения:

Μд0 0 Μсо 0.

255

При заданных номинальных значениях Μдни н (по паспорту двигателя) для рассматриваемого случая с учетом (10.9)

Опуская вопрос исследования устойчивости движения главного вала на установившемся режиме при 0 , далее перейдем непосредственно к описанию решений

0t t и 0t t .

Для этого уравнение (10.21) приводится к виду

Раскладывая правую часть уравнения (10.23) в ряд Фурье, записываем

L t Licos i 0t i ,

i 1

где Li и i – амплитуды и фазы гармоник ряда Фурье.

Пользуясь принципом суперпозиции, приемлемым для линейных систем, представляем решение уравнения (10.23) в виде

Величины t и t в (10.24, 10.25) носят название динамических ошибок по углу поворота и по

угловой скорости. При этом коэффициент неравномерности вращения главного вала по i-й гармонике определяется как

или по ряду гармоник

256

где i 1,2или 3; Li – доминирующая из этих гармоник.

Анализ формул (10.26) и (10.27) показывает, что уменьшение динамических ошибок может быть получено при заданном возмущающем моменте двумя способами. Во-первых, путём увеличения

постоянной составляющей приведенного момента инерции J0 , что достигается установкой добавочной массы или маховика на главный вал машины. При этом при заданном из (10.26) получаем

Во-вторых, путем увеличения крутизны характеристики двигателя , например, установкой на машину асинхронного электродвигателя с жесткой характеристикой.

Для определения переменной составляющей крутящего момента на главном валу машины

~

Μк составляется уравнение движения ротора двигателя в виде

Анализ зависимостей (10.29), (10.30) показывает, что увеличение момента инерции главного вала машины по отношению к моменту инерции ротора электродвигателя приводит к уменьшению амплитуды

постоянной времени машины и нагрузки на редуктор во время разгона, снижения собственной частоты главного вала и по ряду других причин. Поэтому выбор величины Јо и соответственно Јм должны осуществляться обоснованно, для чего должна быть изучена мера влияния Јо на

257

неравномерность вращения вала машины и его нагружение. Последнее

~

возможно путем изучения зависимостей δ( Јо) и М к max ( Јо), которые строятся на основе формул (10.27) и (10.29) и в упрощенном варианте рассчитываются по доминирующим гармоникам в соответствии с (10.26) и

(10.30).

~

В связи с тем, что критерии δ и М к max являются согласными, т.е. с увеличением Јо их значения уменьшаются, оценка динамичного состояния

оценивается как удовлетворительное, т.к. в этом случае максимальная

~

величина Мк много меньше постоянной составляющей и, следовательно, такое нагружение является менее опасным с точки зрения усталостного разрушения конструкции.

нагружение главного вала становится знакопеременным, т.е. наиболее опасным.

Вслучае, если достижение удовлетворительного динамического состояния механической системы машины связано со значительным увеличением Јо и, следовательно, с увеличением габаритов маховика, решается вопрос об установке маховика на быстроходный вал мультипликатора – устройства, увеличивающего скоростной режим вращения, или о применении иных уравновешивающих или разгружающих устройств.

Вданном отношении в качестве исходной информации для принятия дальнейшего решения могут служить результаты выполненного исследования.

Это прежде всего величины доминирующих гармоник

~

возмущающего L(t) и крутящего моментов Мк (t). Очевидно, что при выделении одной или двух доминирующих гармоник из их спектров предпочтение может быть отдано динамическому гашению колебаний.

При более сложном законе нагружения целесообразно рассмотреть вопрос о применении разгружающих программных устройств, динамических гасителей с трением или поглотителей колебаний вязкого или сухого трения. Важное значение имеет также и стабильность скоростного решения работы машинного агрегата.

11. УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

258

В связи с повышением быстродействия, мощности и точности современных машин важное значение приобретает их внешнее уравновешивание, связанное с уменьшением нагрузок, передающихся на корпуса машин и вызывающих их вибрацию.

11.1. Типовые задачи уравновешивания

Традиционное решение задачи уравновешивания механизмов начинается с анализа их идеальных кинетостатических моделей, т.е. механизмов с жесткими звеньями и отсутствием зазоров в кинематических парах.

При этом считается, что машинный агрегат будет уравновешен на фундаменте, если выполняются условия

где Fвн , Fин , R – главные векторы внешних сил, сил инерции и реакции связей; Мвн ,Мин , МR – главные моменты внешних сил, сил инерции и

реакции связей.

Однако учет сил внешнего нагружения, а тем более жесткости элементов конструкции существенно усложняет решение задачи уравновешивания с точки зрения ее практической реализации и приводит к сложным инженерным решениям. Поэтому чаще решается задача уравновешивания главного вектора сил инерции (статического уравновешивания), т.е. обеспечивается условие

где mi – масса i-го звена механизма;

n – число подвижных звеньев; as – вектор ускорения центра массы s подвижных звеньев механизма.

Тогда в соответствии с (11.3) механизм будет статически уравновешен, если as = 0 или центр массы s неподвижен.

Применительно к уравновешиванию моментов сил инерции на основе (11.2) устанавливаются следующие условия: для уравновешивания главных моментов сил инерции относительно осей ох и оу (рис.11.1) необходимо и достаточно подобрать массы механизма так, чтобы центробежные моменты инерции всех звеньев механизма относительно плоскостей хоz и уоz были постоянными.

259