Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

1 / 341 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

А. П. ПОТАПОВ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Теория, задачи и упражнения

Учебное пособие
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................................................................	8
Часть . Теория..............................................................................................	10
1. Линейная алгебра......................................................................................	10
1.1. Определители.................................................................................	20
1.1.1. Определители 2-го и 3-го порядка....................................	20
1.1.2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка..................	21
1.1.3. Миноры и алгебраические дополнения элементов
матрицы 3-го порядка..................................................................................	23
1.1.4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или
столбцу...........................................................................................................	25
1.1.5. Определители 4-го порядка...............................................	27
1.1.6. Определители n-го порядка...............................................	30
1.1.7. Определитель Вандермонда..............................................	32
1.2. Матрицы........................................................................................	34
1.2.1. Виды матриц, равенство матриц.......................................	34
1.2.2. Линейные действия с матрицами и их свойства.............	36
1.2.3. Умножение матриц и его свойства...................................	38
1.2.4. Обратная матрица и ее свойства.......................................	41
1.2.5. Ранг матрицы......................................................................	45
1.3. Системы линейных уравнений.....................................................	49
1.3.1. Основные понятия..............................................................	49
1.3.2. Решение систем линейных уравнений матричным
способом........................................................................................................	51
1.3.3. Решение систем линейных уравнений по формулам
Крамера.........................................................................................................	52
1.3.4. Исследование систем линейных уравнений....................	54

1.3.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.	58
1.3.6. Однородные системы линейных уравнений....................	60
1.3.7. Собственные значения и собственные векторы
квадратных матриц.......................................................................................	64
2. Векторная алгебра....................................................................................	68
2.1. Линейные действия с векторами..................................................	68
2.1.1. Основные понятия..............................................................	68
2.1.2. Линейные действия с векторами и их свойства..............	71
2.1.3. Условия коллинеарности и компланарности векторов..	74
2.1.4. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.....	78
2.1.5. Разложение вектора по базису..........................................	81
2.2. Умножение векторов.....................................................................	87
2.2.1. Проекция вектора на ось и ее свойства............................	87
2.2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства..........	89
2.2.3. Векторное произведение векторов и его свойства..........	92
2.2.4. Смешанное произведение векторов и его свойства........	97
2.3. Системы координат.......................................................................	100
2.3.1. Прямоугольная декартова система координат................	100
2.3.2. Действия с векторами в прямоугольной декартовой
системе координат.......................................................................................	103
2.3.3. Полярная система координат на плоскости....................	108
2.3.4. Цилиндрическая и сферическая системы координат в
пространстве.................................................................................................	110
2.4. Геометрические задачи.................................................................	113
2.4.1. Вычисление модуля, направляющих косинусов
и проекций векторов.....................................................................................	113
2.4.2. Деление отрезка в данном отношении.............................	115
2.4.3. Вычисление расстояния между двумя точками и угла
между двумя векторами...............................................................................	116
2.4.4. Вычисление площадей и объемов.....................................	118
3. Аналитическая геометрия на плоскости................................................	121
3.1. Линии на плоскости......................................................................	121
3.1.1. Преобразование прямоугольных координат на
плоскости.......................................................................................................	121
3.1.2. Уравнение линии на плоскости.........................................	126

3.2. Прямая на плоскости.....................................................................	134
3.2.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости..........	134
3.2.2. Геометрические задачи на прямую линию на
плоскости.......................................................................................................	143
3.3. Кривые 2-го порядка.....................................................................	152
3.3.1. Эллипс.................................................................................	153
3.3.2. Гипербола............................................................................	158
3.3.3. Парабола..............................................................................	165
3.3.4. Общие свойства кривых 2-го порядка..............................	167
3.3.5. Исследование общего уравнения кривых 2-го порядка.	171
3.3.6. Приведение общего уравнения кривых 2-го порядка
к каноническому виду..................................................................................	174
4. Аналитическая геометрия в пространстве.............................................	179
4.1. Поверхности и линии в пространстве.........................................	179
4.1.1. Уравнение поверхности в пространстве..........................	179
4.1.2. Уравнения линии в пространстве.....................................	183
4.2. Плоскость и прямая в пространстве............................................	185
4.2.1. Различные виды уравнений плоскости............................	185
4.2.2. Основные задачи на плоскость в пространстве...............	192
4.2.3. Различные виды уравнений прямой в пространстве.......	196
4.2.4. Основные задачи на прямую в пространстве..................	202
4.2.5. Основные задачи на прямую и плоскость в
пространстве.................................................................................................	205
4.3. Поверхности 2-го порядка............................................................	208
4.3.1. Цилиндрические поверхности..........................................	208
4.3.2. Конические поверхности...................................................	211
4.3.3. Поверхности вращения......................................................	214
4.4.4. Эллипсоиды........................................................................	216
4.4.5. Гиперболоиды.....................................................................	218
4.4.6. Параболоиды......................................................................	221
4.4.7. Общее уравнение поверхности 2-го порядка..................	224
Часть . Задачи и упражнения....................................................................	229
5. Линейная алгебра......................................................................................	229
5.1. Определители.................................................................................	229
5.1.1. Определители 2-го порядка...............................................	229

5.1.2. Определители 3-го порядка...............................................	231
5.1.3. Определители порядка выше 3-го....................................	232
5.1.4. Определители Вандермонда..............................................	233
5.1.5. Определители n-го порядка...............................................	234
5.1.6. Дополнительные задачи....................................................	235
5.2. Матрицы.........................................................................................	236
5.2.1. Действия над матрицами.......................................................	236
5.2.2. Обратная матрица...................................................................	238
5.2.3. Ранг матрицы..........................................................................	239
5.2.4. Дополнительные задачи........................................................	240
5.3. Системы линейных уравнений.....................................................	242
5.3.1. Формулы Крамера..............................................................	242
5.3.2. Матричный способ.............................................................	243
5.3.3. Метод Гаусса......................................................................	243
5.3.4. Однородные системы.........................................................	244
5.3.5. Собственные числа и собственные векторы....................	244
5.3.6. Дополнительные задачи....................................................	245
6. Векторная алгебра....................................................................................	247
6.1. Действия с векторами...................................................................	247
6.1.1. Линейные действия с векторами......................................	247
6.1.2. Умножение векторов.........................................................	249
6.1.3. Дополнительные задачи....................................................	251
6.2. Геометрические задачи.................................................................	252
6.2.1. Прямоугольная декартова система координат………… 252
6.2.2. Полярные, цилиндрические и сферические
координаты....................................................................................................	256
6.2.3. Дополнительные задачи....................................................	258
7. Аналитическая геометрия на плоскости................................................	259
7.1. Преобразование координат. Линии на плоскости......................	259
7.1.1. Преобразование декартовых координат..........................	259
7.1.2. Уравнения линий на плоскости........................................	260
7.2. Прямая на плоскости.....................................................................	261
7.2.1. Уравнения прямой на плоскости......................................	261
7.2.2. Основные задачи................................................................	262
7.2.3. Дополнительные задачи....................................................	263

7.3. Кривые 2-го порядка.....................................................................	264
7.3.1. Окружность.........................................................................	264
7.3.2. Эллипс.................................................................................	265
7.3.3. Гипербола............................................................................	266
7.3.4. Парабола.............................................................................	267
7.3.5. Дополнительные задачи....................................................	268
8. Аналитическая геометрия в пространстве.............................................	269
8.1. Линии и поверхности в пространстве.........................................	269
8.2. Плоскость и прямая в пространстве............................................	271
8.2.1. Основные задачи................................................................	271
8.2.2. Дополнительные задачи....................................................	274
8.3. Поверхности 2-го порядка............................................................	274
8.3.1. Основные задачи................................................................	274
8.3.2. Дополнительные задачи....................................................	275
9. Ответы.......................................................................................................	276
9.1. Линейная алгебра..........................................................................	276
9.1.1. Определители.....................................................................	276
9.1.2. Матрицы..............................................................................	278
9.1.3. Системы линейных уравнений..........................................	282
9.2. Векторная алгебра.........................................................................	287
9.2.1. Действия с векторами........................................................	287
9.2.2. Геометрические задачи......................................................	288
9.3. Аналитическая геометрия на плоскости.....................................	292
9.3.1. Преобразование координат. Линии на плоскости….......	292
9.3.2. Прямая на плоскости..........................................................	296
9.3.3. Кривые 2-го порядка..........................................................	302
9.4. Аналитическая геометрия в пространстве..................................	304
9.4.1. Линии и поверхности в пространстве..............................	304
9.4.2. Плоскость и прямая в пространстве.................................	305
9.4.3. Поверхности 2-го порядка.................................................	306
Приложения...................................................................................................	309
Приложение 1. Образцы контрольных работ....................................	310
Приложение 2. Ответы и решения контрольных работ....................	317
Библиографический список.........................................................................	341

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие по Линейной алгебре и Аналитической геометрии включает те разделы Высшей математики, которые, как правило, изучаются на технических факультетах Вузов в 1-м семестре. Пособие состоит из 2-х частей и Приложения. В первой части излагаются теория и методы решения основных задач по следующим разделам курса Высшей математики:

1.Линейная алгебра.

2.Векторная алгебра.

3.Аналитическая геометрия на плоскости.

4.Аналитическая геометрия в пространстве.

Каждый раздел разбит на подразделы, в которых изложение теоретического материала сопровождается большим количеством разобранных примеров.

Вторая часть пособия является задачником по указанным разделам курса. В задачник включено более 650 типовых задач по всем рассматриваемым темам. Большое количество задач позволяет студентам практически закрепить соответствующие разделы курса. В каждой теме выделены дополнительные задачи для сильных студентов. Ко всем задачам приведены ответы в конце задачника.

В Приложении даны образцы контрольных работ по каждой теме с ответами и решениями. Ознакомление с этими материалами позволит студентам основательно и качественно подготовиться к контрольным работам.

При написании пособия использован многолетний опыт работы автора на технических факультетах Санкт-Петербургского государственного Политехнического университета.

Автор выражает благодарность профессору Ю.Д. Максимову за ценные замечания по рукописи.

Автор признателен профессору В.И. Антонову за внимание, проявленное им к данной работе и доценту С.М. Дудкину, инициировавшему появление пособия.

В пособии использованы следующие обозначения и сокращения.

1.Если A и B — некоторые высказывания (утверждения), то запись A B означает: «из A следует B»; запись A B означает эквивалентность высказываний: «для A необходимо и достаточно B».

2.Запись «Опр.» означает «определение».

3.Запись «Упр.» означает «упражнение».

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. В данном пособии мы коснемся лишь той части раздела, которая изучает системы линейных уравнений и связанные с ними такие математические инструменты, как теория определителей и матриц.

При решении разнообразных практических задач люди сталкиваются с необходимостью решать те или иные алгебраические уравнения или системы таких уравнений. Простейшими из них являются системы линейных уравнений.

Опр. Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида:

		,	(1.1)
где	— коэффициенты системы (заданные числа);		— свободные
члены (заданные числа); — неизвестные,			;
	Коэффициенты системы	обозначаются двумя индексами,

причем первый индекс означает номер уравнения системы, а второй индекс — номер неизвестной. Свободные члены системы обозначаются одним индексом, который означает номер уравнения системы. Неизвестные обозначаются также одним индексом; если число неизвестных равно 2 или 3, то чаще всего их обозначают буквами

Например, система 2-х линейных уравнений с 2-я неизвестными

имеет вид:
,	(1.2)

где	,	,	,	— коэффициенты системы; , — свободные
члены;	,	— неизвестные.

Другие примеры систем линейных уравнений:

— система 3-х линейных уравнений с

3-я неизвестными,

— система 3-х линейных уравнений с 2-я неиз-

вестными,

— система 2-х линейных уравнений с

3-я неизвестными и т. д.

Системы линейных уравнений можно задать таблицами чисел:

или

Такие таблицы чисел называются матрицами.

Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество строк и столбцов. Сами числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы.

Для системы линейных уравнений (1.1) вводятся следующие матрицы:

— основная матрица,

— матрица сво-

бодных членов;

— расширенная матрица,

— мат-

рица неизвестных.

	Например, для системы (1.2)	2-х линейных уравнений с 2-я не-
известными:
	— основная матрица,	— матрица свободных чле-
нов,	— расширенная матрица,		— матрица неиз-

вестных.

Примеры.

(A):	,	— основная матрица,	— матрица
свободных членов,		— расширенная матрица системы.
(В):	,	— основная матрица,	— мат-
рица свободных членов,		— расширенная матрица
системы.
(C):	,	— основная матрица,	— матрица
свободных членов,		— расширенная матрица системы.
	Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то
матрица называется квадратной:

— квадратная матрица n-го порядка. Элементы


,	, …,	образуют главную диагональ, а элементы		,	,
…,	образуют побочную диагональ матрицы.
Опр. Решением системы (1.1) называется упорядоченный набор
чисел (		…,	), который при подстановке в систему линей-
ных уравнений дает m верных равенств:

1 / 341 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf