2164

Из (2.1) следует, что П будет величиной переменной, знакопеременной и безразмерной.

В частном случае величина П может быть постоянной величиной, например, в преобразовании движения зубчатым механизмом передаточная функция выражена передаточным числом или передаточным отношением.

На рис. 2.2 приведена схема кривошипно-ползунного механизма, предназначаемого для преобразования перманентного вращательного

Рис. 2.2. Схема кривошипно-ползунного механизма: 0 – стойка; 1 – кривошип; 2 – шатун; 3 – ползун

Нетрудно убедиться, что подвижность такого механизма также равна единице, вновь причем в качестве обобщенной координаты 1 , тогда

SВ S( 1)и передаточная функция скорости будет такой:

(2.2)

Из (2.2) следует, что ПV будет величиной переменной, знакопеременной и имеющей размерность длины (м).

Поскольку обобщенные координаты механизма, в свою очередь, зависят от времени, то кинематические функции можно получить из

Так, в механизме (рис. 2.1) угловая скорость коромысла 3 определится как

60

3 d 3 d 3 d 1 П 1 , dt d 1 dt

(2.3)

а угловое ускорение коромысла

знакопеременная, безразмерная.

В механизме по рис. 2.2 кинематические и передаточные функции связаны аналогично. Линейная скорость выходного движения определится как

d2S2B d 1 d 1 dSB d2 21 Па 12 ПV 1.

d 1 dt dt d 1 dt

(2.6)

В (2.6) Па – передаточная функция ускорения, величина переменная, знакопеременная, имеющая размерность длины (м).

2.2. Методы кинематического анализа

Определение кинематических параметров движения – траекторий, перемещений, скоростей, ускорений – проводится традиционными для любых наук методами моделирования движения и натурного прямого измерения.

61

В теории механизмов вообще, а для решения кинематических задач в частности принято различать следующие методы исследования:

1)графический,

2)графоаналитический,

3)аналитический,

4)экспериментальный.

Все методы универсальны, их отличает точность вычислительных

процедур, наглядность результатов, трудоемкость.

Типовая задача кинематического анализа предусматривает в качестве исходных величин известные кинематические размеры схемы механизма и параметры входного движения. Ограничимся случаями исследования плоского движения, когда траектории точек звеньев механизмов в движении располагаются в параллельных плоскостях.

2.2.1. Графический метод

Метод основан на геометрическом моделировании движения, обладает высокой наглядностью результатов, что особенно ценно для начинающего исследователя. Геометрические модели являются основой для последующего математического моделирования. Точность результатов, полученных графическим методом, является вполне удовлетворительной для задач схемного анализа и проектирования, точность зависит от аккуратности исследователя, различие результатов обычно укладывается в 10 % от их номинальных величин.

Поскольку метод предусматривает масштабное изображение кинематических схем и параметров движения, то для реализации метода необходимо использовать масштабные коэффициенты графического изображения физических величин.

Масштабный коэффициент имеет размерность изображаемого параметра и численно равен количеству единиц изображаемой величины в одном миллиметре изображения, т.е.

единиц физической величины.

в 1мм чертежа

При этом снабжается индексом физической величины, а само значение выбирается обычно из стандартного масштабного ряда: 1; 2; (2.5); (4); 5; 10; кратно десяти. Для увеличения изображения используют величины коэффициентов, обратные стандартному ряду.

Например, масштабный коэффициент уменьшенного в два раза

62

Индексы при принимаются из общепринятых обозначений физических величин, например, V – масштабный коэффициент линейной скорости,

a – линейного ускорения и т.д.

Графический метод позволяет получить полную информацию о параметрах движения звеньев механизма, точек звеньев, передаточных функциях механизма. Особую ценность представляют определение объемов пространства, занимаемого работающим механизмом; траекторий движений; крайних положений; величин рабочих перемещений и др.

Графический метод целесообразно рассмотреть на примере его применения к анализу кинематики конкретного механизма. Выберем в качестве примера кривошипно-ползунный четырехзвенник (рис. 2.3), содержащий звенья, совершающие различные виды плоского движения.

2.2.1, а. Построение разметки механизма, траекторий, диаграмм движения

Разметкой или планами положений механизма называют совокупность изображений кинематических схем механизма при различном значении обобщенных координат, охватывающих весь цикл движения циклового механизма или изображений схем нециклового механизма во всем объеме его рабочего пространства.

3

Рис. 2.3. К построению разметки механизма и нахождения мгновенного центра скоростей звена 2

63

SВ

а аВ

в)

Рис. 2.4. Диаграммы движения ползуна 3

Построение разметки обычно начинают от одного из крайних положений механизма, которое определяется методом геометрических мест, а последующие положения схемы выполняют при дискретном и равном изменении обобщенной координаты, второе крайнее положение механизма может быть определено дополнительно.

ОА0В0 – крайнее положение механизма (в нем скорость выходного движения звена 3 меняет знак на противоположный);

S2(0) S2(1) – траектория движения точки S шатуна 2;

64

SB1 перемещение ползуна 3 при изменении обобщенной координаты на

шаг 1 .

За крайние положения циклового механизма принимают такие положения, в котором одно из основных звеньев меняет направление скорости движения на противоположное. Для механизма (рис. 2.3) одно из крайних положений обозначено ОА0В0 , при этом ползун 3 занимает крайнее верхнее положение. Второе крайнее положение в таком центральном механизме будет при 1 .

Расстояние, пройденное ползуном от одного крайнего положения до другого, составит перемещение SB max ползуна в рабочем цикле, а ряд последовательных положений точек звеньев образует траектории их движения. Точка А движется по круговой траектории, точка В– по прямой, траектория точки S2 – замкнутая кривая четвертого порядка.

На рис. 2.3 SB – текущее перемещение ползуна от крайнего верхнего положения. Фиксируя перемещение SB при различных значениях , можно построить диаграмму движения SB S( ) или SB S(t) (рис. 2.4,а).

Масштабные коэффициенты по осям , t и SB определяются в зависимости от параметров входного движения. Допустим, что задана угловая скорость 1 const входного движения, тогда

(2.7)

Диаграмму скорости VB V( 2 )или VB V(t) (рис. 2.4,б) получают из диаграммы перемещений методом графического дифференцирования, который сводится к выполнению определенных геометрических процедур.

Геометрический смысл первой производной функции – тангенс угла наклона касательной к графику функций находится в исследуемой точке к оси аргумента, однако точное проведение касательной затруднительно, поэтому положение касательной целесообразно определить хордой к дифференцируемой кривой.

Диаграмма SB S(t) построена при дискретных значениях аргумента t1, t2 ,...T , поэтому последовательно соединяя отрезками значения SB , получим ломаную линию, состоящую из хорд кривой на интервалах. При

65

этом отметим, что хорда параллельна касательной, проводимой к точке, находящейся в середине каждого интервала. Последнее утверждение будет тем точнее, чем меньше значение интервала, а в пределе, при стремлении интервала к нулю, хорда и касательная совпадают.

Проведя хорды, фиксируем их углы 1, 2 с осью t, и выбрав на оси аргумента будущей диаграммы скорости (рис. 2.4,б) полюсное расстояние ОН1 , проведем из точки Н1 серию лучей под углами 1, 2 … до пересечения лучей с осью VB . Точки пересечения проектируем на ординаты диаграммы VB V(t), которые соответствуют серединам интервалов. Плавно соединяя полученные ординаты, получим диаграмму

VB V(t) или VB V( 1).

Естественно, что при расположении диаграмм, как показано на рис. 2.4, масштабные коэффициенты на осях аргумента будут общими, а масштабный коэффициент на оси VB диаграммы определим как

Обратная процедура представляет собой графическое интегрирование функций и является основным приемом численного интегрирования любых табулированных функций.

собой площадь криволинейной трапеции, образуемой соответствующей кривой и осью аргумента в пределах границ интегрирования. При графическом (численном) интегрировании площадь трапеции заменяется

66

площадью прямоугольника со сторонами: ордината функции в середине интервала и размер интервала.

Обе процедуры численного дифференцирования и интегрирования функций закреплены в пакетах прикладных программ, реализуемых на современных ПЭВМ. По сути эти приемы универсальны для аналогичных операций над любыми функциями, именно данная процедура позволяет численно разрешить широкий класс дифференциальных уравнений, описывающих любые формы движения.

Связь между масштабными коэффициентами диаграмм при их интегрировании сохраняется, а именно

2.2.1.б. Графическая реализация некоторых частных теорем кинематики плоского движения

В ряде практически важных задач кинематического исследования механизмов эффективным является применение к анализу частных теорем плоского движения, например, теоремы о проекциях скоростей двух точек твердого тела на отрезок прямой, их соединяющий. Теорема доказывает, что эти проекции равны.

Так, если по условию прежней задачи требуется определить модуль скорости ползуна в положении 1 (рис.2.3), то

Для определения параметров движения звена, совершающего сложное плоское движение, эффективно также использовать теорему о сведении плоского движения звена к мгновенному его вращению вокруг некоторой точки.

Например, звено 2 (шатун) в положении 1 совершает мгновенное вращение относительно точки К , положение которой определится

пересечением нормалей к векторам VA и VB в соответствующих точках. Угловая скорость мгновенного вращения звена 2 будет равна

67

а скорости точек В и S3

Естественно, что в следующем положении механизма по его разметке конфигурация кинематической схемы будет иной и положение точки К изменится, но определится аналогично, а зависимости (2.12) и (2.13) сохранятся.

Результаты кинематического анализа, полученные графическим методом, дают полное представление о параметрах движения и передаточных функциях любых плоских механизмов.

2.2.2. Графоаналитический метод

Метод основан на графическом решении векторных уравнений кинематики плоского движения.

В механизмах основные звенья (связанные со стойкой), как правило, совершают простые движения – поступательное и вращательное.

Признаком поступательного движения звена является параллельность отрезка, соединяющего две любые точки звена, своему первоначальному положению, при этом линейные скорости и ускорения всех точек звена являются одинаковыми.

Признаком плоского вращательного движения звена является наличие двух точек тела, не имеющих движения, через которые и проходит ось О-О вращения (рис. 2.5).

Если с вращающимся телом связать подвижную полуплоскость П , то ее положение относительно неподвижной плоскости определится угловой координатой , производные которой по времени дадут угловую скорость и угловое ускорение, эти параметры движения, строго говоря, являются величинами векторными, но их обозначения в плоском вращении, как на рис. 2.5, также допускаются.

Всякая точка тела, не лежащая на О-О, совершает движение по круговой траектории, параметры движения, например точки А, отстоящей от О-О на расстоянии r, будут такими:

68

O

φ ω ε

r

aAn Aε

VA aAt

O

Рис. 2.5. К определению параметров вращательного движения

Естественно, что все параметры движения точки А являются векторными величинами, направления векторов показано на рис. 2.5, где представлен случай ускоренного движения.

Промежуточные звенья в механизмах, как правило, совершают сложное движение, которое целесообразно представить состоящим из простых – переносного и относительного. Здесь возможны две комбинации.

1-я комбинация – переменное движение поступательное, относительное – вращательное.

По 1-й комбинации в каждое последующее положение (из AoBo в A1B1 ) звено перемещается как бы последовательно, вначале двигаясь поступательно (из Ao Bo в A1B1(1) ), затем совершая вращение относительно точки A1 (рис. 2.6).

Математическая модель такого движения для скоростей точек звена будет такой:

69