Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

1.202.

. 1.203.

1.204. .

5.3.2. Матричный способ

Решить системы линейных уравнений матричным способом (№

1.205 – 1.213).

1.205.	. 1.206.	.
1.207.	. 1.208.	.
1.209.	. 1.210.	.
1.211.	. 1.212.	.
1.213.	.

5.3.3. Метод Гаусса

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса (№ 1.214

–1.221).

−исследовать систему по теореме Кронекера–Капелли, указав ранги основной и расширенной матриц (r и r1);

−если система совместна, то указать число базисных и свободных переменных;

−найти общее решение системы и сделать проверку.

1.214.

. 1.215.

243

1.216.

. 1.217.

1.218.

1.219.

1.220.

1.221.

5.3.4. Однородные системы

Найти общее решение однородных систем линейных уравнений и сделать проверку (№ 1.222 – 1.227). Указать фундаментальную систему решений (ФСР).

1.222.	. 1.223.	.
1.224.	. 1.225.	.
1.226.		.
1.227.		.

5.3.5. Собственные числа и собственные векторы

Найти все (вещественные) собственные числа и соответствующие им собственные векторы матрицы (№ 1.228 – 1.240).

244

1.228.	. 1.229.	. 1.230.	.
1.231.	. 1.232.	.
1.233.	. 1.234.		.
1.235.	. 1.236.		.
1.237.	. 1.238.		.
1.239.	. 1.240.		.

5.3.6. Дополнительные задачи

1.241. Найти многочлен 2-й степени, удовлетворяющий условиям:

1.242. Найти многочлен		степени не выше двух, удовлетворяю-
щий условиям:		, где , , , , ,	— заданные
числа ( , ,	— различные числа).
Исследовать системы линейных уравнений (№ 1.243 – 1.246) на

совместность и определенность в зависимости от значений			, указать
число базисных и число свободных переменных ( и		).
1.243.	. 1.244.		.

245

1.245.

1.246.

Определить значения , при которых однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения (№ 1.247 – 1.248).

1.247.

. 1.248.

Найти фундаментальную систему решений (ФСР) однородных систем линейных уравнений (№ 1.249 – 1.250).

1.249.

1.250.

Найти общее решение систем линейных уравнений (№ 1.251 –

1.252).

1.251.

. 1.252.

1.253. Определить, при каких значениях матрица

имеет вещественные собственные числа. Найти эти собственные числа и соответствующие им собственные векторы.

246

1.254. Определить, при каких вещественных значениях матрица

имеет вещественные собственные числа. Найти эти собствен-

ные числа.

1.255. Найти все (вещественные) собственные числа и соответствую-

щие им собственные векторы матрицы		, где , — веще-
ственные числа,	.

1.256. Найти все (вещественные) собственные числа и соответствую-

щие им собственные векторы матрицы	, где — вещест-
венное число.

6. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

6.1.ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

6.1.1.Линейные действия с векторами

Точки K, L, M, N — середины сторон параллелограмма ABCD, = , = (см. рис. 6.1). Найти координаты вектора в базисе

(№ 2.1 – 2.12).

B C

A D

Рис. 6.1. К задачам № 2.1 – 2.12

2.1.	. 2.2.	. 2.3.	. 2.4.	.
2.5.	. 2.6.	. 2.7.	. 2.8.	.

247

2.9. . 2.10. . 2.11. . 2.12. .

Дан параллелепипед ABCD A1B1C1D1 (рис. 6.2). Точка K — центр грани ABA1B1, точка L — центр грани ABCD, точка M — центр грани AA1DD1, точка N — центр грани A1B1C1D1, точка P — центр

грани BB1CC1, точка Q — центр грани CDC1D1,						=	,	=	,
=	. Найти координаты вектора				в базисе		(№ 2.13 –
2.28).
			B1		C1
					C1
			A1		D1
					D1
			B
					C

		A		D
				D
		Рис. 6.2. К задачам № 2.13 – 2.28
2.13.	. 2.14.	. 2.15.		. 2.16.		.
2.17.	. 2.18.	. 2.19.		. 2.20.		.
2.21.	. 2.22.	. 2.23.		. 2.24.		.
2.25.	. 2.26.	. 2.27.		. 2.28.		.
	Доказать, что		— базис на плоскости и разложить вектор

по этому базису. Построить заданные векторы в ортонормирован-

ном базисе (№ 2.29 – 2.34).
2.29.	,	,	.
2.30.	,	,	.
2.31.	,	,	.
2.32.	,	,	.
2.33.	,	,	.
2.34.	,	,	.
Доказать, что			— базис в пространстве и разложить
вектор	по этому базису (№ 2.35 2.40).
248

2.35.	,	,		,	.
2.36.	,	,		,	.
2.37.	,	,		,	.
2.38.	,		,	,	.
2.39.	,	,		,	.
2.40.	,		,	,	.

6.1.2. Умножение векторов

Даны векторы

. Известны модули этих векторов и углы

между ними: p

, q

, r

, β

Вектор

является

линейной

комбинацией векторов

. Найти модуль вектора

(№ 2.41

2.48).

2.41.

, p

1, q 2, α

2.42.

, p

3, r

1, β

2.43.

, q

4, r

2, γ

2.44.

, p

2, q

1, α

2.45.

, p

1, q

1, r

2, α

, β

, γ

2.46.

, p

1, q

2, r

1, α

, β

, γ

2.47.

, p

3, q

1, r

2, α

, β

, γ

2.48.

, p

1, q

2, r

3, α

, β

, γ

d1 d2

Рис. 6.3. К задачам № 2.49 2.56

Даны единичные векторы	и угол между ними α	.
Векторы и являются линейными комбинациями векторов		.
		249

На векторах и построен параллелограмм (рис. 6.3). Найти площадь S этого параллелограмма и длины его диагоналей d1 и d2 (№ 2.49

2.56).
2.49.	3	,	3			, α					.
2.49.	3	,	3			, α					.
2.50.	3	,		, α						.
2.50.	3	,		, α						.
2.51.	2	,		4		, α								.
2.51.	2	,		4		, α								.
2.52.	3	,		5		, α					.
2.52.	3	,		5		, α					.
2.53.	2	,		3		, α					.
2.53.	2	,		3		, α					.
2.54.	3	,		5		, α					.
2.54.	3	,		5		, α					.
2.55.	4	,	3		2				, α							.
2.55.	4	,	3		2				, α							.
2.56.	4	,		2			, α						.
2.56.	4	,		2			, α						.
На векторах ,			,	построен параллелепипед. Известны модули
этих векторов и углы между ними:																		a,			b,	c, α	,
β	, γ			. Найти объем параллелепипеда (№ 2.57
2.64).
2.57. a	1, b	2, c	3, α					, β									, γ				.
2.57. a	1, b	2, c	3, α					, β									, γ				.
2.58. a	2, b	2, c	3, α				, β					, γ							.
2.58. a	2, b	2, c	3, α				, β					, γ							.
2.59. a	1, b	2, c	4, α				, β								, γ					.
2.59. a	1, b	2, c	4, α				, β								, γ					.
2.60. a	2, b	1, c	2, α				, β								, γ					.
2.60. a	2, b	1, c	2, α				, β								, γ					.
2.61. a	3, b	2, c	2, α				, β					, γ							.
2.61. a	3, b	2, c	2, α				, β					, γ							.
2.62. a	2, b	3, c	3, α				, β								, γ						.
2.62. a	2, b	3, c	3, α				, β								, γ						.
2.63. a	1, b	2, c	4, α				, β								, γ					.
2.63. a	1, b	2, c	4, α				, β								, γ					.
2.64. a	2, b	3, c	2, α					, β							, γ					.
2.64. a	2, b	3, c	2, α					, β							, γ					.

250

6.1.3. Дополнительные задачи
2.65. В правильном 5-угольнике ABCDE		(см. рис. 6.4)	,
. Разложить вектор	по базису	.
	C
B	D

A E

Рис. 6.4. К задаче № 2.65

2.66. В правильном 5-угольнике ABCDE (рис. 6.5)				,	.
Разложить векторы	и	по базису	.
		C
		B	D

A E

Рис. 6.5. К задаче № 2.66

2.67. Точка	— центр тяжести	ABC (рис. 6.6). Найти
	.

A C

Рис. 6.6. К задаче № 2.67

251

2.68. Дана пирамида ABCD (рис. 6.7), = ,	= , =	. Точка
— центр тяжести ABC. Разложить вектор	по базису	.
D

A C

Рис. 6.7. К задаче № 2.68

2.69. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность. Точка M — произвольная точка этой окружности. Найти сумму

MA2 MB2 MC2 MD2.

2.70. Около квадрата ABCD со стороной a описана окружность. Точка M — произвольная точка этой окружности. Найти сумму

MA2 MB2 MC2 MD2.

2.71.В куб со стороной a вписана сфера. Точка M — произвольная точка этой сферы. Найти сумму квадратов расстояний от точки M до вершин куба.

2.72.Найти отношение объема тетраэдра, построенного на некомпла-

нарных векторах , , , к объему тетраэдра, построенного на векто-

рах

6.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

6.2.1. Прямоугольная декартова система координат

Построить вектор в прямоугольной декартовой системе координат и отметить его направляющие углы. Найти модуль и

направляющие cos-ы вектора		(№ 2.73 – 2.84).
2.73.	. 2.74.	. 2.75.	.
2.76.	. 2.77.	. 2.78.	.
2.79.	. 2.80.	. 2.81.	.
2.82.	. 2.83.	. 2.84.	.
252

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf