2.11. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности

Принцип решения данной задачи состоит в определении составляющих силы гидростатического давления по двум направлениям с последующим геометрическим сложением этих частных сил. Выделим на некоторой цилиндрической поверхности АВ (рис. 2.17) элементарную площадку величиной dS.

Ее центр тяжести погружен в жидкость на глубину h. Если атмосферное давление равно р₀, то полное гидростатическое давление в центре тяжести площадки составит Тогда элементарная сила абсолютного давления равна

Эта сила направлена по нормали к площадке dS, проведенной через ее центр тяжести. Разложим силу dP на вертикальную dP_в и горизонтальную dP_г составляющие (рис. 2.17)

;

. (2.19)

Величины и равны площадям проекций площадки dS на горизонтальную x0y и вертикальную x0z плоскости, т. е. ; . Тогда формулы (2.19) примут вид

;

.

Интегрируем полученные зависимости по площади:

;

.

Первые слагаемые в правой части полученных формул равны соответственно и , где и – проекции площади фигуры AВ на плоскости x0y и z0y (см. рис. 2.17). Дли нахождения интеграла проведем через различные точки периметра площадки dS вертикальные образующие до пересечения с плоскостью x0y. В результате получим элементарный объем АВСD равный . Сравнив это выражение с подынтегральным выражением, по-

лучаем, что величина интеграла равна объему АВСD. Тогда вертикальная составлявшая будет

(объем АВСD). (2.20)

Итак, вертикальная составляющая силы гидростатического давления равна сумме силы внешнего давления на горизонтальную проекцию цилиндрической поверхности АВ и веса жидкости в объеме АВСD, ограниченного цилиндрической поверхностью АВ, вертикальными плоскостями АD и ВС и свободной поверхностью жидкости (рис. 2.17). Величина есть статический момент площади проекции поверхности АВ на вертикальную плоскость z0y относительно оси 0у, равный , где – глубина погружения центра тяжести площадки . Тогда получаем

. (2.21)

Выражение (2.21) идентично формуле (2.8) для силы давления на плоскую стенку. Поэтому величина равна силе абсолютного давления, под воздействием которого находится вертикальная плоская стенка, равная по площади вертикальной проекции цилиндрической поверхности. На основе формул (2.20) и (2.21) получаем, по правилу параллелограмма, силу абсолютного давления на поверхность АВ

. (2.22)

2.12. Закон Архимеда

Каково воздействие жидкости на погруженное в нее тело? Допустим, что в жидкость погружено тело сферической формы. Выберем координатные оси так, как показано на рис. 2.18.

Покажем силы, действующие на тело со стороны жидкости: Очевидно, что силы , а также равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому они исключаются из дальнейшего анализа. Проведем контурные линии АА' и ВВ', а также разделим тело на две части плоскостью АВ. На верхнюю часть поверхности жидкость воздействует с силой , а на нижнюю – . Результирующая сила равна . Находим и , воспользовавшись формулой (2.20): (объем АA'В'BСA); (объем АA'В'ВДA). Отсюда (объем АA'В'BСA) – (объем АA'В'ВДA) = (объем АСBDA).

(объем АСBDA). (2.23)

Формула (2.23) выражает закон Архимеда, согласно которому сила, с которой жидкость воздействует на погруженное в нее тело, равна весу жидкости в объеме погруженного тела.