Например, |
решением системы (A) является пара |
т. к. |
при подстановке этой пары в систему (A) получаем 2 верных равенст- |
||
ва: |
. Оказывается (как будет показано далее), |
что |
эта пара — единственное решение системы, т. е. других решений у системы (A) нет.
Опр. Система (1.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; иначе система называется несовместной.
Например, (A) — совместная система; (В) — также совместная система, т.к. она имеет решения: и т. д. Система (С) — несовместная, т. е. у нее нет решений; действительно, если , то .
Опр. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; иначе она называется неопределенной.
Например, (A) — определенная система; (В) — неопределенная система.
Как будет показано в дальнейшем, любая совместная система линейных уравнений имеет либо единственное решение, либо бесчисленное множество решений. Это означает, что если число решений системы конечно, то оно единственно.
Исследовать систему линейных уравнений означает выяснить, является ли система совместной или несовместной, а в случае совместности системы выяснить, является ли она определенной или неопределенной.
Решить систему линейных уравнений означает найти все решения этой системы.
Для того чтобы решить систему линейных уравнений, надо преобразовать ее в более простую систему, сохраняя (не меняя) все множество решений исходной системы. Такие системы линейных уравнений (исходная и преобразованная) называются равносильными.
13
Опр. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одинаковое число неизвестных и множества решений этих систем совпадают.
В частности, если обе системы несовместны (каждая система имеет пустое множество решений) и имеют одинаковое число неизвестных, то они равносильны.
Для определенных систем с одинаковым числом неизвестных равносильность означает, что каждая из систем имеет единственное решение, и оно совпадает для обеих систем.
Для неопределенных систем с одинаковым числом неизвестных равносильность означает, что все решения одной системы являются решениями и другой системы, и наоборот.
Равносильные системы обозначаются значком .
Примеры.
1). Системы |
и |
— не равносиль- |
ны, т. к. у них разное число неизвестных.
2). Системы |
и |
— не равносильны, т. к. |
|
пара |
является решением первой системы, но не является реше- |
||
нием второй системы. |
|
|
|
3) Системы |
и |
— равносильны; это |
|
можно доказать, решив каждую из них каким-нибудь методом и получив в результате, что каждая из этих систем имеет единственное решение, одинаковое для обеих систем: .
Переход от данной системы к равносильной системе возможен с помощью элементарных преобразований.
Опр. Элементарными преобразованиями над системой линейных уравнений называются:
-перестановка уравнений местами;
-умножение уравнений на любые числа, отличные от нуля;
14
- сложение уравнений (прибавление одного уравнения к друго-
му).
Если переход от одной системы к другой происходит путем умножения какого-нибудь уравнения системы на число, равное нулю, то равносильности систем уже может и не быть. В этом случае множество решений новой системы может быть шире множества решений старой системы за счет появления посторонних решений.
Избавиться от посторонних решений можно путем проверки, подставляя найденные решения новой системы в исходную систему.
Все вышеизложенное можно проиллюстрировать на примере следующей задачи.
Исследование систем 2-х линейных уравнений с 2-я неизвестными
Сначала рассмотрим тривиальный случай, когда все элементы одной из строк (или обеих строк) основной матрицы системы (1.2) равны нулю:
|
, |
|
(1.3) |
|
, |
|
(1.4) |
|
. |
|
(1.5) |
В случае (1.3): если |
, то любая пара действительных |
||
чисел ( , ) является решением системы (1.3); если |
или |
, |
|
то система несовместна. |
|
|
|
В случае (1.4): если |
, то система несовместна; если |
, |
|
то решение системы сводится к решению одного уравнения:
. Это уравнение имеет бесчисленное множество решений:
|
|
, при |
или |
|
|
|
|
|
|||
, при |
, где |
— произвольное действительное |
|||
число.
В случае (1.5) исследование системы аналогично случаю (1.4). Далее рассмотрим общий случай, отличный от (1.3), (1.4) и (1.5).
15
Умножим обе части 1-го уравнения системы |
на число |
, |
||||
а 2-го уравнения — на число |
: |
|
|
|
||
|
|
|
. Вычитая из |
первого уравнения |
||
|
|
|
|
|
|
|
второе, получим: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
Далее умножим обе части 1-го уравнения системы на число |
, |
|||||
а 2-го уравнения — на число |
: |
|
|
|
||
|
|
|
. Вычитая из |
второго уравнения |
||
|
|
|
|
|
|
|
первое, получим: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, из исходной системы, как следствие, получаем |
||||||
новую систему уравнений: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
Введем |
следующие |
обозначения: |
|
|
; |
|
1 |
; 2 |
. |
|
|
|
|
Тогда полученная система перепишется в виде: |
|
|||||
|
|
|
. |
|
|
(1.6) |
Если |
, то получим единственное решение системы (1.6): |
|||||
.
Теперь необходимо сделать проверку, так как при переходе от системы (1.2) к системе (1.6) мы умножали уравнения на коэффициенты , а среди них могут быть и нули.
Подставим найденные значения неизвестных в систему (1.2). Подставляя в 1-е уравнение, получим:
16
Аналогично, подставляя во 2-е уравнение, получим:
Следовательно, найденное решение системы (1.6) является так-
же и решением |
исходной |
системы линейных уравнений: |
|
|
||
|
||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Величины |
, 1 и |
2 связаны с матрицами 2-го порядка |
|||
, |
и |
следующим правилом: из про- |
||||
изведения чисел, стоящих на главной диагонали матрицы, вычитается произведение чисел, стоящих на побочной диагонали матрицы:
« »
Величины, вычисляемые по этому правилу, называются определителями 2-го порядка и обозначаются символами: det или |…|, где многоточие означает матрицу 2-го порядка.
Опр. Определителем 2-го порядка называется число, равное разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы 2-го порядка и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали:
det |
, |
|
1 |
det |
, |
2 |
det |
. |
называется основным определителем, а 1 и 2 — вспомогательными определителями системы линейных уравнений. Таким образом, доказана следующая теорема.
17
Теорема (Крамера1).
Рассматривается система 2-х линейных уравнений с 2-я неизвестными:
.
Если основной определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое задается формулами Кра-
мера:
где |
, 1 |
, 2 |
. |
Пример 1. |
. |
|
; |
1 |
|
. |
|
Ответ: |
— решение системы. |
|
|
|
|
Продолжим изучение системы (1.2) в случае, когда |
. При |
||||
этом условии система (1.6) запишется в виде: |
. |
|
|
||
Если |
или |
, то данная система, а значит и исходная |
|||
система решений не имеют. |
|
|
|
|
|
Если |
и |
, то система (1.6) |
запишется |
в |
виде: |
, ее решением будет любая пара действительных чисел ( |
). |
||||
1 Габриэль Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик, один из создателей Линейной алгебры
18
Что можно сказать в этом случае о решении исходной системы?
Из условий: |
|
|
|
получим |
|
равенства: |
|
|
|
||||||||||
, |
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Эти равенства можно записать в виде пропорций: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(если знаменатели всех дробей не равны нулю). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
; тогда |
, |
, |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а исходная система запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Решение систе- |
|||||
мы сводится к решению одного уравнения с 2-я неизвестными. Полу-
чаем бесчисленное множество решений: |
|
|
, |
|||
|
|
|||||
при |
или |
|
|
, при |
, где — |
|
|
|
|||||
произвольное действительное |
число. Следовательно, в случае |
|||||
|
система имеет бесчисленное множество решений. |
|||||
|
Таким образом, система 2-х линейных уравнений с 2-я неиз- |
|||||
вестными является: |
|
|
|
|
||
|
совместной и определенной, если |
; |
|
|
||
|
совместной и неопределенной, если |
|
|
; |
||
|
несовместной, если |
, но |
или |
. |
||
Завершая первое знакомство с Линейной алгеброй, отметим следующее.
Основная задача этого раздела — изучение систем линейных уравнений. Решение этой задачи требует введения новых понятий: определителей и матриц, с помощью которых исследуются и решаются эти системы. Содержание данного раздела посвящено именно этим темам: определители; матрицы; системы линейных уравнений.
Возникшие первоначально для изучения систем линейных уравнений, определители и матрицы стали играть в дальнейшем самостоятельную роль. Они нашли применение в физике и вычислительной
19
математике, в различных технических и экономических науках. В частности, они используются и в таких разделах математики, как Векторная алгебра и Аналитическая геометрия.
1.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1.1. Определители 2-го и 3-го порядка
Пусть A |
— матрица 2-го порядка; |
— элементы |
|
матрицы ( |
|
). |
|
Опр. |
Определителем матрицы 2-го порядка называется число, |
||
равное разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы и произведения элементов, стоящих на побочной диа-
гонали: det A |
− |
: |
|
|
« |
» |
|
Пример 1. |
|
. |
|
Пусть A |
— матрица 3-го порядка, |
— |
|
элементы матрицы ( |
|
). |
|
Опр. Определителем матрицы 3-го порядка называется число,
равное det A
.
Эта формула вычисления определителя 3-го порядка называется правилом Саррюса:
20
Правило Саррюса.
1). Вычисляется сумма 3-х произведений: элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, находящихся в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным главной диагона-
ли.
2). Вычисляется сумма 3-х произведений: элементов, стоящих на побочной диагонали, и элементов, находящихся в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали.
3). Из первой суммы вычитается вторая сумма.
Пример 2. |
+ |
+ |
− |
− .
1.1.2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка
Сформулируем свойства, справедливые как для определителей 2-го порядка, так и для определителей 3-го порядка.
1. Определитель не изменится, если все строки определителя заменить соответствующими столбцами, или все столбцы определителя заменить соответствующими строками (такое действие над строками и столбцами называется транспонированием матрицы):
.
2. При перестановке двух каких-либо строк (или двух столбцов) определитель меняет знак на противоположный:
.
3. Общий множитель некоторой строки (или некоторого столбца) можно вынести за «знак» определителя:
λ |
. |
21
4. Определитель, имеющий нулевую строку (или нулевой столбец), равен нулю:
.
5.Определитель, имеющий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), равен нулю:
6.Определитель, имеющий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца), равен нулю:
.
7. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух соответствующих определителей:
.
8. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на любое число:
.
9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали (треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой ниже или выше главной диагонали равны нулю):
, |
. |
22