Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 348 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Рис. 2.10. Разность векторов

3. Умножение вектора на число.

Опр. Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , который определяется следующими условиями:

При	> 1 вектор длиннее вектора ; при	< 1 вектор ко-
роче вектора	(рис. 2.11).

	λ , λ	(	);	λ , λ	(	).
	Рис. 2.11. Умножение вектора на число
Простейшие свойства умножения вектора на число:
			;	; λ	;
			(противоположный вектор);
			— орт вектора ,		.
			— орт вектора ,		.
	Свойства линейных действий с векторами
Пусть	, , — произвольные векторы; λ, α, β — действитель-
ные числа). Тогда:
1.	(коммутативность сложения векторов).
						73

2. (	)	(		) (ассоциативность сложения векторов).
3. α (β	) (α β)	(однородность относительно умножения на число).
4. (α	β)	α	β	(дистрибутивность относительно сложения
чисел).
5. λ (	)	λ	λ	(дистрибутивность относительно сложения
векторов).
Упр. 3. Доказать свойства 1–5.
2.1.3. Условия коллинеарности и компланарности векторов
Пусть ,		, …,		— фиксированный набор векторов.
Опр. Линейной комбинацией векторов							, , …,	называется
любой вектор вида 1				2	…	n	, где коэффициенты 1,
2, … ,	n — некоторые действительные числа.
Линейная комбинация этих векторов называется тривиальной,
если все коэффициенты равны нулю:						1		, и называ-
ется нетривиальной,			если не все коэффициенты равны нулю:

Теорема 1. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Для того чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов был линейной ком-

бинацией другого вектора:

или

(при некото-

ром действительном значении λ).

Доказательство.

Достаточность. Если

или

, то по определению

умножения вектора на число выполнено:

Необходимость.

Пусть

тогда

или

Если

, тогда

λ , где λ

или

, где λ

. Если

тогда

, где λ

или

, где λ

. Теорема доказана.

Теорема 2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Для того чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы некоторая нетривиальная линейная комбина-

ция этих векторов была равна нулевому вектору:

						.

Доказательство. Если один из векторов — нулевой, то утвер-
ждение очевидно. Действительно, пусть					, тогда			и
	; аналогично при		. Пусть векторы		и — ненулевые.
Достаточность. Пусть				, где	или			. Если
, то		, т.е.	λ ; если	, то			, т.е.	λ .
, то		, т.е.	λ ; если	, то			, т.е.	λ .

Тогда по теореме 1 имеем:				.
		Необходимость. Пусть		, тогда		λ	или	λ	; если
λ	,	то λ			; если		λ	, то
		. Теорема доказана.
		Теорема 3. Необходимое и достаточное условие компланарности
векторов.
		Для того чтобы два неколлинеарных вектора , и вектор бы-
ли компланарны, необходимо и достаточно, чтобы вектор									был ли-
нейной комбинацией векторов				и	:
		, ,	компланарны					.
		Доказательство. Если вектор			коллинеарен одному из векто-
ров		или , то утверждение верно. Действительно,						пусть	, тогда
,	,	— компланарны, так как через эти векторы можно провести
параллельные плоскости. С другой стороны:								λ
(		). Пусть вектор		не коллинеарен ни одному из векторов
	и .

Достаточность. Если	, то вектор	лежит в плоско-
сти параллелограмма, построенного на векторах		и , т. е. все три

вектора лежат в одной плоскости, значит, они компланарны. Необходимость. Пусть , , — компланарны. Отложим все три

вектора от заданной точки O (см. рис. 2.12).

Рис. 2.12. К доказательству теоремы 3

Из конца вектора (точки C) проведем прямые, параллельные векторам и до пересечения с прямыми, на которых лежат векторы

и(точки пересечения обозначим A и B). Тогда по правилу парал-

лелограмма		. Векторы				и — коллинеарны, поэтому
; Векторы		и	также коллинеарны, поэтому				.
Получаем:		. Теорема доказана.
Теорема 4. Необходимое и достаточное условие компланарности
векторов.
Для того чтобы три вектора				,	и	были компланарны, необхо-
димо и достаточно, чтобы некоторая нетривиальная линейная комби-
нация этих векторов была равна нулевому вектору:



Доказательство. Если векторы						и коллинеарны, то , , —
компланарны и	λ	или		λ	; тогда λ
или		+ 0	=		=1,	.

	Пусть	и		— не коллинеарны, тогда по теореме 3 компланар-
ность векторов			,	,	означает:			при некоторых число-
вых значениях			,	. Это, в свою очередь, означает, что
	, где			и				. Теорема доказана.
	Теорема 5. Если						— три некомпланарных вектора в про-
странстве, то любой вектор							в пространстве является их линейной
комбинацией:							.
	Доказательство. Отложим все 4 вектора от заданной точки O
(см. рис. 2.13). Пусть					— плоскость, проходящая через векторы
и	. Через конец вектора					— точку M — проведем прямую, парал-
лельную вектору				до пересечения с плоскостью в точке M . Тогда
		.	Векторы			,	и	— компланарны, поэтому
				. Векторы			и	— коллинеарны, поэтому
	. Получаем:						+	. Теорема доказана.

Рис. 2.13. К доказательству теоремы 5
Теорема 6. Для любых 4-х векторов в пространстве	су-

ществует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

Доказательство. Если		, ,	— компланарны, то по теореме 4
имеем:	, где			. Но тогда и
	, причем			.
Если , ,	— не компланарны,			то по теореме 5 имеем:
+	.	Тогда		, где
	. Теорема доказана.
Опр. Система векторов		,	, …,	называется линейно зави-

симой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае эта система называется линейно независимой:

,, …, — линейно зависимы

= , 12+ 22

2 .

,, …, — линейно независимы

= 1= 2

=0.

Из теорем 1–5 следует:

линейная зависимость двух векторов означает их коллинеарность; линейная зависимость трех векторов означает их компланарность;

любые 4 вектора в пространстве — линейно зависимы.
Упр. 4. Доказать:
а) при	любая система векторов	,	, …,	линейно за-
висима;
б) если среди векторов системы ,		, …,	есть нулевой век-
тор, то эта система — линейно зависима.
2.1.4. Линейные векторные пространства. Понятие базиса
Пусть ,	, …, — фиксированный набор векторов.

Опр. Множество всевозможных линейных комбинаций заданно-

го набора векторов называется линейным векторным пространством,

натянутым на этот набор:

— линейное векторное пространство, натянутое на

, , …, .

Примеры линейных векторных пространств.

1) V1 — множество всех векторов , лежащих на заданной прямой , или параллельных этой прямой (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Линейное векторное пространство V1

Пусть — любой ненулевой вектор множества V1. Тогда

V1	λ		.
Таким образом, множество V1 есть линейное векторное про-
странство, натянутое на вектор	: V1=	.

Вектор называется базисом пространства V1. Базис в пространстве V1 — это любой ненулевой вектор этого пространства.

2) V2 множество всех векторов , лежащих в заданной плоскости , или в параллельных ей плоскостях (рис. 2.15).

	Рис. 2.15. Линейное векторное пространство V2
	Пусть	,	— любые два неколлинеарных вектора из множест-
ва V2. Тогда
		V2		λ1	λ2	.
	Таким образом, V2 есть линейное векторное пространство, натя-
нутое на векторы			,	: V2	.
	Векторы	,	называются базисом пространства V2.

				азис в пространстве —
	это любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов из

3) V3 — множество всех векторов в пространстве (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Линейное векторное пространство V3

	Пусть ,	,	— любые три некомпланарных вектора в про-
странстве. Тогда
	V3		λ1	λ2	λ3	.
	Таким образом, V3			есть линейное векторное пространство, на-
тянутое на векторы			,	, : V3		.
	Векторы	,	, называются базисом пространства V3.

			азис в пространстве —
	это любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов из

Ортогональный базис Опр. Базис, состоящий из ортогональных векторов, называется

ортогональным базисом (рис. 2.17, 2.18).

Рис. 2.17. Ортогональный базис на плоскости:

Рис. 2.18. Ортогональный базис в пространстве: , ,

Ортонормированный базис (ОН )

Опр. Ортогональный базис из единичных векторов называется

ортонормированным базисом (рис. 2.19, 2.20).

Рис. 2.19. Ортонорми-			Рис. 2.20. Ортонормиро-
Рис. 2.19. Ортонорми-			ванный базис (ОН )
рованный базис (ОН )			ванный базис (ОН )
рованный базис (ОН )			в пространстве:		,	,
на плоскости:	,		в пространстве:		,	,
на плоскости:	,
= =1			,	=	=	= 1
Обозначения:	— ОНБ на плоскости;				— ОНБ в
пространстве.
2.1.5. Разложение вектора по базису
Опр. Запись вида:	1	2	…	n	, где	1, 2, …,

n — некоторые действительные числа, называется разложением век-

тора по векторам , , …,	; числа 1, 2, …, n — коэффициенты
разложения. Если векторы	образуют базис, то это разложение на-

зывается разложением вектора по базису.

Выше было показано, что в пространствах V1, V2, V3 любой вектор можно разложить по базису этого пространства. Докажем, что такое разложение единственно.

Единственность разложения означает, что если имеются два ка- ких-нибудь разложения, то они совпадают, т. е. соответствующие ко-

эффициенты разложения равны.

Теорема. Разложение любого вектора по базису единственно.

Доказательство. Рассмотрим пространства V1, V2, V3.

1) Пусть

— базис пространства V1; любой вектор V1 мож-

но разложить по базису:

. Пусть имеется еще какое-нибудь

разложение:

Тогда

;

2) Пусть

— базис пространства V2; любой вектор

можно разложить по базису:

λ1

λ2

. Пусть имеется еще ка-

кое-нибудь разложение:

. Тогда

λ1

+λ2

Получили, что

линейная комбинация векторов

равна нулевому вектору; так

как векторы

— линейно

независимы,

то

, т. е.

Пусть

— базис пространства V3;

любой вектор

V3 можно разложить по базису:

λ1

λ2

λ3

. Пусть име-

ется еще какое-нибудь разложение:

. Тогда

λ1

λ2

λ3

. Получили, что линейная комбина-

ция векторов

равна нулевому вектору;

так как векторы

— линейно

независимы,

то

, т. е.

. Теорема доказана.

Опр. Коэффициенты в разложении вектора по базису называ-

ются координатами вектора относительно данного базиса:

— координата вектора

относительно базиса {

};

λ1

λ2

— координаты вектора

относительно

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 348 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf