3.14. Потери напора по длине трубопровода при переходном и турбулентном режимах движения жидкости

В разд. 3.11 было показано, что расчет потери напора по длине при ламинарном режиме движения производится по теоретической зависимости (3.43)

или . (3.51)

Зависимость (3.51) называется формулой Дарси-Вейсбаха. Итак, для ламинарного режима расчет производится по строгой математической зависимости (3.51). Приемлем ли такой метод расчета для переходного и турбулентного режимов? Ввиду сложности структуры турбулентного потока аналитической зависимости для этих режимов не получено. Тем не менее, экспериментальные данные исследователей показывают, что при переходном и турбулентном режимах, как и при ламинарном, потери напора по длине пропорциональны скоростному напору. Поэтому для переходного и турбулентного режимов, как и для ламинарного, расчетной зависимостью является формула Дарси-Вейсбаха (3.51). Однако, в отличие от ламинарного режима движения, нахождение коэффициента гидравлического трения для переходного и турбулентного потоков невозможно теоретическим путем. В связи с этим были проведены систематические экспериментальные исследования гидравлического сопротивления трубопроводов, на основе которых получены эмпирические зависимости для расчета коэффициента при переходном и турбулентном режимах движения. Приведем основные сведения, касающиеся данного вопроса.

При переходном и турбулентном режимах движения жидкостей коэффициент гидравлического трения зависит в общем случае не только от значения числа Рейнольдса (как при ламинарном режиме), но и от шероховатости стенок труб. Последняя величина может быть количественно оценена некоторой усредненной величиной абсолютной шероховатости Δ, представляющей собой среднюю высоту выступов шероховатости на внутренней поверхности труб. Величина Δ зависит от материала трубопровода, способа изготовления трубопровода и срока его эксплуатации. Влияние шероховатости на коэффициент определяется соотношением между величиной Δ и толщиной вязкого подслоя , движение жидкости в котором можно считать ламинарным. Так, на рис. 3.24 показан случай, когда Δ, и такие трубы называются гидравлически гладкими, а на рис. 3.25 имеем , и такие трубы считают гидравлически шероховатыми.

Не следует забывать, что понятия "гладкая" и "шероховатая" труба являются относительными, так как величина зависит от числа Re. Покажем это. Градиент скорости в пределах вязкого подслоя можно определить в виде , где – толщина вязкого подслоя; W – скорость жидкости на его внешней границе; h – направление по нормали к стенке. Тогда напряжение трения на стенке, в соответствии с законом внутреннего трения Ньютона (1.8), будет

или или ,

где – динамическая скорость (см. разд. 3.13). Отсюда толщина равна: или . По опытным данным И. Никурадзe Тогда . Для дальнейшего вывода необходимо знать влияние гидравлического уклона на динамическую скорость . Эта зависимость устанавливается из основного уравнения равномерного движения (3.35): . Для круглой трубы . Поэтому имеем . Отсюда . Из (3.51) видно, что . Тогда динамическая скорость равна или , а толщина вязкого подслоя составит Последнее выражение можно преобразовать, учитывая, что , поэтому имеем

. (3.52)

Анализ формулы. (3.52) показывает, что при увеличении числа Re величина уменьшается; это означает, что при малых значениях числа Re труба может быть гладкой, а при больших значениях Re эта же труба может быть шероховатой.

Проделанный теоретический вывод (3.52) подтверждается опытными данными, показывающими, что при переходном и турбулентном режимах движения возможны три различные зоны трения (сопротивления):

1) зона гладкого сопротивления (величина зависит только от числа Re, а потери напора пропорциональны скорости в степени 1,75, т. е. );

2) зона доквадратичного сопротивления (величина зависит как от числа Re, так и от шероховатости, а потери напора пропорциональны скорости в переменной степени 1,75...2,0; т.е. );

3) зона квадратичного сопротивления (величина практически не зависит от числа Re и определяется только шероховатостью стенок труб, а потери напора пропорциональны скорости в степени 2, т. е. . Кроме того, опыты показывают, что при одной и той же абсолютной шероховатости Δ ее влияние на величину гидравлических потерь различно в трубах разного диаметра. Поэтому было введено понятие относительной шероховатости , и в общем случае при переходном и турбулентном режимах движения . Первые систематические опыты для выявления характера зависимости от Re и были проведены в 1933 году И.Никурадзе в гладких латунных трубах и в трубах с искусственной равномерно-зернистой шероховатостью из кварцевого песка. Песок был нанесен сплошным слоем на внутреннюю поверхность труб разного диаметра. В подготовленных таким образом трубах Никурадзе измерял потери напора, а затем по формуле (3.51) определял коэффициент трения . Результаты своих экспериментов Никурадзе изобразил на графике, названном его именем. На рис. 3.26 показан график Никурадзе.

I

II

III

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6

Рис. 3.26

ε = 1/30

ε = 1/60

ε = 1/120

ε = 1/500

Из рис. 3.26 видно, что при ламинарном режиме движения (Re < 2300 или lg Re < 3,3) все опытные точки, независимо от шероховатости, ложатся на линию I. Итак, подтверждается, что при ламинарном режиме шероховатость не влияет на гидравлическое сопротивление. При переходном и турбулентном режимах (Re > 2300 или lg Re > 3,3) опытные точки до некоторых значений числа Re совпадают с линией II. Эта линия получена при испытании гладких труб без искусственной шероховатости. Затем опытные точки отклоняются в сторону больших значений , причем чем меньше шероховатость, тем при больших значениях Re начинается это отклонение. Таким образом, для данной области при малых значениях Re и шероховатость не оказывает влияние на сопротивление. При больших значениях Re коэффициент не зависит от числа Re и для заданного значения сохраняет постоянную величину (линии III). Итак, графиком Никурадзе подтверждается вышеизложенное положение о существовании трех зон гидравлического сопротивления.

В последующие годы были проведены систематические исследования гидравлического сопротивления технических (реальных) трубопроводов. В результате были получены зависимости, несколько отличающиеся от тех, которые ранее получил И. Никурадзе. Ниже на рис. 3.27 изображен график ВТИ (Г.А. Myрина). Очевидно, что здесь нет впадины в доквадратичной зоне сопротивления (а на графике Никурадзе она имеется). Кроме этого, по Никурадзе, в доквадратичной зоне λ меньше, чем в квадратичной, а по графику Мурина – наоборот. Поскольку Никурадзе проводил опыты на трубах с искусственной равномерно-зернистой шероховатостью, то считают, что отличие его результатов от результатов Мурина и других исследователей, изучавших работу технических трубопроводов, вполне закономерно. При определении коэффициента λ предпочтение отдают графику Мурина, который имеется практически во всех книгах по гидравлике.

Во многих случаях (например, при расчете трубопроводов на ЭВМ) предпочтительней пользоваться для определения коэффициента λ не графиком Мурина, а расчетными зависимостями, обобщающими цифровые значения этого графика. Так, для зоны гладкого трения рекомендуют формулу Блазиуса

, (3.53)

пригодную для диапазона 2300 < Re < 100 000 или формулу Конакова

, (3.54)

пригодную для зоны гладкого трения и любого значения числа Re. Границу между зонами гладкого и доквадратичного сопротивления находят по формуле

(3.55)

Re_кр2

Рис. 3.27

Границу (см. рис. 3.27) между зонами доквадратичного и квадратичного сопротивления находят по формуле

. (3.56)

Для доквадратичной зоны сопротивления коэффициент λ определяют из соотношения

, (3.57)

а для квадратичной зоны

(3.58)

Заметим, что формула (3.57) пригодна для любой зоны сопротивления при турбулентном режиме движения.

Кроме зависимостей (3.54), (3.57), (3.58), для расчета коэффициента гидравлического трения имеется ряд других формул, равноценных данным. Для расчета гидравлического сопротивления трубопровода при его работе в квадратичной зоне трения используют, кроме формулы Дарси-Вейсбаха, т. н. водопроводные формулы (первую и вторую), которые получают из формулы Шези. Установим зависимость Шези, а затем на ее основе – 1-ю и 2-ю водопроводные формулы. По опытным данным, касательные напряжения на стенке канала для квадратичной зоны сопротивления равны , где – опытный коэффициент пропорциональности. С другой стороны, по основному уравнению равномерного движения . Приравнивая правые части этих формул, получим . Отсюда

, или , (3.59)

где – коэффициент Шези. Выражение (3.59) называется формулой Шези; она пригодна для определения средней скорости установившегося движения в напорных трубопроводах и открытых руслах в квадратичной зоне сопротивления. Практическое использование формулы Шези невозможно без знания коэффициента С в формуле (3.59). Этот коэффициент находят по эмпирическим зависимостям, наиболее распространенной из которых является формула академика Н.Н. Павловского

, (3.60)

где n – коэффициент шероховатости стенок трубопровода (имеется в приложениях книг по гидравлике); у – переменный показатель степени, равный ; – гидравлический радиус.

Перейдем к выводу водопроводных формул. Для этого преобразуем формулу Шези (3.59)

.

Отсюда потери по длине равны

.

Умножим числитель и знаменатель в этой формуле на

, или (3.61)

Зависимость (3.61) называется первой водопроводной формулой. Сравнивая (3.61) и (3.51), замечаем, что первая водопроводная формула превращается в формулу Дарси-Вейсбаха при . Подставим в данное выражение формулу (3.60), получим

. (3.62)

Формула (3.62) может быть использована, наряду о зависимостью (3.59), для расчета коэффициента гидравлического трения λ в квадратичной зоне сопротивлеиия. Для получения второй водопроводной формулы преобразуем выражение (3.61), подставив в него выражение скорости из закона сплошности потока :

,

или

, (3.63)

где или, с учетом формулы Павловского (3.60),

Выражение (3.63) называется второй водопроводной формулой. Она устанавливает зависимость напора по длине от расхода жидкости и длины трубопровода в квадратичной зоне сопротивления.

Изложенное приводит к выводу, что расчет гидравлического сопротивления трубопроводов при переходном и турбулентном режимах движения сложнее, чем при ламинарном, и производится с использованием целого ряда эмпирических зависимостей для коэффициента гидравлического трения.