2164

7.2. Планетарные механизмы

Рассмотрим дифференциальный эпициклический ряд (рис. 7.4). Предположим, что в ряду имеется q симметрично расположенных сателлитов, между которыми равномерно распределяется вращающий момент Мвщ, приложенный извне к солнечной шестерне. В полюсах зацепления W1, W2, W3 возникают силы нормального давления, приложенные к зубьям солнечной шестерни со стороны сателлитов. Разложив нормальное давление на окружное и радиальное, замечаем, что радиальные силы взаимно уравновешивают друг друга, окружные силы тоже дают главный вектор, равный нулю, а главный момент М окружных сил уравновешивает подводимый извне момент.

Из условия равновесия звена 1 имеем

Мвщ + М1 = О, т.е. М1 = -Мвщ, но М1 = qFtr.

Примем за положительный момент Мвщ, приложенный к ведущему валу, и найдём соотношения между внутренними моментами всех центральных звеньев ряда. По закону действия и противодействия получается, что во всех зацеплениях ряда действуют одинаковые окружные силы

Ft = M1 / r1.

Из условия равновесия сателлита Fbi = 0 получим

2Ft + Fоb = 0; Fоb = -2Ft, а Fbо = 2Ft.

Таким образом, к подшипникам сателлита, как и к подшипникам паразитной шестерни рядового механизма, приложена удвоенная окружная сила. Кроме того, при вращении водила на подшипники сателлитов действует дополнительная нагрузка, которую приходится учитывать как

центробежную силу сателлита (силу инерции).

Fu = -mв 012r01.

Суммарная сила на опоры сателлитов будет равна

Fb = Fоb + Fu.

Рассмотрим планетарный редуктор, у которого входным звеном является солнечная шестерня 1, выходным звеном – эпицикл 1', тормозным

–водило 01.

Втаком случае уравнение для данного механизма будет следующим:

160

1

Ft

2Ft Ft

Ft

2Ft

вщ

вщ Мвщ

Рис. 7.4. Схема нагружения планетарного механизма

Рассмотрим планетарный редуктор, у которого входным звеном является солнечная 1 шестерня, выходным – водило, тормозным – эпицикл.

Тогда уравнение для данного механизма будет

М1 1 + М01 01 = 0, М01 = -М1 1 / 01.

Учитывая, что эпицикл заторможен, находим

7.3. Многорядные планетарные механизмы

Рассмотрим многорядный планетарный механизм, который имеет р планетарных рядов, содержащих каждый по три центральных звена (солнце, эпицикл, водило). Некоторые центральные звенья связаны с внешними валами (ведущим, ведомым, тормозными), а некоторые образуют внутренние междурядные связи. Задача кинетостатического анализа многорядных планетарных механизмов заключается прежде всего в определении внутренних моментов, действующих в рядах на центральные звенья механизма, а также внешних моментов, приложенных к ведомому валу и тормозным звеньям. Кроме того, в задачу кинетостатического расчёта входит оценка рационального распределения мощности, передаваемой отдельным звеньям механизма.

161

После определения внутренних моментов по известным радиусам зубчатых колёс вычисляются усилия в зацеплениях и определяются нагрузки на оси сателлитов.

Для определения неизвестных моментов составляется система уравнений, в которую входят:

–уравнения сохранения энергии рядов;

–уравнения равновесия концевых звеньев, связанных с ведущими, ведомым и тормозным звеньями;

–другие уравнения, к которым в зависимости от схемы многорядного механизма могут относиться:

–уравнения равновесия общих звеньев, не имеющих связей с концевыми валами, называемые уравнениями внутренних связей;

–уравнение для определения момента на ведомом валу для механизма в целом

Мвм = -u·Mвщ;

- уравнение равновесия для механизма в целом

Мвщ + Мт + Мвм = О.

Решение составленной системы начинают с того уравнения конечного звена, к которому приложено только два момента: внутренний и внешний. Если таким звеном не является ведущее, то предварительно нужно определить внешний момент по уравнению сохранения энергии для механизма в целом. Получим внутренний момент на концевом звене. Далее определяют остальные внутренние моменты в этом ряду, пользуясь уравнениями сохранения энергии для рядов в целом. Затем по одному из общих звеньев переходят в следующий ряд и так до тех пор, пока не определят все неизвестные моменты.

7.4. Распределение мощности в многорядных планетарных механизмах

Для оценки рациональности распределения мощности, передаваемой отдельными звеньями механизма, строится эпюра распределения мощности. Это название связано с представлением, что поток внутренней условной мощности, превышающей подводимую, как бы циркулирует по замкнутому контуру, не выходя из этого контура. Наличие значительной циркулирующей мощности нежелательно, так как это приводит к увеличению размеров и снижению КПД механизма. Однако совсем обойтись без циркулирующей мощности в многорядных планетарных коробках передач не удается, и она допускается на передачах, включаемых на короткое время.

К структурным признакам, сопутствующим передачам с замкнутой мощностью, относятся следующие:

162

–наличие между зубчатыми рядами замкнутого контура из общих и сопряженных звеньев;

–присутствие в замкнутом контуре передачи хотя бы одного общего звена, к которому приложено не менее трех моментов (включая внешние);

–разделение мощности на выходе из замкнутого контура на полезную и циркулирующую.

При оценке нагруженности звеньев используют схему передачи с разметкой функций звеньев и типа рядов.

По функциям центральные звенья могут разделяться на ведомые, ведущие и тормозные.

Если угловая скорость центрального звена совпадает с действием момента от внутренней силы, то это звено называется ведомым, в противном случае звено ведущее. Остановленное звено называется

тормозным.

По функциям звеньев определяется назначение рядов:

–планетарным называется ряд, в состав которого входит одно тормозное звено (солнечная или эпициклическая шестерня), одно ведущее

иодно ведомое звено;

–простым называется ряд, в состав которого входит одно тормозное звено (водило), одно ведущее и одно ведомое;

–дифференциально-суммирующим называется ряд, в состав которого входит два ведущих и одно ведомое звено;

–дифференциально-разделяющим называется ряд, в состав которого входит два ведущих и одно ведомое звено.

Вкачестве меры загруженности i-го сечения k-го подвижного звена

многорядного механизма принимается единичная мощность i:

i = Pi / Pвщ; Pi = Mi i,

где Мi – крутящий момент i-го сечения k-го подвижного звена.

В соответствии с величиной единичной мощности, пренебрегая величиной потерь, многорядные планетарные механизмы делятся на три группы:

равнозагруженные, у которых единичная мощность во всех сечениях подвижных центральных звеньев i=1;

разгруженные, у которых имеются подвижные центральные звенья с сечениями, где i<1, а в остальных сечениях i=1;

перегруженные, у которых имеются подвижные центральные

звенья с сечениями, где i>1, i=1, i<1.

Равнозагруженные механизмы состоят из открытых междурядных

контуров (пример последовательности соединения двух эпициклических рядов). В разгруженных и перегруженных механизмах обязательно имеются замкнутые контуры, все или некоторые. В любом замкнутом контуре хотя бы один ряд является дифференциальным, и тип этого ряда

163

определяет загруженность механизма. Если на входе в контур расположен разделяющий дифференциальный ряд или на входе суммирующий, то механизм относится к группе разгруженных. Если на входе в контур расположен суммирующий дифференциальный ряд, или на выходе – разделяющий, то механизм относится к группе перегруженных. В замкнутом контуре возникают весьма большие внутренние моменты и соответственно мощности. В перегруженных контурах на отдельных участках создаётся избыток мощности, так как она замыкается внутри контура, а на выходном валу получаем только подведенную мощность.

Пример. Произвести структурный, кинематический и кинетостатический расчеты планетарной коробки передач (см. рис. 6.2).

Таблица 7.1

Исходные данные

7.4.1. Структурный анализ механизма

Степень свободы для планетарных механизмов определяется по следующей формуле:

W = 2p + 2 – λ = 2 3 + 2 – 6 = 2,

где р – число рядов; λ = 6 – число парных связей.

В данном планетарном механизме (см. рис. 6.2) имеется три планетарных ряда (р = 3), в состав которого входят пять центральных звеньев [вщ-1΄–2, 01–02–3΄, вм–2΄–03, 1, и 3]. Солнечная шестерня 1 и 3 не имеет парных связей. Она имеется между ведущим валом и эпициклической вщ–1΄ шестерней первого ряда, между эпициклической шестерней 1΄–2 первого ряда и солнцем второго ряда, имеется между водилом первого 01–02 и второго рядов, между водилом второго ряда и эпициклом 02–3΄ третьего ряда, между ведомым валом и эпициклом второго ряда вм–2΄, между эпициклом второго ряда и водилом третьего ряда 2΄–03.

Получается двухстепенной механизм, так как W=2 .Для данного механизма необходимо задать два закона движения, а именно: приводим в

164

движение ведущий вал с угловой скоростью вщ= 200с-1; включаем тормоз

Т1.

7.4.2. Аналитический метод кинематического анализа

Составляем систему уравнений.

Уравнения кинематики для рабочих рядов

В планетарном механизме (см. рис. 6.2) свободным звеном при включённом тормозе Т1 является звено 3, поэтому нерабочим является третий ряд, а первый и второй ряды являются рабочими. Итак, частная схема состоит из первого и второго рядов. Составляем уравнение

кинематики для указанных рабочих рядов:

1 = (1+k1) 01 - k1 1 ,

2 = (1+k2) 02 - k2 2..

Определяем характеристики планетарных рядов: k1 = z'1/z1 = 66 / 38 = 1,74; k2 = z'2/z2 = 80 / 46 = 1 74.

Уравнения постоянных и временных связей Ведущий вал имеет постоянную неподвижную связь с

эпициклической шестерней первого ряда и с солнечной шестерней второго

ряда. Данное сложное звено вращается с угловой скоростью

вщ = 1 = 2 = 200с-1.

Ведомый вал имеет постоянную неподвижную связь с эпициклической шестерней второго ряда. Данное сложное звено вращается с угловой скоростью

вм = 2 .

Включённый тормоз Т1 останавливает солнечную шестерню первого ряда. Угловая скорость данного звена равна 0.

1 = 0.

Водило первого ряда имеет постоянную неподвижную связь с водилом второго ряда. Данное сложное звено вращается с угловой скоростью

01 = 02.

Уравнение передаточного числа

u = вщ / вм.

Решая эту систему уравнений, находим угловые скорости звеньев и

передаточное число механизма:

вщ = 1 = 2 = 200с-1;

01 = (k1 вщ)/(1+k1) = 1,73·200/(1+1,73) = 126,73с-1;

165

0 = (1+k1) 01 - k1 вщ;вщ = (1+k2) 01 - k2 вм;

вщ - ((1+k2)k1 вщ)/(1+k1)= -k2 вм.

воспользуемся формулами

b1пр= - z1 / zb1( 1 - 01)= -38(0 – 126,73)/14 = 343,98 с-1.b2пр = -z1 / zb2( 2 - 02)= -46(200-126,73)/17 = 198,26 с-1.

Таблица 7.2

Результаты графического расчета

В таблицу входят данные, полученные при расчете графическим методом, что позволяет сравнить полученные результаты и проверить правильность вычислений и построений (см. пример).

7.4.3. Кинетостатический расчет механизма

Исходные данные для расчета выбираем по результатам аналитического расчета как более точного, т.е.

–передаточное число коробки передач при включении тормоза Т1: u= 2,35;

–число сателлитов в каждом ряду: q = 2 (табл.7.1);

–угловая скорость звеньев: (см. данные табл. 7.2);

–вращающий момент на ведущем валу: Мвщ =1000 Н∙м.

1.Составляем пространственную схему механизма (рис. 7.5). На схеме наносим направление угловых скоростей всех центральных звеньев, ведущего и ведомого валов в соответствии с их направлением вращения, т.е. учитываем знак (см. табл. 7.2).

2.Определяем величину и действие внешних моментов. Для этого составляем уравнение равновесия для механизма в целом по условию

∑Ммех = 0:

Мвщ + Мвм + Мтор = 0.

166

Определяем момент на ведомом валу и тормозной момент:

Мвм = - u Мвщ = -2,35∙1000 = -2350 Н·м.

Мтор = - Мвщ - Мвм = -1000- (-2350) = +1350 Н·м.

В соответствии с полученными знаками наносим моменты на пространственную схему.

3. Определяем моменты от действия внутренних сил. Для этого составляем уравнения равновесия для каждого центрального звена:

Уравнение равновесия для звеньев вщ-1′-2, 01- 02,1, 2′-вм Мвщ + М1′ + М2 = 0;

М01 + М02 = 0;

М1 + МТ = 0; Мвм + М2′ = 0.

Из этих уравнений находим

М1 = - МТ = - 1350 Н∙м. М2′ = -Мвм = + 2350 Н·м.

Для определения остальных внутренних моментов составляем

Рис. 7.5. Пространственная схема нагружения планетарной передачи

уравнения равенства моментов для рядов данного механизма без учета потерь:

М01 = -(1+k1)M1 , М02 = -(1+k2)M2;

М1′ = k1M1, М2′ = k2M2;

М01= М02= -(1+k1)M1 = -(1+1,74)·(-1350) = 3699 Н∙м; М1′ = k1M1 = 1,74·(-1350) = - 2350 Н∙м;

M2 = М2′/ k2 =2350 / 1,74 = 1350 Н∙м.

167

Правильность расчетов проверяем по формуле, определяющей равновесие устройства в целом,

Мвщ + М1′ + М2 = 1000 +(-2350)+ 1350 = 0.

4.Производим разметку сил в подвижных соединениях. Начинать лучше всего с того звена, к которому приложено не более двух моментов, и действие одного момента уже показано на схеме. Допустим, к звену 1 приложено два момента М1 и МТ, причем тормозной момент МТ уже указан на схеме. В таком случае сила F1, создающая момент М1, будет приложена так, чтобы уравновесить тормозной момент МТ. F1 = - Fb1. Определим направление силы F01 = -2 Fb1. Разметку сил другого ряда начинаем по общему сложному звену 01-02, к которому приложено тоже два момента и один уже указан на схеме. Далее действуем по образцу первого ряда.

5.Определяем функции центральных звеньев и выясняем назначение

рядов.

В первом ряду солнечная шестерня 1 является тормозным звеном, эпициклическая шестерня – ведущим звеном, так как направление угловой ω1΄ скорости противоположно действию внутреннего момента М1′. Водило является ведомым звеном. Данный ряд считается планетарным, так как состоит из тормозного, ведущего и ведомого звеньев.

Во втором ряду солнечная и эпициклическая шестерни являются ведомыми звеньями, а водило – ведущим звеном. В этой связи ряд будет дифференциально-разделяющим.

6.Построение диаграммы потока мощности дано на рис.7.6.

168

Определяем мощность на каждом звене по формулам:

Рвщ = |ωвщ∙Мвщ| = 200∙1000 = 2∙105 Вт, Р1 = |ω1∙М1| = 0∙1350 = 0,

Р01 = |ω01∙М01| = 126,73∙3699 = 4,71∙105 Вт, Р1′ = |ω1′∙М1′| = 200∙2350 = 4,71∙105 Вт, Р2 = |ω2∙М2| = 200∙1350 = 2,7∙105 Вт, Р02 = |ω02∙М02| = 126,73∙3699 = 4,71∙105 Вт, Р2′ = |ω2′∙М2′| = 200∙2350 = 4,71∙105 Вт, Рвм = |ωвм∙Мвм| = 85,5∙2350 = 2∙105 Вт.

В качестве меры загруженности i-го сечения многорядного механизма находим единичную мощность i для каждого звена.

вщ = Pвщ / Pвщ = 1;

1 = P1 / Pвщ = 0 / 2∙105 = 0;

01 = P01 / Pвщ = 4,7∙ 105/ 2∙105 = 2,35;

1′ = Р1′ / Pвщ = 4,7∙ 105/ 2∙105 = 2,35;

2 = P2 / Pвщ = 2,7∙105 / 2∙105 = 1,35;

02 = P02 / Pвщ = 4,7∙ 105/ 2∙105 = 2,35;

2′ = Р2′ / Pвщ = 4,7∙ 105/ 2∙105 = 2,35;вм = Pвм / Pвщ = 2∙ 105/ 2∙105 = 1.

Так как имеются звенья с величиной относительной мощности i > 1, i = 1 и i< 1, то рассматриваемый механизм является перегруженным. В данном механизме нагруженные ряды образуют замкнутый контур 1΄- b1- 01-02 - b2 - 1΄, в котором имеет место циркулирующая мощность, перегружающая звенья. Это может вызывать их повышенный износ.

8. ТРЕНИЕ В МЕХАНИЗМАХ

Трением называют явление, при котором возникает сила сопротивления относительному перемещению двух соприкасающихся тел.

Как показывают исследования, трение представляет собой сложный физико-химический процесс, протекающий как на макро-, так и на микроуровнях. В данном разделе изложены элементарные сведения по теории трения применительно к решению типовых задач теории механизмов и машин.

8.1. Виды трения

По видам относительного движения различают трение скольжения и трение качения. При трении скольжения одни и

169