Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Таким образом, уравнение сферы радиуса R с центром в точке

, показанной на рис. 4.2, имеет вид:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3418 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

пару совпадающих прямых); уравнение (3.16) задает мнимую параболу (пустое множество).

Для удобства дальнейших выкладок запишем уравнение кривой 2-го порядка в следующем виде:

, (3.17)

Введем следующие обозначения:

,	,			.
При переходе к новой системе координат				уравнение кри-

вой запишется в виде:

при этом

, где

Теорема 8. Величины , и являются инвариантами относительно преобразования системы координат, т. е. при переходе к новой системе координат эти величины не меняются:

		,	,	.
Теорема 9.
1). Если	, то уравнение (3.17) является уравнением эллип-
тического типа;	при этом уравнение задает: эллипс, если				;
вырожденный эллипс, если			; мнимый эллипс, если		.
2). Если	, то уравнение (3.17) является уравнением гипер-
болического типа; при этом уравнение задает: гиперболу, если					;
вырожденную гиперболу, если			.
3). Если	, то уравнение (3.17) является уравнением парабо-
лического типа;	при этом уравнение задает: параболу, если				;
вырожденную или мнимую параболу, если				.
Доказательство теорем 8 и 9 можно найти, например, в [5].

173

Пример 1.		.
Здесь	,	,
;	уравнение эллиптического вида;		уравне-
ние задает эллипс.
Пример 2.		.
Здесь	,	,
;	уравнение параболического вида;		уравне-

ние задает параболу.

3.3.6. Приведение общего уравнения кривых 2-го порядка к каноническому виду

Рассмотрим снова общее уравнение кривой 2-го порядка (3.17):

Предположим, что проведено исследование уравнения (3.17) и выявлен тип кривой, которую задает это уравнение. Далее нужно привести уравнение к каноническому виду и построить саму кривую.

Рассмотрим способы приведения общего уравнения кривых 2-го порядка к каноническому виду.

	1. Пусть уравнение (3.17) не содержит слагаемого с произведе-
нием	(	):

. (3.18)

Тогда с помощью параллельного переноса системы координат в некоторую точку уравнение (3.18) можно привести к одному из канонических видов:

174

где	,	.
Пример 1.		.
Это уравнение		не содержит слагаемого с произведением	;
найдем точку		так, чтобы при параллельном переносе систе-

мы координат в эту точку уравнение имело бы канонический вид. Для этого выделим «полные квадраты»:

. Получили каноническое уравнение эллипса с

центром в точке

и полуосями

Пример 2.

. Это уравнение также не содержит

слагаемого с произведением

. Выделим «полный квадрат»:

. Получили каноническое уравнение

параболы с вершиной в точке

и с параметром

Пример 3.

Проводим аналогичные преобразования:

. Получили каноническое уравне-

ние вырожденной гиперболы. Это уравнение определяет две пересе-

кающиеся прямые:	и	.
2. Рассмотрим уравнение (3.17), в котором		.

Покажем, что путем поворота осей координат на некоторый угол можно привести уравнение к виду (3.18), в котором отсутствует слагаемое с произведением ( ).

175

		Используя формулы (3.4), преобразования координат при пово-
роте осей:			, подставим значения переменных
роте осей:			, подставим значения переменных

	в уравнение (3.17):






				.
Здесь					.
Здесь					.
		Подберем угол поворота	так, чтобы		:
		Подберем угол поворота	так, чтобы		:

					.
					(3.19)
					(3.19)

		Таким образом, при повороте осей координат на угол , удовле-

творяющий условию (3.19), уравнение (3.17) сводится к уравнению (3.18), в котором отсутствует слагаемое с произведением . А в этом случае новое уравнение можно привести к каноническому виду путем параллельного переноса системы координат.

Заметим, что если

(коэффициенты при

совпа-

дают), то из условия (3.19) получаем:

Пример 4.

. Здесь

Из условия (3.19) получим

. Перейдем к новым координа-

там по формулам:

. Тогда получим:

176

. По-

лучили каноническое уравнение эллипса с полуосями

с центром в точке

, где

Найдем координаты точки

в старой системе коорди-

нат:

. Таким образом, имеем эллипс с центром в

точке

, с полуосями

, и малая ось которого на-

клонена к оси

под углом

(рис. 3.54).

Рис. 3.54. Эллипс из примера 4

3. Метод собственных векторов.

Для уравнения (3.17), где , составим матрицу из старших членов:

			.
	Найдем собственные значения		, и соответствующие им соб-
ственные векторы ,		матрицы	(см. раздел 1.3.7); при этом ,
будут ортогональны (см. [5]):			; выберем собственные век-
торы	единичной	длины:	,	,
	.
				177

	Тогда векторы			,			образуют ор-
тонормированный базис.
	Перейдем к новой системе координат с ортонормированным ба-
зисом		. Формулы преобразования координат имеют следую-
щий вид:				.
щий вид:				.

	В новой системе координат уравнение (3.17) примет вид:
							.
							.
	Это уравнение		уже не содержит слагаемых с произведением
	. Далее путем параллельного переноса системы координат приве-
дем уравнение к каноническому виду.
Пример 5.					.
Здесь			;	,		,	;	,

,. Выберем собственные векторы единичной дли-

ны:

, тогда

, а фор-

мулы преобразования координат имеют вид:

. В

новой системе координат с ортонормированным базисом

уравнение принимает вид:

или

— это пара параллельных

прямых. В старой системе координат уравнения прямых имеют вид: и .

178

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

4.1. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

4.1.1. Уравнение поверхности в пространстве


Пусть введена	прямоугольная		декартова система	координат
в пространстве, и задана некоторая поверхность (рис. 4.1).
Опр. Уравнение		с тремя переменными		назы-
вается уравнением поверхности		если этому уравнению удовлетво-
ряют координаты	любой точки		, лежащей на поверхности и

не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой поверхности:

Зная уравнение поверхности , можно изучать геометрические свойства поверхности, исследуя ее уравнение.

Рис. 4.1. Точка на поверхности в пространстве

Пример 1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке

C .

Здесь — сфера радиуса R с центром в точке C — это множество всех точек в пространстве, удаленных на расстояние R от точки C. Пусть — произвольная точка в пространстве, тогда:

179

Рис. 4.2. Сфера

Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение

примет вид:			.

Замечание 1. Полученное уравнение сферы можно привести к
виду	, если выражение			перенести в левую часть урав-
нения.
Замечание 2. Не всякое уравнение вида					задает не-
которую поверхность. Например, уравнение					задает
единственную точку O		; а уравнение			задает

пустое множество.

В аналитической геометрии в пространстве возникают две ос-

новные задачи.

1. Зная геометрические свойства поверхности, найти ее уравне-

ние.

2. Зная уравнение поверхности, изучить ее форму и свойства. Например, составляя уравнение сферы, мы решаем первую за-

дачу; а исследуя уравнения и , мы решаем вторую задачу.

180

Опр. Поверхность в пространстве называется поверхностью 1-го порядка, если она задается в некоторой прямоугольной декарто-

вой системе координат	уравнением 1-й	степени (линейным
уравнением) относительно трех переменных		:
	, где	.

Теорема 1. Если поверхность в пространстве является поверхностью 1-го порядка в одной прямоугольной декартовой системе координат, то она остается поверхностью 1-го порядка и в любой другой прямоугольной декартовой системе координат.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы для случая линейного уравнения относительно двух переменных

Теорема 2. Плоскости и только они являются поверхностями 1-

го порядка в пространстве.

Доказательство.

1). Сначала докажем, что любая плоскость в пространстве зада-

ется некоторым	линейным уравнением относительно переменных
. Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова систе-
ма координат	и задана произвольная плоскость (рис. 4.3).

Рис. 4.3. К доказательству теоремы 2

	Введем новую прямоугольную декартову систему координат
	так, чтобы оси	и	лежали в плоскости . В новой сис-
теме координат плоскость		задается уравнением:
			181

Это уравнение является линейным уравнением относительно

переменных		,				. Согласно тео-
реме 1, уравнение плоскости				останется линейным и в системе ко-
ординат	.
2). Теперь докажем, что любое линейное уравнение задает неко-
торую плоскость в пространстве.
Пусть задано линейное уравнение
				, где		.
Линейное		уравнение относительно				имеет бесчисленное
множество решений. Выберем какое-нибудь его решение							:
			. Тогда
			.
Построим в пространстве плоскость					, проходящую через точ-
ку		перпендикулярно вектору				(см. рис. 4.4).

Покажем, что плоскость — искомая плоскость. Для этого составим уравнение этой плоскости.

Рис. 4.4. К доказательству теоремы 2

	.
Таким образом, линейное уравнение		дей-
ствительно задает плоскость	. Теорема доказана.

182

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3418 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf