3.7. Некоторые практические приложения уравнения Бернулли
3.7.1. Классификация отверстий и насадков,
основные характеристики истечений
В
инженерной практике встречаются задачи
создания водяных завес, быстрого
опорожнения резервуаров, конструирования
сопел и форсунок. Их решение невозможно
без знания процессов истечения жидкостей
из отверстий
и насадков. Дадим несколько определений.
Отверстием в тонкой
стенке называется отверстие, для
которого соблюдается условие
(рис. 3.7); такое отверстие не влияет на
форму струи и условия истечения жидкости,
а создает лишь местные потери энергии,
аналогичные потерям при внезапном
сужении потока. На некотором расстоянии
от отверстия (обычно равном половине
диаметра струи) образуется так называемое
сжатое сечение С–С, в котором заканчивается
сжатие струи. Коэффициентом сжатия
струи ε называется отношение площади
сечения струи
к площади отверстия S:
Коэффициент сжатия струи обычно равен
0,64–0,60.
Отверстием с полным сжатием струи называется такое отверстие, в котором струя испытывает сжатие со всех сторон. Отверстием с неполным сжатием струи называется такое отверстие, когда вытекающая из него струя не имеет сжатия с одной или нескольких сторон. Отверстием с совершенным сжатием называется такое отверстие, при котором стенки резервуара не влияют на условие сжатия струи (кромка отверстия находится на расстоянии от стенки более 2–3 диаметров отверстия). Отверстием с несовершенным сжатием называется такое отверстие, когда не соблюдается условие отверстия с совершенным сжатием. Примеры указанных типов отверстий несложно привести самостоятельно.
Для увеличения расхода вытекающей из сосуда жидкости или для увеличения скорости струи применяются насадки. Насадок – короткая труба, присоединенная к отверстию в тонкой стенке. Насадки делятся на цилиндрические (рис. 3.8), конические (рис. 3.9) и коноидальные (рис. 3.10). Цилиндрические насадки бывают внешние и внутренние (см. рис. 3.8); их длина равна 3–5 диаметров отверстия.
В насадке образуется сжатое сечение С–С, а в зоне этого сечения возникает вакуум. В связи с этим увеличивается пропускная способность отверстия в стенке бака. Конические расходящиеся насадки (см. рис. 3.9) характеризуются потерями напора, значительным вакуумом в сжатом сечении, большой пропускной способностью, малой скоростью струи. Оптимальный угол конусности составляет 5–7º. Конические сходящиеся насадки (см. рис. 3.9) используются для увеличения скорости вытекающей струи. Пропускная способность такого насадка имеет наибольшее значение при угле конусности примерно 13º, так как при таком угле площадь сжатого сечения струи примерно равна площади выходного сечения насадка. Коноидальный насадок (см. рис. 3.10) – усовершенствованный конический сходящийся насадок, имеющий форму вытекающей струи; в нем отсутствует сжатие струи, и поэтому потери энергии в струе сведены до минимума.
3.7.2. Истечение при постоянном напоре
Незатопленное oтвepстиe в тонкой стенке. Пусть на рис 3.11 показано незатопленное малое отверстие в тонкой стенке. Центр тяжести сжатого сечения Sс находится на расстоянии Н = const от свободной поверхности жидкости; площадь отверстия равна S. Установим скорость струи и расход жидкости через отверстие в стенке. С этой целью воспользуемся уравнением Бернулли (3.15) записав его для сечений I–I и С–С относительно плоскости сравнения 0–0:
где
– потери напора (энергии) вытекающей
из отверстия cтруи;
– коэффициент сопротивления истечению
жидкости через отверстие. Ввиду малости
сечения струи полагаем, что давление в
сжатом сечении С–С равно атмосферному
.
Обозначим
– полный напор. Тогда уравнение Бернулли
примет вид
Отсюда скорость в сжатом сечении струи будет
(3.16)
где
– коэффициент скорости при истечении
через отверстие. Найдем расход жидкости
через отверстие
(3.17)
Обозначим
– коэффициент расхода жидкости через
отверстие, тогда формула (3.17) примет вид
(3.18)
Коэффициент µ определяется опытным путем и для малых отверстий равен 0,62–0,60. В случае несовершенного или неполного сжатия струи величина µ несколько больше.
Затопленное отверстие в тонкой стенке. Искомыми являются те же параметры, что и в предыдущей задаче. Изобразим затопленное отверстие (рис. 3.12). Запишем уравнение Бернулли для сечений I–I и С–С относительно плоскости сравнения 0–0, проходящей через центр тяжести отверстия
где
– потери напора при истечении жидкости
через затопленное отверстие. Пренебрегаем
слагаемым
ввиду его малости и принимаем во
внимание, что в соответствии с основным
уравнением гидростатики (2.6)
.
С учетом этого уравнение Бернулли
упростится
Отсюда
(3.19)
где
– коэффициент скорости. Расход жидкости
равен
(3.20)
Формула (3.20) аналогична зависимости (3.18) для незатопленных отверстий. Коэффициент pacxoдa µ для затопленных отверстий, как и для незатопленных, равен 0,62–0,60.
Истечение через насадки. Решим задачу истечения жидкости через внешний цилиндрический насадок. Установим скорость струи, расход жидкости и величину вакуума в сжатом сечении. Предположим, что насадок, имеет длину l и внутренний диаметр d (рис. 3.13).
Вначале определим скорость вытекающей струи и расход жидкости. Для этого выберем плоскость сравнения 0–0 и запишем уравнение Бернулли для сечений I–I и b–b:
При этом полагаем,
что кинетические коэффициенты
,
а
– потери напора при движении жидкости
через насадок. С учетом того, что полный
напор равен
,
получаем
(3.21)
Здесь
– суммарный коэффициент сопротивления,
учитывающий потери напора при сжатии
струи
,
расширении
и потери напора по длине насадка
:
.
Коэффициент
находится через площади сжатого и
несжатого сечений:
Коэффициент
сопротивления по длине равен
.
Поэтому имеем
Тогда формула (3.21) примет вид
Отсюда искомая скорость равна
(3.22)
где
– коэффициент скорости насадка. Расход
жидкости через насадок равен
(3.23)
Так как в выходном
сечении b–b
насадок работает полным сечением, то
коэффициент сжатия
,
и тогда коэффициент расхода жидкости
через насадок равен коэффициенту
скорости
Выражения (3.22) (3.23) справедливы для
насадков всех типов, так как при их
выводе не были
сделаны какие-либо допущения относительно
типа насадка. Формулы (3.22) и (3.23) справедливы
также для отверстий в толстой стенке.
Teпepь найдем величину вакуума в насадке. С этой целью составим уравнение Бернулли для сечения С–С и b–b относительно плоскости сравнения 0–0:
Так как вакуум –
это недостаток давления до атмосферного,
то очевидно, что
.
Поэтому
(3.24)
Здесь
– суммарный коэффициент сопротивления,
учитывающий потери энергии при расширении
жидкости в насадке и потери энергии по
длине при движении жидкости от сечения
С–С до сечения b–b.
Однако ввиду того, что насадок имеет
малую длину, потерями по длине можно
пренебречь. Тогда
Так как
и по закону сплошности потока
,
то
.
Тогда (3.24) примет вид
,
или
.
(3.25)
Выразим
через напор
.
Для этого подставим выражение (3.22) в
формулу (3.25):
(3.26)
Например, для
внешнего цилиндрического наседка
,
и тогда
.
Однако на практике предельное значение
не превышает 8 м вод. ст., так как при
большем вакууме насадок работает
неустойчиво (происходит подсос воздуха
через сечение b-b).
Поэтому напор, при котором работает
насадок, не должен превышать следующего
предельного значения
(3.27)