2.10. Относительное равновесие жидкости во вращающемся сосуде

Относительным равновесием жидкости называется такой случай ее движения, при котором отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой, и вся масса жидкости движется как твердое тело. Предположим, что цилиндр, наполненный жидкостью до глубины , приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси 0z с угловой скоростью ω (рис. 2.16). Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости, и всю ее массу. По истечении некоторого времени вся жидкость будет вращаться с той же угловой скоростью ω, что и сосуд. Допустим, что такой момент времени наступил. Какую форму будет иметь поверхность равного давления, и в частности, свободная поверхность? Каков закон распределения гидростатического давления? Чтобы ответить на поставленные задачи, рассмотрим уравнение поверхности равного давления (2.15). Для нахождения проекций ускорения выберем в жидкости точку М и покажем ускорения, возникающие под действием сил, действующих в жидкости. Какие силы возникают в жидкости? Это – сила земного тяготения (направлена вертикально вниз) и сила центробежная (направлена вдоль оси 0х на периферию). В результате действия этих сил полное ускорение точки М будет складываться из ускорения свободного падения g и центробежного ускорения ε (рис. 2.16). Величина , где V – линейная скорость точки, r – радиус ее вращения. Тогда , где х – координата точки М (рис. 2.16). И полное ускорение равно . Проектируя величину W на координатные оси, получаем: , , . Тогда уравнение (2.15) примет вид

или .

После интегрирования имеем

.

Полученное уравнение линии равного давления является уравнением параболы с вершиной в некоторой точке А с координатой на оси 0z. Значит, при относительном равновесии жидкости во вращающемся сосуде поверхностью равного давления является параболоид вращения (см. свободную поверхность жидкости на рис. 2.16). Теперь установим закон распределения гидростатического давления. Для этого преобразуем основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.14) с учетом формул

или

Интегрируя при – постоянных величинах, получаем

(2.17)

где с – постоянная интегрирования. Для ее нахождения возьмем точку А на свободной поверхности (рис. 2.16). Для нее , (атмосферное давление), (координата вершины параболы). Toгда имеем и после подстановки в (2.17) находим

(2.18)

Проанализируем полученное уравнение (2.18). Для всех точек одной вертикали () сумма членов в правой части (2.18) постоянна: , поэтому закон распределения гидростатического давления будет следующим: или Видно, что гидростатическое давление изменяется в зависимости от z по линейному закону (ср. с формулой (2.6)).