Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3419 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Опр. Поверхность в пространстве называется поверхностью 2-го порядка, если она задается в некоторой прямоугольной декарто-

вой системе координат	алгебраическим уравнением 2-й степени
относительно переменных	:
	,
где	.

Примем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 3. Если поверхность в пространстве является поверхностью 2-го порядка в одной прямоугольной декартовой системе координат, то она остается поверхностью 2-го порядка и в любой другой прямоугольной декартовой системе координат.

Простейшим примером поверхности 2-го порядка является сфера, которая задается уравнением .

4.1.2. Уравнения линии в пространстве

Рассмотрим два способа задания линии в пространстве. Во-первых, линия в пространстве может быть задана как пере-


сечение двух поверхностей		и	. Если поверхности заданы урав-
нениями :	,	:	, то линия их пересече-
ния будет задана системой уравнений:				.
Опр. Система двух уравнений с тремя переменными					вида
	называется уравнениями линии			в пространстве, если
координаты	любой точки		, лежащей на линии ,		удовлетво-

ряют этой системе, а координаты любой точки, не лежащей на этой линии, ей не удовлетворяют.

Пример 1. Система уравнений		задает окружность
на плоскости	, как пересечение сферы	с
плоскостью	(рис. 4.5).

183

Рис. 4.5. Окружность как пересечение сферы и плоскости

Во-вторых, линия в пространстве может быть задана парамет-

рическими уравнениями.
Опр. Система уравнений				, t T (T — некий промежу-
ток) называется параметрическими уравнениями линии						в простран-
стве, если для любой точки				, лежащей на линии		, найдется
такое значение t		T, что	,	,	, а для точек, не
лежащих на линии		такого значения t не существует.
Здесь	,	— некоторые функции переменной t, назы-
ваемой параметром.
Пример 2.	Параметрическими		уравнениями		вида	,
t		задается винтовая линия (спираль, см. рис. 4.6).

Рис. 4.6. Винтовая линия

184

Параметрические уравнения линии имеют простой механический смысл. Если точка перемещается в пространстве, то уравнения

, , являются уравнениями движения, а линия

— траекторией движения точки, при этом параметр t означает время.

4.2. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

4.2.1. Различные виды уравнений плоскости

В разделе 4.1 показано, что любая плоскость в пространстве может быть задана в произвольной прямоугольной декартовой систе-

ме координат	линейным уравнением относительно переменных
:
			, где	.
При этом коэффициенты ,			, имеют простой геометрический
смысл: это координаты вектора				, перпендикулярного к дан-
ной плоскости:		Такой вектор называется вектором нормали

или нормальным вектором к данной плоскости, а уравнение называ-

ется общим уравнением плоскости. 1. Общее уравнение плоскости:

, .

Плоскость в пространстве можно задать и другими уравнениями, но эти уравнения всегда будут линейными относительно переменных . Различные виды уравнений плоскости в пространстве связаны с разными способами геометрического задания этой плоскости.

Рассмотрим сначала частные случаи общего уравнения, когда один, два или три из коэффициентов , , равны нулю. В этом случае уравнение плоскости называется неполным. Если все коэффициенты отличны от нуля , то уравнение прямой называ-

ется полным.

2. Неполные уравнения плоскости:

185


		(плоскость проходит через

начало координат).

			(плос-

кость параллельна оси	, см. рис. 4.7).

Рис. 4.7. Плоскость параллельна оси

(плоскость

параллельна оси

(плоскость

параллельна оси

(плоскость

проходит через ось

(плоскость

проходит через ось

(плоскость

проходит через ось

(плоскость

параллельна плоскости

, см. рис. 4.8).

Рис. 4.8. Плоскость параллельна плоскости

186

(плоскость

параллельна плоскости

(плоскость

параллельна плоскости

(плоскость

совпадает с плоскостью

(плоскость

совпадает с плоскостью

(плоскость

совпадает с плоскостью

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с дан-

ным вектором нормали (нормальное уравнение, см. рис. 4.9).

Пусть

, тогда уравнение плос-

кости:

Рис. 4.9. Нормальное уравнение плоскости

Вывод этого уравнения был сделан при доказательстве теоремы

2(раздел 4.1.1).

4.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (не лежащие на одной прямой, рис. 4.10).

187

Рис. 4.10. Плоскость, проходящая через 3 заданные точки

Вывод уравнения. Для произвольной точки			выпол-
няется следующее условие:	векторы	,	,

— компланарны. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного про-

изведения:	. Найдем координаты векторов:
,	,
	. Тогда:
	.

Таким образом, получили уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

Например,	уравнение	плоскости,	проходящей через точки
,	,	, имеет вид:



			.

188

5. Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях координат

, ,

соответ-

ственно отрезки

, т. е. проходит

через

точки

, см. рис. 4.11.

Тогда уравнение плоскости имеет вид:

Вывод уравнения. Подставим координаты точек

уравнение плоскости в отрезках:

Рис. 4.11. Уравнение плоскости в отрезках

6. Нормированное уравнение (уравнение плоскости с единичным

вектором нормали и проходящей на заданном расстоянии от начала координат, см. рис. 4.12).

Рис. 4.12. Нормированное уравнение плоскости

189

Пусть

— единичный вектор нормали к

плоскости

; здесь

— направляющие коси-

нусы

— рас-

стояние от плоскости до начала координат:

. Тогда урав-

нение плоскости имеет вид:

Вывод уравнения. Для произвольной точки

выпол-

няется следующее условие:

Приведение различных видов уравнений плоскости к общему виду

Все рассмотренные выше виды уравнений плоскости легко при-

водятся

общему уравнению:

где

. Например:

а) нормальное уравнение:

, где

;

б) уравнение в отрезках:

где

;

в) нормированное уравнение:

где

Возможна и

обратная

задача:

приведение

общего

уравнения

плоскости к одному из видов уравнений, рассмотренных выше. Рассмотрим два случая.

1. Приведение общего уравнения плоскости к уравнению в отрезках.

190

Пусть общее уравнение плоскости — полное

, то-

гда:

, где

Пример 1. Составить уравнение плоскости в отрезках:

. Сделать рисунок (см. рис. 4.13).

Рис. 4.13. К решению примера 1

2. Приведение общего уравнения плоскости к нормированному

уравнению.

Дано

общее уравнение:

где

. Чтобы привести общее уравнение к нормированному виду,

надо найти координаты единичного вектора нормали

, где

Разделим обе части общего

уравнения

на

Учитывая, что в нормированном уравнении свободный член отрицателен, выбираем знак перед дробью противоположным знаку ко-

эффициента	в общем уравнении: « », если	и « », если
		191

. Выбрав знак по этому правилу, получим нормированное уравнение:

где

Пример 2. Привести общее уравнение

к норми-

рованному виду.

Здесь

;

Учитывая, что

, вы-

бираем знак « »

и делим обе части уравнения на

. Получим

нормированное уравнение:							.

Уравнение связки плоскостей
Опр. Связкой плоскостей с центром в точке							называется мно-

жество всех плоскостей в пространстве, проходящих через точку .

Уравнение вида		при все-
возможных значениях коэффициентов	(	зада-
ет связку плоскостей с центром в точке		.
Выбирая конкретные значения коэффициентов		, мы выби-

раем конкретную плоскость из этой связки, проходящую через точку перпендикулярно вектору .

4.2.2. Основные задачи на плоскость в пространстве

Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две плоскости в пространстве. Если плоскости не параллельны и не совпадают, то они образуют два двугранных угла.

Если	плоскости перпендикулярны, то оба угла равны
или		радиан .

В остальных случаях один из углов острый, а другой — тупой. В этом случае под углом между плоскостями будем считать острый угол между ними. Если две плоскости параллельны или совпадают, то

угол между ними считается равным	.
192

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3419 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf